Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Kết nối tri thức 2024)

Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 12

Admin Vietjack Ngày: 05-08-2024 Lớp 12

1.3 K

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

A. Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Các phép toán vecto cơ bản

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ . Ta có:

$\vec{a} + \vec{b} = (x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$

$\vec{a} - \vec{b} = (x - x^{'}; y - y^{'}; z - z^{'})$

$k \vec{a} = (k x; k y; k z)$ với k là một số thực

Công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B (x_{B}; y_{B}; z_{B}), C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ . Khi đó:

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{2})$

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ được xác định bởi công thức $\vec{a} \cdot \vec{b} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$

3. Vận dụng tọa độ của vecto trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Trong không gian với một hệ trục cho trước (đơn vị đo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800;500;7) đến điểm B (940;550;8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?

Giải

Gọi C(x;y;z) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên $\vec{A B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng. Do vận tốc bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên AB = 2 BC

Do đó, $\vec{B C} = \frac{1}{2} \vec{A B} = (\frac{940 - 800}{2}; \frac{550 - 500}{2}; \frac{8 - 7}{2}) = (70; 25; 0, 5)$

Mặt khác, nên ${\begin{cases} x - 940 = 70 \\ y - 550 = 25 \\ z - 8 = 0, 5 \end{cases}$

Từ đó ${\begin{cases} x = 1010 \\ y = 575 \\ z = 8, 5 \end{cases}$ và vì vậy C(1010;575;8,5)

Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là (1010;575;8,5)

Sơ đồ tư duy Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

B. Bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; 1), B(−1; 3; 2), C(2; 4; −3). Tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}$ là

A. 10.

B. −6.

C. 2.

D. −2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $\vec{A B} = (- 4; 1; 1)$ và $\vec{A C} = (- 1; 2; - 4)$ .

Khi đó $\vec{A B} . \vec{A C} = (- 4) . (- 1) + 1.2 + 1 . (- 4) = 2$ .

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a} = (5; 7; 2)$ , $\vec{b} = (3; 0; 4), \vec{c} = (- 6; 1; - 1)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\vec{m} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b} + \vec{c}$ .

A. $\vec{m} = (3; - 22; 3)$ .

B. $\vec{m} = (3; 22; - 3)$ .

C. $\vec{m} = (3; 22; 3)$ .

D. $\vec{m} = (- 3; 22; - 3)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $\vec{a} = (15; 21; 6)$ ; $\vec{b} = (6; 0; 8)$ .

Khi đó $\vec{m} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b} + \vec{c} = (15 - 6 - 6; 21 - 0 + 1; 6 - 8 - 1) = (3; 22; - 3)$ .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 2), B(1; 1; 4) và trọng tâm G(1; −1; 2).

a) Tìm tọa độ điểm C.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tính $\hat{B A C}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

$\{\begin{cases} x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B} \\ y_{C} = 3 y_{G} - y_{A} - y_{B} \\ z_{C} = 3 z_{G} - z_{A} - z_{B} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{C} = 3.1 - 1 - 1 = 1 \\ y_{C} = 3 . (- 1) - 0 - 1 = - 4 \\ z_{C} = 3.2 - 2 - 4 = 0 \end{cases}$ .

Vậy C(1; −4; 0).

b) Có $\vec{A B} = (1 - 1; 1 - 0; 4 - 2) = (0; 1; 2) \Rightarrow | \vec{A B} | = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$ .

$\vec{A C} = (1 - 1; - 4 - 0; 0 - 2) = (0; - 4; - 2) \Rightarrow | \vec{A C} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{5}$

$\vec{B C} = (1 - 1; - 4 - 1; 0 - 4) = (0; - 5; - 4) \Rightarrow | \vec{B C} | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{41}$

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = $\sqrt{5} + \sqrt{41}$ .

c) $\cos \hat{B A C} = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{| \vec{A B} | . | \vec{A C} |} = \frac{0.0 + 1 . (- 4) + 2 . (- 2)}{\sqrt{5} .2 \sqrt{5}} = - \frac{4}{5}$ .

Suy ra $\hat{B A C} \approx 143^{\circ}$ .

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 4; 1) và B(1; 2; 1).

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai điểm A và B.

Hướng dẫn giải

a) Vì I là trung điểm của AB nên $\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{I} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ y_{I} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \\ z_{I} = \frac{1 + 1}{2} = 1 \end{cases}$ .

Vậy I(2; 3; 1).

b) Vì M thuộc Oy nên M(0; y; 0).

Do M cách đều hai điểm A và B nên MA = MB

$\Leftrightarrow \sqrt{10 + {(4 - y)}^{2}} = \sqrt{2 + {(2 - y)}^{2}}$ .

$\Leftrightarrow 26 - 8 y + y^{2} = 6 - 4 y + y^{2}$

$\Leftrightarrow 4 y = 20 \Leftrightarrow y = 5$ .

Vậy M(0; 5; 0).

Bài 5. Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc $\vec{a} = (300; 200; 400)$ (đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp hai lần tốc độ của máy bay A.