Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Kết nối tri thức 2024)

Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 12

Admin Vietjack Ngày: 24-07-2024 Lớp 12

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

A. Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Đang cập nhật ...

B. Bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; 1), B(−1; 3; 2), C(2; 4; −3). Tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}$ là

A. 10.

B. −6.

C. 2.

D. −2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $\vec{A B} = (- 4; 1; 1)$ và $\vec{A C} = (- 1; 2; - 4)$ .

Khi đó $\vec{A B} . \vec{A C} = (- 4) . (- 1) + 1.2 + 1 . (- 4) = 2$ .

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a} = (5; 7; 2)$ , $\vec{b} = (3; 0; 4), \vec{c} = (- 6; 1; - 1)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\vec{m} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b} + \vec{c}$ .

A. $\vec{m} = (3; - 22; 3)$ .

B. $\vec{m} = (3; 22; - 3)$ .

C. $\vec{m} = (3; 22; 3)$ .

D. $\vec{m} = (- 3; 22; - 3)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $\vec{a} = (15; 21; 6)$ ; $\vec{b} = (6; 0; 8)$ .

Khi đó $\vec{m} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b} + \vec{c} = (15 - 6 - 6; 21 - 0 + 1; 6 - 8 - 1) = (3; 22; - 3)$ .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 2), B(1; 1; 4) và trọng tâm G(1; −1; 2).

a) Tìm tọa độ điểm C.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tính $\hat{B A C}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

$\{\begin{cases} x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B} \\ y_{C} = 3 y_{G} - y_{A} - y_{B} \\ z_{C} = 3 z_{G} - z_{A} - z_{B} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{C} = 3.1 - 1 - 1 = 1 \\ y_{C} = 3 . (- 1) - 0 - 1 = - 4 \\ z_{C} = 3.2 - 2 - 4 = 0 \end{cases}$ .

Vậy C(1; −4; 0).

b) Có $\vec{A B} = (1 - 1; 1 - 0; 4 - 2) = (0; 1; 2) \Rightarrow | \vec{A B} | = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$ .

$\vec{A C} = (1 - 1; - 4 - 0; 0 - 2) = (0; - 4; - 2) \Rightarrow | \vec{A C} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{5}$

$\vec{B C} = (1 - 1; - 4 - 1; 0 - 4) = (0; - 5; - 4) \Rightarrow | \vec{B C} | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{41}$

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = $\sqrt{5} + \sqrt{41}$ .

c) $\cos \hat{B A C} = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{| \vec{A B} | . | \vec{A C} |} = \frac{0.0 + 1 . (- 4) + 2 . (- 2)}{\sqrt{5} .2 \sqrt{5}} = - \frac{4}{5}$ .

Suy ra $\hat{B A C} \approx 143^{\circ}$ .

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 4; 1) và B(1; 2; 1).

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai điểm A và B.

Hướng dẫn giải

a) Vì I là trung điểm của AB nên $\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{I} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ y_{I} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \\ z_{I} = \frac{1 + 1}{2} = 1 \end{cases}$ .

Vậy I(2; 3; 1).

b) Vì M thuộc Oy nên M(0; y; 0).

Do M cách đều hai điểm A và B nên MA = MB

$\Leftrightarrow \sqrt{10 + {(4 - y)}^{2}} = \sqrt{2 + {(2 - y)}^{2}}$ .

$\Leftrightarrow 26 - 8 y + y^{2} = 6 - 4 y + y^{2}$

$\Leftrightarrow 4 y = 20 \Leftrightarrow y = 5$ .

Vậy M(0; 5; 0).

Bài 5. Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc $\vec{a} = (300; 200; 400)$ (đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp hai lần tốc độ của máy bay A.