Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

A. Lý thuyết Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

1. Độ dài cung tròn

Tỉ số giữa chi vi C của mỗi đường tròn với đường kính d của đường tròn đó là một hằng số, kí hiệu là $\pi$. Số $\pi$ là số vô tỉ, cụ thể: $\pi =3,\mathrm{1415...}$

- Chu vi đường tròn đường kính d là $C=\pi d$.

- Chu vi đường tròn bán kính R là $C=2\pi R$.

Công thức tính độ dài cung tròn

Ví dụ:

Đường tròn (O; 2cm), $\widehat{AOB}={60}^{\circ }$.

- Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.

Do đó sđ$\stackrel{⌢}{AB}=\widehat{AOB}=60{}^{\circ }$

Độ dài $l_1$ của cung AB là:

$l_1=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .2.60}{180}=\frac{2\pi }{3}\approx 2,1\left(cm\right)$

Cung lớn AnB có số đo là:

sđ$\stackrel{⌢}{AmN}=360{}^{\circ }-60{}^{\circ }=300{}^{\circ }$.

Độ dài $l_2$ của cung AnB là:

$l_2=\frac{\pi .2.300}{180}=\frac{10\pi }{3}\approx 10,5\left(cm\right)$

2. Diện tích hình quạt tròn

Chú ý:

- Hình tròn tâm O bán kính R bao gồm đường tròn (O;R) và tất cả các điểm nằm trong đường tròn đó.

- Diện tích của hình tròn bán kính R là $S=\pi R^2$.

Khái niệm hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn

Nhận xét: Gọi $l$ là độ dài của cung tròn có số đo $n^{\circ }$ thì diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung tròn có số đo $n^{\circ }$ là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi Rn}{180}.\frac{R}{2}=\frac{lR}{2}$.

Ví dụ: Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là $l=4\pi$cm, bán kính là R = 5cm là:

$S_q=\frac{l.R}{2}=\frac{4\pi .5}{2}=10\pi \left(c{m}^2\right)$

3. Diện tích hình vành khuyên

Khái niệm hình vành khuyên

Diện tích hình vành khuyên

Ví dụ:  Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:

$S_v=\pi \left(5^2-3^2\right)=16\pi \left(m^2\right)$

Sơ đồ tư duy Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

B. Bài tập Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Bài 1. Cho đường tròn có bán kính 2 cm, độ dài cung tròn có số đo 10° là

A. $\frac{2\pi }{9}$ cm;

B. $\frac{\pi }{9}$ cm;

C. $\frac{\pi }{18}$ cm;

D. 9π cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Độ dài cung tròn đó là: $l=\frac{\pi \cdot 2\cdot 10}{180}=\frac{\pi }{9}$ (cm).

Bài 2. Hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung có số đo bằng 90° có diện tích bằng

A. $\frac{\pi R^2}{2};$

B. πR²;

C. $\frac{\pi R^2}{8};$

D.$\frac{\pi R^2}{4};$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích hình quạt tròn đó là: $S=\frac{\pi R^2\cdot 90}{360}=\frac{\pi R^2}{4}.$

Bài 3. Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 3 cm) và (O; 7 cm) có diện tích bằng

A. 40π cm²;

B. 4π cm²;

C. 40 cm²;

D. 4 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình vành khuyên đó là:

S = π(7² – 3²) = 40π (cm²).

Bài 4. Một cái bàn tròn phục vụ trong nhà hàng có chu vi là 64π dm.

a) Tính độ dài cung 90° của cái bàn đó.

b) Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi độ dài cung vừa tìm được.

Hướng dẫn giải

a) Bán kính của cái bàn đó là: $R=\frac{64\pi }{2\pi }=32$ (dm).

Độ dài cung tròn cần tìm là: $l=\frac{\pi \cdot 32\cdot 90}{180}=16\pi$ (dm).

b) Diện tích hình quạt tròn cần tìm là:

$S=\frac{16\pi \cdot 32}{2}=256\pi$ (dm²).

Bài 5. Một chiếc quạt giấy khi xòe ra có dạng nửa đường tròn bán kính 2 dm (như hình vẽ). Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng 1,5 dm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của dm²).

Hướng dẫn giải

Bán kính phần rỗng (không có giấy) của chiếc quạt là:

r = 2 – 1,5 = 0,5 (dm).

Diện tích phần giấy của chiếc quạt là:

S = π(2² – 0,5²) = 3,75π ≈ 11,78 (dm²).

Vậy diện tích phần giấy của chiếc quạt khoảng 11,78 dm².

Xem thêm các bài tóm tắt Lý thuyết Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết Bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Lý thuyết Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Lý thuyết Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn

Lý thuyết Bài 4: Góc ở tâm. Góc nội tiếp

Lý thuyết Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên