Trả lời nhanh
Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết, thường phát biểu dạng “Nếu … thì …”: phần giữa “nếu” và “thì” là giả thiết (GT), phần sau “thì” là kết luận (KL). Chứng minh định lí là dùng lập luận đi từ giả thiết và các khẳng định đúng đã biết để suy ra kết luận. Dưới đây là 20 bài tập định lí và chứng minh định lí Toán 7 (12 tự luận, 8 trắc nghiệm) có lời giải, kèm tóm tắt lý thuyết.
Bài tập tự luận định lí và chứng minh định lí (Bài 1–12)
Bài 1. Vẽ hình, ghi GT – KL và chứng minh: “Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau”.
GT: xOy và yOx’ kề bù; Om là tia phân giác của xOy; On là tia phân giác của yOx’. KL: mOn = 90°.
Chứng minh: Vì Om là phân giác của xOy nên mOy = ½ xOy. Vì On là phân giác của yOx’ nên yOn = ½ yOx’. Tia Oy nằm giữa hai tia Om và On nên mOn = mOy + yOn = ½ (xOy + yOx’) = ½ · 180° = 90°. Vậy Om ⊥ On.
Bài 2. Cho hai tia Ax và Cy song song, cùng hướng; điểm B nằm trong dải giữa hai đường thẳng chứa chúng, về phía hai tia. Chứng minh xAB + BCy = ABC.
Chứng minh: Qua B kẻ đường thẳng song song với Ax; lấy trên đó tia Bt ngược hướng với Ax. Vì Ax // Bt nên xAB = ABt (so le trong). Vì Ax // Cy và Ax // Bt nên Bt // Cy, suy ra BCy = tBC (so le trong). Tia Bt nằm giữa BA và BC nên ABC = ABt + tBC = xAB + BCy.
Bài 3. Chứng minh: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”.
GT: a, b phân biệt; a ⊥ c tại A; b ⊥ c tại B. KL: a // b.
Chứng minh: Đường thẳng c cắt a và b tạo ra hai góc đồng vị tại A và B, mỗi góc đều bằng 90°. Hai góc đồng vị bằng nhau nên a // b (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
Bài 4. Chứng minh: “Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại”.
GT: a // b; c ⊥ a. KL: c ⊥ b.
Chứng minh: Giả sử c không cắt b, khi đó c // b. Qua giao điểm của c và a có hai đường thẳng a, c cùng song song với b, trái với tiên đề Euclid. Vậy c cắt b. Vì a // b nên các góc đồng vị do c tạo với a và b bằng nhau; góc tại a bằng 90° nên góc tại b cũng bằng 90°, tức c ⊥ b.
Bài 5. Chứng minh: “Hai góc cùng bù với một góc thứ ba thì bằng nhau”.
GT: A + C = 180°; B + C = 180°. KL: A = B. Chứng minh: Từ giả thiết, A = 180° − C và B = 180° − C, nên A = B.
Bài 6. Chứng minh: “Hai góc cùng phụ với một góc thứ ba thì bằng nhau”.
Chứng minh: Nếu A + C = 90° và B + C = 90° thì A = 90° − C = B.
Bài 7. Cho a // b, đường thẳng c cắt a tại M và cắt b tại N. Chứng minh rằng hai tia phân giác của hai góc trong cùng phía tại M và N vuông góc với nhau.
Chứng minh: Hai góc trong cùng phía bù nhau, nên tổng hai nửa góc bằng 90°. Gọi hai tia phân giác cắt nhau tại K (K nằm giữa a và b). Qua K kẻ đường thẳng song song với a; áp dụng cách làm của Bài 2, góc MKN bằng tổng hai nửa góc đó, tức bằng 90°. Vậy hai tia phân giác vuông góc.
Bài 8. Viết các định lí sau dưới dạng “Nếu … thì …”: a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. b) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Lời giải: a) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. b) Nếu hai góc là hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau.
Bài 9. Chỉ ra GT và KL của định lí: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau”.
Lời giải: GT: đường thẳng c cắt hai đường thẳng song song a và b. KL: hai góc so le trong tạo thành bằng nhau.
Bài 10. Chứng minh: “Tia đối của tia phân giác của một góc là tia phân giác của góc đối đỉnh với góc đó”.
GT: Ot là phân giác của xOy; Ox’, Oy’, Ot’ lần lượt là tia đối của Ox, Oy, Ot. KL: Ot’ là phân giác của x’Oy’.
Chứng minh: x’Ot’ và xOt đối đỉnh nên x’Ot’ = xOt; y’Ot’ và yOt đối đỉnh nên y’Ot’ = yOt. Mà xOt = yOt nên x’Ot’ = y’Ot’. Tia Ot’ nằm giữa Ox’ và Oy’, do đó Ot’ là tia phân giác của x’Oy’.
Bài 11. Cho a // b; đường thẳng c cắt a tại A, cắt b tại B; góc A1 (phía trên a, bên phải c) bằng 70°. Tính các góc tại B.
Lời giải: Góc B1 đồng vị với A1 nên B1 = 70°. Góc đối đỉnh với B1 cũng bằng 70°. Hai góc còn lại kề bù với B1 nên mỗi góc bằng 180° − 70° = 110°.
Bài 12. Chứng minh: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì mỗi cặp góc đồng vị bằng nhau”.
Chứng minh: Đánh số như Bài 11: A1, B1 nằm phía trên a, b và bên phải c; A3 là góc đối đỉnh với A1. Giả sử A3 = B1 (so le trong). Góc A1 đối đỉnh với A3 nên A1 = A3 = B1; A1 và B1 là cặp góc đồng vị. Các cặp đồng vị còn lại là các góc kề bù với cặp vừa xét nên cũng bằng nhau.
Bài tập trắc nghiệm định lí và chứng minh định lí (Bài 13–20)
Bài 13. Định lí là:
A. một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết
B. một khẳng định chưa biết đúng hay sai
C. một hình vẽ minh họa
D. một quy ước đặt tên
Đáp án A.
Bài 14. Trong định lí dạng “Nếu … thì …”, phần nằm giữa “nếu” và “thì” là:
A. kết luận B. giả thiết C. chứng minh D. hình vẽ
Đáp án B.
Bài 15. Phần nằm sau từ “thì” là:
A. kết luận B. giả thiết C. chứng minh D. định nghĩa
Đáp án A.
Bài 16. Khẳng định nào là một định lí?
A. Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh.
B. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
C. Hai góc có tổng 180° thì kề bù.
D. Hai góc kề nhau thì bù nhau.
Đáp án B. A, C, D đều sai vì có thể chỉ ra phản ví dụ (chẳng hạn hai góc 90° ở hai vị trí khác nhau có tổng 180° nhưng không kề nhau).
Bài 17. Hoàn thành định lí: “Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì …”
A. m ⊥ n B. m // n C. m cắt n D. m trùng n
Đáp án B.
Bài 18. Giả thiết của định lí “Nếu hai đường thẳng phân biệt a, b cùng vuông góc với c thì a // b” là:
A. a // b B. a ⊥ c và b ⊥ c (a, b phân biệt) C. a ⊥ b D. c // a
Đáp án B.
Bài 19. Để khẳng định một mệnh đề “Nếu … thì …” không phải là định lí, ta cần:
A. vẽ một hình đúng giả thiết và kết luận
B. chỉ ra một trường hợp thỏa mãn giả thiết nhưng không thỏa mãn kết luận
C. đo nhiều lần cho chính xác
D. đổi chỗ giả thiết và kết luận
Đáp án B (phản ví dụ).
Bài 20. Chứng minh định lí là:
A. vẽ hình thật đẹp
B. đo góc bằng thước đo góc
C. dùng lập luận từ giả thiết và các khẳng định đúng đã biết để suy ra kết luận
D. phát biểu lại định lí
Đáp án C. Đo đạc trên hình chỉ giúp dự đoán, không thay cho chứng minh.
Lý thuyết định lí và chứng minh định lí – Toán 7
1. Định lí, giả thiết và kết luận
- Định lí là khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết.
- Dạng thường gặp: Nếu (giả thiết) thì (kết luận). Viết tắt GT và KL.
- Khi một định lí chưa có dạng “Nếu … thì …”, em nên tự diễn đạt lại để tách GT, KL rõ ràng.
Ví dụ: “Hai góc cùng bù với một góc thì bằng nhau.” GT: A và B cùng bù với C. KL: A = B.
2. Chứng minh định lí
Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và các khẳng định đúng đã biết (định nghĩa, tính chất, định lí đã học) suy ra kết luận. Các bước gợi ý:
- Vẽ hình đúng, đặt tên các điểm, góc cần dùng.
- Ghi GT – KL bằng kí hiệu.
- Tìm mối liên hệ từ GT đến KL; mỗi bước suy luận phải kèm căn cứ trong ngoặc, ví dụ “(hai góc kề bù)”, “(so le trong)”.
- Kết thúc bằng câu khẳng định KL, có thể ghi “(đpcm)”.
3. Lỗi thường gặp
- Lẫn GT với KL, nhất là khi định lí không viết dạng “Nếu … thì …”.
- Dùng chính điều cần chứng minh làm căn cứ (lập luận vòng quanh).
- Dựa vào hình vẽ “trông có vẻ bằng nhau” hoặc đo đạc thay cho lập luận.
- Bỏ qua điều kiện quan trọng như “hai đường thẳng phân biệt”, “tia nằm giữa hai tia”.
Câu hỏi thường gặp
Định lí là gì trong Toán 7?
Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết, thường phát biểu dạng “Nếu … thì …”.
Cách xác định giả thiết và kết luận của định lí?
Phần nằm giữa “nếu” và “thì” là giả thiết, phần sau “thì” là kết luận. Nếu định lí chưa có dạng này, hãy diễn đạt lại trước khi tách.
Định lí và chứng minh định lí là bài mấy Toán 7 Kết nối tri thức?
Đây là Bài 11 thuộc chương III “Góc và đường thẳng song song”, Toán 7 tập một bộ Kết nối tri thức.
Có thể dùng thước đo góc để chứng minh định lí không?
Không. Đo đạc chỉ giúp dự đoán; chứng minh phải dùng lập luận từ giả thiết và các khẳng định đúng đã biết.