Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f(x)=\sqrt{1-x^2}$

Tập xác định của hàm số là $\left[-1;1\right]$

Ta có:

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ $\ge$ 0; dấu bằng xảy ra khi $1-x^2=0$, tức x = -1 hoặc x = 1.

Do đó $\underset{x\in \left[-1;1\right]}{min}f(x)=f(-1)=f(1)=0$

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ $\le 1$; dấu bằng xảy ra khi $1-x^2=1$, tức x = 0.

Do đó $\underset{x\in \left[-1;1\right]}{max}f(x)=f(0)=1$

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=x^4-4x^2+3$ trên đoạn $\left[0;4\right]$

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-8x=4x(x^2-2);y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$ (vì $x\in \left[0;4\right]$)

            y(0) = 3; y(4) = 195; y($\sqrt{2}$) = -1

Do đó: $\underset{\left[0;4\right]}{max}y=y(4)=195$; $\underset{\left[0;4\right]}{min}y=y(\sqrt{2})=-1$

Sơ đồ tư duy Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

B. Bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³ + 3x² trên đoạn [−5; −1] bằng

A. 0. 

B. 4. 

C. 2. 

D. −50.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trên đoạn [−5; −1], có y' = 3x² + 6x;

Có y' = 0 $\iff$ x = 0 (loại) hoặc x = −2 (nhận).

Có y(−5) = −50; y(−2) = 4; y(−1) = 2.

Vậy $\underset{\left[-5;-1\right]}{\min }y=y\left(-5\right)=-50$ .

Bài 2. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{1}{2}x-\sqrt{x+2}$ trên đoạn [−1; 34]. Tổng S = 3m + M bằng.

A. $S=\frac{13}{2}$. 

B. $S=\frac{25}{2}$ . 

C. $S=\frac{63}{2}$ . 

D. $S=\frac{11}{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trên đoạn [−1; 34], có $y^{\text{'}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$ ;

$y^{\text{'}}=0\iff \sqrt{x+2}=1\iff x=-1$ (nhận).

Có $y\left(-1\right)=-\frac{3}{2};y\left(34\right)=11$ .

Do đó $m=-\frac{3}{2};M=11$ . Suy ra $S=3.\left(-\frac{3}{2}\right)+11=\frac{13}{2}$.

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³ – 3x² – 9x + 5 trên đoạn [−2; 2].

Hướng dẫn giải

Trên đoạn [−2; 2], có y' = 3x² – 6x – 9; y' = 0 $\iff$ x = −1 (nhận) hoặc x = 3 (loại).

Có y(−2) = 3; y(−1) = 10; y(2) = −17.

Vậy $\underset{\left[-2;2\right]}{\max }y=y\left(-1\right)=10;\underset{\left[-2;2\right]}{\min }y=y\left(2\right)=-17$ .

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^2-4x}{2x+1}$ trên đoạn [0; 3].

Hướng dẫn giải

Trên đoạn [0; 3], có $y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-4\right)\left(2x+1\right)-2\left(x^2-4x\right)}{{\left(2x+1\right)}^2}=\frac{2x^2+2x-4}{{\left(2x+1\right)}^2}$ ;

Có y' = 0 $\iff$ 2x² + 2x – 4 = 0 $\iff$ x = −2 (loại) hoặc x = 1 (nhận).

Có y(0) = 0; y (1) = −1; y(3) = $-\frac{3}{7}$ .

Vậy $\underset{\left[0;3\right]}{\max }y=y\left(0\right)=0;\underset{\left[0;3\right]}{\min }y=y\left(1\right)=-1$.

Bài 5. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t² – t³ (kết quả khảo sát được trong tháng 8 vừa qua). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Hỏi tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Hướng dẫn giải

Ta có f'(t) = 90t – 3t².

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của g(t) = f'(t) = 90t – 3t² trên (0; +∞).

Có g'(t) = 90 – 6t; g'(t) = 0 $\iff$ t = 15.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ 15

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: