Lý thuyết Vectơ trong không gian (Kết nối tri thức 2024)

Lý thuyết Vectơ trong không gian (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 12

Admin Vietjack Ngày: 24-07-2024 Lớp 12

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Bài 6: Vectơ trong không gian sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian

A. Lý thuyết Vectơ trong không gian

Đang cập nhật ...

B. Bài tập Vectơ trong không gian

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{A D} = \vec{c}$ . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{A G} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ .

B. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ .

C. $\vec{A G} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ .

D. $\vec{A G} = \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Gọi M là trung điểm của CD suy ra $\vec{B G} = \frac{2}{3} \vec{B M}$ .

Có $\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B G} = \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{B M} = \vec{A B} + \frac{2}{3} . \frac{1}{2} . (\vec{B C} + \vec{B D}) = \vec{A B} + \frac{1}{3} . (\vec{B C} + \vec{B D})$

Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{D H}$ .

A. 45°.

B. 90°.

C. 120°.

D. 60°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Do ADHE là hình vuông nên $\vec{A E} = \vec{D H}$ .

Do đó $(\vec{A B}, \vec{D H}) = (\vec{A B}, \vec{A E}) = \hat{B A E} = 90^{\circ}$ (do ABFE là hình vuông).

Bài 3. Cho các điểm $A, B, C, D, E, F$ . Chứng minh rằng

a) $\vec{A B} + \vec{D C} = \vec{A C} + \vec{D B}$ .

b) $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{E F} = \vec{A F} + \vec{E D} + \vec{C B}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $V T = \vec{A C} + \vec{C B} + \vec{D B} + \vec{B C} = (\vec{A C} + \vec{D B}) + (\vec{B C} + \vec{C B})$ $= \vec{A C} + \vec{D B} = V P$ .

b) Biến đổi $V T = \vec{A F} + \vec{F B} + \vec{C B} + \vec{B D} + \vec{E D} + \vec{D F}$

$= (\vec{A F} + \vec{E D} + \vec{C B}) + (\vec{F B} + \vec{B D} + \vec{D F}) = \vec{A F} + \vec{E D} + \vec{C B} = V P$

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\hat{B A C} = \hat{B A D} = 60^{\circ}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ .

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Ta có $\vec{A B} . \vec{C D} = \vec{A B} . (\vec{A D} - \vec{A C}) = \vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A C}$ (1).

Mà $\vec{A B} . \vec{A D} = | \vec{A B} | . | \vec{A D} | . \cos \hat{B A D}$ (2).

$\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos \hat{B A C}$ (3).

AB = AC = AD và $\hat{B A C} = \hat{B A D} = 60^{\circ}$ (4).

Từ (1), (2), (3) và (4), ta có $\vec{A B} . \vec{C D} = 0 \Rightarrow (\vec{A B}, \vec{C D}) = 90^{\circ}$ .

Bài 5. Công của lực $\vec{F}$ làm một chất điểm chuyển động một đoạn đường $\vec{d}$ được tính bởi công thức $W = \vec{F} . \vec{d}$ . Hình vẽ sau mô tả một người đẩy chiếc xe di chuyển một đoạn 20 m với lực đẩy 50 N, góc đẩy là 60°. Tính công của lực đã nêu.