Với giải Bài 11 trang 82 Toán 9 Tập 2 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài tập cuối chương 9 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 9

Bài 11 trang 82 Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Lần lượt vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đường tròn (O') đường kính HC.

a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').

b) Đường tròn (O) cắt AB tại E, đường tròn (O') cắt AC tại F. Chứng minh rằng tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến đường tròn (O) và đồng thời là tiếp tuyến đường tròn (O').

d) Đường trung tuyến AM của tam giác ABC cắt EF tại N. Cho biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính diện tích tam giác ANF.

Lời giải:

a) Đường tròn (O) có bán kính OH, đường tròn (O') có bán kính O'H.

Vì OO' = OH + HO' nên (O) và (O') tiếp xúc ngoài.

b) Ta có $\widehat{BEH}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra HE ⊥ AB hay $\widehat{HEA}=90°.$

Tương tại, $\widehat{CFH}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O')).

Suy ra HF ⊥ AC hay $\widehat{HFA}=90°.$

Tứ giác AEHF có $\widehat{EAF}=90°,\widehat{HEA}=90°,\widehat{HFA}=90°$.

Do đó, tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

c) Gọi I là giao điểm AH và EF, ta có

IA = IE = IH = IF (tính chất hình chữ nhật).

• Xét ∆IEO và ∆IHO có: OI là cạnh chung; IE = IH; OE = OH.

Do đó ∆IEO = ∆IHO (c.c.c)

Suy ra $\widehat{OEI}=\widehat{OHI}=90°$ (hai góc tương ứng).

Vì $\widehat{OEF}=90°$ và E thuộc đường tròn (O) nên EF là tiếp tuyến của (O).          (1)

• Xét ∆IFO' và ∆IHO' có: O'I là cạnh chung; IF = IH; O'F = O'H.

Do đó ∆IFO' = ∆IHO' (c.c.c).

Suy ra $\widehat{O^{\text{'}}FI}=\widehat{O^{\text{'}}HI}=90°$ (hai góc tương ứng).

Vì $\widehat{O^{\text{'}}EF}=90°$ và E thuộc đường tròn (O) nên EF là tiếp tuyến của (O).          (2)

Từ (1) và (2) suy ra EF là tiếp tuyến của (O) và đồng thời là tiếp tuyến của (O').

d) Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến.

Suy ra AM = BM = CM = $\frac{1}{2}$BC.

Do đó ∆O'FC cân tại O' (vì O'F = O'C) suy ra $\widehat{O^{\text{'}}FC}=\widehat{O^{\text{'}}CF}.$

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{O^{\text{'}}FC}.$

Mà $\widehat{MAC},\widehat{O^{\text{'}}FC}$ là hai góc đồng vị nên AM // O'F).

Mặt khác O'F ⊥ EF, suy ra AM ⊥ EF tại N.

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC².

Suy ra $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right).$

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AH\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot AC.$

Suy ra $AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot 8}{10}=4,8\left(cm\right).$

Do đó EF = AH = 4,8 cm.

• Vì ∆AHF ᔕ ∆ACH (g.g) nên $\frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AH}$.

Suy ra $AF=\frac{A{H}^2}{AC}=\frac{4,8^2}{AC}=2,88\left(cm\right).$

• Vì ∆AEF ᔕ ∆NAF (g.g) nên $\frac{AF}{NF}=\frac{EF}{AF}$.

Suy ra $AF=\frac{A{F}^2}{\text{EF}}=\frac{2,{88}^2}{4,8}=1,728\left(cm\right).$

Xét tam giác AFN vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AF² = AN² + NF².

Suy ra $AN=\sqrt{A{F}^2-N{F}^2}=\sqrt{2,{88}^2-1,{728}^2}=2,304\left(cm\right).$

Diện tích tam giác AFN là:

$S_{AFN}=\frac{1}{2}AN\cdot NF=\frac{1}{2}\cdot 2,304\cdot 1,728\approx 2\left(c{m}^2\right).$

\

Vậy diện tích tam giác ANF khoảng 2 cm².