Hoạt động 3 trang 9 Toán 12 Tập 1: Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=-x^3-3x^2+3$ ở Hình 3, hãy so sánh:

a) $f\left(-2\right)$ với mỗi giá trị $f\left(x\right)$, ở đó $x\in \left(-3;-1\right)$ và $x\ne -2$.

b) $f\left(0\right)$với mỗi giá trị $f\left(x\right)$, ở đó $x\in \left(-1;1\right)$ và $x\ne 0$.

Lời giải:

a) Nhận xét: Ta thấy rằng $f\left(x\right)>f\left(-2\right)$ với mọi $x\in \left(-3;-1\right)$ và $x\ne -2$.

b) Tương tự: Ta thấy rằng $f\left(x\right)<f\left(0\right)$ với mọi $x\in \left(-1;1\right)$ và $x\ne 0$.

Hoạt động 4 trang 10 Toán 12 Tập 1: Quan sát bảng biến thiên dưới đây và cho biết:

a) $x_o$ có là điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$ hay không.

b) $x_1$ có là điểm cực tiểu của hàm số $h\left(x\right)$ hay không.

Lời giải:

a) $x_o$ có là điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$ .

b) $x_1$ có là điểm cực tiểu của hàm số $h\left(x\right)$.

Luyện tập 5 trang 11 Toán 12 Tập 1: Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) $y=x^4-6x^2+8x+1$.

b) $y=\frac{3x+5}{x-1}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-12x+8$.

Xét $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=-2\\ x=1\end{array}$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-2$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-8}{{\left(x-1\right)}^2}$.

Nhận xét $y^{\prime }<0\mathrm{\forall }x\in D$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số không có điểm cực trị.

Bài tập

Bài 1 trang 13 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

B. $\left(-1;0\right)$.

C. $\left(-1;1\right)$.

D. $\left(0;1\right)$.

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đi lên trong khoảng $\left(0;1\right)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;1\right)\Rightarrow D$.

Bài 2 trang 13 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:

a) $2$.

b) $3$.

c) $-4$.

d) $0$.

Lời giải:

Giá trị cực tiểu của hàm số là $y=-4\Rightarrow C$

Bài 3 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau:

a) $y=-x^3+2x^2-3$ b) $y=x^4-2x^2+5$

c) $y=\frac{3x+1}{2-x}$ d) $y=\frac{x^2-2x}{x+1}$

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+4x$.

Nhận xét $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{4}{3}\end{array}$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{4}{3}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(\frac{4}{3};+\mathrm{\infty }\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4x$.

Nhận xét $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(0;1\right)$.

c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{5}{{\left(2-x\right)}^2}$.

Nhận xét $y^{\prime }>0\mathrm{\forall }x\in D$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

d) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x+1\right)-x^2+2x}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x-2}{{\left(x+1\right)}^2}$.

Nhận xét $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=-1+\sqrt{3}\\ x=-1-\sqrt{3}\end{array}$.

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1-\sqrt{3}\right)$ và $\left(-1+\sqrt{3};+\mathrm{\infty }\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-1-\sqrt{3};-1\right)$ và $\left(-1;-1+\sqrt{3}\right)$.

Bài 4 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) $y=2x^3+3x^2-36x-10$

b) $y=x^4+2x^2-3$

c) $y=x-\frac{1}{x}$

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=6x^2+6x-36$.

Nhận xét $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=2\\ x=-3\end{array}$.

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-3$ và đạt cực tiểu tại $x=2$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=x^3+4x$.

Nhận xét $y^{\prime }=0\iff x=0$.

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$

c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=1+\frac{1}{x^2}$.

Nhận xét $y^{\prime }>0\mathrm{\forall }x\in D$.

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số không có điểm tiểu và điểm cực đại.

Bài 5 trang 14 Toán 12 Tập 1: Cho hai hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ có đồ thị hàm số lần lượt ở Hình 6a, Hình 6b. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.

Lời giải:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right),\left(0;1\right),\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-1;0\right),\left(1;2\right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và $x=1$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và $x=2$.

b) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-2;0\right),\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-2\right),\left(0;1\right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$ và $x=1$.

Bài 6 trang 14 Toán 12 Tập 1: Thể tích V (đơn vị: centimet khối) của 1kg nước tại nhiệt độ T được tính bởi công thức sau:

Hỏi thể tích , giảm trong khoảng nhiệt độ nào?

Lời giải:

 

 

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy thể tích giảm trong khoảng nhiệt độ từ (0^o; 3,97^o).

Bài 7 trang 14 Toán 12 Tập 1: Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm $t=0\left(s\right)$ cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm $t=126\left(s\right)$, cho bởi hàm số sau:

$v\left(t\right)=0,001320t^3-0,09029t^2+23$.

(v được tính bằng ft/s, 1 feet = 0,3048 m)

Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?

Lời giải:

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $v^{\prime }\left(t\right)=3\times 0,001320t^2-2\times 0,09029t$.

Nhận xét $a\left(t\right)=v^{\prime }\left(t\right)=0\iff [\begin{array}{l}t=0\\ t\approx 45,6\end{array}$.

Vậy gia tốc tàu con thoi tăng trong khoảng 45,6s đầu tiên.