Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

A. Lý thuyết Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

Ví dụ: Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là $h(t)=2+24,5t-4,9t^2$

a)     Tìm vận tốc của vật sau 2s

b)    Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c)     Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Lời giải

a)     Ta có: v = h’(t) = 24,5 – 9,8t (m/s)

Do đó v(2) = 24,5 – 9,8.2 = 4,9 (m/s)

b)    Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại $t=-\frac{b}{2a}=2,5s$. Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m)

c)     Vật chạm đất khi h = 0, tức là $2+24,5t-4,9t^2=0$ hay $t\approx 5,08s$

Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08) = 24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s)

Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyện động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn

2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản

Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa

Ví dụ: Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất

Đổi 1 lít = 1000 cm³

Gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ

Diện tích toàn phần của hình trụ là $S=2\pi r^2+2\pi rh$

Do thể tích của hình trụ là 1000 cm³ nên ta có: $V=\pi r^{2}h=1000$ hay $h=\frac{1000}{\pi r^2}$

Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là $S=2\pi r^2+\frac{2000}{r},r>0$

Ta cần tìm r sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:

$S^{\prime }=4\pi r-\frac{2000}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2000}{r^2};S^{\prime }=0\iff \pi r^3=500\iff r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$

BBT

Khi đó: $h=\frac{1000}{\pi r^2}=\frac{100}{\sqrt[3]{250\pi }}$

Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}\approx 5,42(cm)$ và chiều cao $h=\frac{100}{\sqrt[3]{250\pi }}\approx 10,84(cm)$

Sơ đồ tư duy Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

B. Bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài 1. Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động $S=\frac{1}{2}g{t}^2$, trong đó g = 9,8 m/s² và t tính bằng giây (s). Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s bằng

A. 49 m/s.                   

B. 25 m/s.                                    

C. 10 m/s.                                   

D. 18 m/s.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có v(t) = s'(t) = gt = 9,8t.

Khi đó v(5) = 9,8.5 = 49 m/s.

Bài 2. Chi phí xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in…) được cho bởi C(x) = 0,0001x² – 0,2x + 10000, C(x) được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số $M\left(x\right)=\frac{T\left(x\right)}{x}$ với T(x) là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí M(x) thấp nhất, tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó. Biết 1 vạn đồng = 10 000 đồng.

A. 20 000 đồng.

B. 15 000 đồng.

C. 10 000 đồng.

D. 22 000 đồng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo giả thiết ta có: T(x) = C(x) + 0,4x = 0,0001x² + 0,2x + 10000.

Có $M\left(x\right)=\frac{T\left(x\right)}{x}=\mathrm{0,0001}x+\frac{10000}{x}+\mathrm{0,2}\ge 2+\mathrm{0,2}=\mathrm{2,2}$ vạn đồng = 22000 đồng.

Dấu “=” xảy ra khi .

Bài 3. Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê, mỗi căn hộ thêm 50 000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt trong một tháng là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi x là số căn hộ bỏ trống (0 < x < 50).

Khi đó số tiền cho thuê một phòng là 2 000 000 + 50 000x (đồng).

Tổng số tiền cho thuê phòng 1 tháng là

f(x) = (2 000 000 + 50 000x).(50 – x) = −50 000x² + 500 000x + 100 000 000 đồng.

Bài toán trở thành tìm x ∈ (0; 50) để f(x) lớn nhất.

Có f'(x) = −100 000x + 500 000; f'(x) = 0 $\iff$ x = 5.

Bảng biến thiên

- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có doanh thu lớn nhất một tháng là 101 250 000 đồng khi có 5 phòng trống.

Bài 4. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm, rồi gập tấm nhôm lại để được cái hộp không nắp (tham khảo hình vẽ bên). Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất (giả thiết bề dày tấm nhôm không đáng kể).

- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

Hướng dẫn giải

Cái hộp không nắp có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh 12 – 2x (cm)  (0 < x < 6) và chiều cao là x (cm).

Khi đó thể tích V = (12 – 2x)².x = 4x³ – 48x² + 144x.

Bài toán trở thành tìm x ∈ (0; 6) để V lớn nhất.

Có V' = 12x² – 96x + 144; V' = 0 $\iff$ x = 2 (nhận) hoặc x = 6 (loại).

Bảng biến thiên

- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

Vậy x = 2 thì hộp có thể tích lớn nhất.

Bài 5. Một vật chuyển động theo quy luật $s=-\frac{1}{2}{t}^3+6t^2$ với t (giây) là khoảng thời gian từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất vật đạt được bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Có v(t) = s'(t) = $-\frac{3}{2}{t}^2+12t=-\frac{3}{2}\left(t^2-8t+16\right)+24=-\frac{3}{2}{\left(t-4\right)}^2+24\le 24$.

Vậy vận tốc lớn nhất vật đạt được là 24 m/s khi t = 4 giây.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: