Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

A. Lý thuyết Hệ trục toạ độ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vecto trong không gian

Tọa độ của điểm

Tọa độ của vecto

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a)     Tìm tọa độ của $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$

b)    Tìm tọa độ của các điểm B’, C’

Lời giải

a)     Ta có: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(x_{A^{\prime }}-x_A;y_{A^{\prime }}-y_A;z_{A^{\prime }}-z_A)=(4;0;-1)$

b)    Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ = $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$

Do đó $\{\begin{array}{l}x-3=4\\ y-2=0\\ z-5=-1\end{array}$ hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)

Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)

Sơ đồ tư duy Hệ trục toạ độ trong không gian

B. Bài tập Hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$. Tọa độ của điểm M là

A. M(0; 2; 1).             

B. M(2; 0; 1).                                    

C. M(2; 1; 0).                                    

D. M(0; 1; 2).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ $\Rightarrow M(2;1;0)$ .

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oxy)

A. N(1; 0; 2).              

B. P(0; 1; 2).                                    

C. Q(0; 0; 2).                                    

D. M(1; 2; 0).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điểm M(1; 2; 0) thuộc mặt phẳng (Oxy).

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết rằng A(−3; 0; 0), B(0; 2; 0), D(0; 0; 1), A'(1; 2; 3). Tìm tọa độ điểm C'.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AD}=(3;0;1)$. Gọi C(x; y; z)

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y-2=0\\ z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\\ z=1\end{array}\right.$.

Suy ra C(3; 2; 1).

Có $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=(4;2;3)$. Gọi C'(a; b; c).

Vì AA'C'C là hình bình hành nên $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$$\iff \left\{\begin{array}{l}a-3=4\\ b-2=2\\ c-1=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=7\\ b=4\\ c=4\end{array}\right.$.

Vậy C'(7; 4; 4).

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(0; 1; 2), N(7; 3; 2), P(−5; −3; 2).

a) Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}$.

b) Tìm tọa độ điểm Q thỏa mãn $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$.

Hướng dẫn giải

a) Có $\overrightarrow{MN}=(7-0;3-1;2-2)=(7;2;0)$.

b) Gọi Q(x; y; z).

Vì $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$ nên $\left\{\begin{array}{l}-5-x=7\\ -3-y=2\\ 2-z=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-12\\ y=-5\\ z=2\end{array}\right.$ . Vậy Q(−12; −5; 2).

Bài 5. Hình a mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như hình b (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới. Hãy xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm A là (x_A; y_A; z_A). Vì chiều rộng của sân là 6,1 m nên x_A = 6,1.

Do nửa chiều dài của sân là 6,7 m nên y_A = 6,7.

Điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy) nên z_A = 0.

Vậy A(6,1; 6,7; 0).

Độ dài đoạn thẳng AB là 1,55 m nên điểm B có tọa độ là (6,1; 6,7; 1,55).

Vậy ta có $\overrightarrow{AB}=(6,1-6,1;6,7-6,7;1,55-0)=(0;0;1,55)$.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: