Với lời giải SBT Toán 11 trang 45 Tập 2 chi tiết trong Bài tập cuối chương 7 sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

Câu 7 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số y = ln (cos x) có đạo hàm là.

A. $\frac{1}{\cos x}$.

B. ‒tan x.

C. tan x.

D. cot x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

$y^{\text{'}}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$.

Câu 8 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số $f\left(x\right)=e^{\sqrt{x^2+4}}$ có đạo hàm tại x = 1 bằng.

A. $f^{\text{'}}\left(1\right)=e^{\sqrt{5}}$.

B. $f^{\text{'}}\left(1\right)=2e^{\sqrt{5}}$.

C. $f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{e^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$.

D. $f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{e^{\sqrt{5}}}{2\sqrt{5}}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=e^{\sqrt{x^2+4}}.\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}=\frac{x{e}^{\sqrt{x^2+4}}}{\sqrt{x^2+4}}$.

Vậy $f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{e^{\sqrt{1^2+4}}}{\sqrt{1^2+4}}=\frac{e^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$.

B. TỰ LUẬN

Bài 1 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\sqrt{4x+1}$ tại x = 2;

b) $f\left(x\right)=x^4$ tại x = ‒1;

c) $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$;

d) $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2+1}$

Lời giải:

a) Với $x_0\ge -\frac{1}{4}$, ta có:

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-\sqrt{4x_0+1}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{4\left(\sqrt{4x+1}-\sqrt{4x_0+1}\right)}{\left(4x+1\right)-\left(4x_0+1\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{4\left(\sqrt{4x+1}-\sqrt{4x_0+1}\right)}{\left(\sqrt{4x+1}-\sqrt{4x_0+1}\right)\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4x_0+1}\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{4}{\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4x_0+1}\right)}$

$=\frac{4}{2\sqrt{4x_0+1}}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(2\right)=\frac{4}{2\sqrt{4.2+1}}=\frac{2}{3}$.

b) Với $x_0\in$ ℝ, ta có:

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^4-{x_0}^4}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^4-{x_0}^4}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x^2-{x_0}^2\right)\left(x^2+{x_0}^2\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)\left(x^2+{x_0}^2\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x+x_0\right)\left(x^2+{x_0}^2\right)=2x_0.2{x_0}^2=4{x_0}^3$

Vậy $y^{\text{'}}(-1)=4.{(-1)}^3=-4$.

c) Với $x_0\ne -1$, ta có:

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x_0+1}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x_0+1}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x_0+1\right)-\left(x+1\right)}{\left(x-x_0\right)\left(x+1\right)\left(x_0+1\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x_0-x}{\left(x-x_0\right)\left(x+1\right)\left(x_0+1\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }-\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x_0+1\right)}$

$=-\frac{1}{{\left(x_0+1\right)}^2}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\left(x\ne -1\right).$

d) Với $x_0\in$ ℝ, ta có:

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x+x_0\right)\left(\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}\right)}{\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x+x_0\right)\left(\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}\right)}{x^2-x_0^2}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x+x_0\right)\left(\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}\right)}{\left(x^2+1\right)-\left(x_0^2+1\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x+x_0\right)\left(\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}\right)}{\left(\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}\right)\left(\sqrt[3]{{\left(x^2+1\right)}^2}+\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt[3]{x_0^2+1}+\sqrt[3]{{\left(x_0^2+1\right)}^2}\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x+x_0}{\sqrt[3]{{\left(x^2+1\right)}^2}+\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt[3]{x_0^2+1}+\sqrt[3]{{\left(x_0^2+1\right)}^2}}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{2x_0}{3\sqrt[3]{{\left(x_0^2+1\right)}^2}}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x}{3\sqrt[3]{{\left(x^2+1\right)}^2}}$ ($x\in$ ℝ).

Bài 2 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2x³ – x² + 2x +1 có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi tiếp tuyến là d và tiếp điểm M(x₀,f(x₀)).

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=6x^2–2x+2=6{\left(x-\frac{1}{6}\right)}^2+\frac{11}{6}\ge \frac{11}{6}$.

Vậy hệ số góc của d nhỏ nhất bằng $\frac{11}{6}$ khi $x_0=\frac{1}{6}$.

Phương trình đường tiếp tuyến d:

$y-f\left(\frac{1}{6}\right)=f^{\text{'}}\left(\frac{1}{6}\right)\left(x-\frac{1}{6}\right)$

$\iff y-\frac{71}{54}=\frac{11}{6}\left(x-\frac{1}{6}\right)$

$\iff y=\frac{11}{6}x+\frac{109}{108}$

Vậy tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất là d: $y=\frac{11}{6}x+\frac{109}{108}$.

Bài 3 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Vị trí chuyển động của một vật trên đường thẳng được biểu diễn bởi công thức $s\left(t\right)=3t^3+5t+2$, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật đó khi t = 1.

Lời giải:

Ta có $s^{\text{'}}\left(t\right)=9t^2+5$ nên ${s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=18t$.

$s^{\text{'}}\left(1\right)={9.1}^2+5=14$ (m/s)

$s^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=18.1=18$ (m/s²)

Vậy khi t = 1, vận tốc và gia tốc của vật đó lần lượt bằng 14 m/s và 18 m/s².

Bài 4 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{x}\left(x^2-\sqrt{x}+1\right)$;

b) $y=\frac{1}{x^2-3x+1}$;

c) $y=\frac{2x+3}{3x+2}$.

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}={\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}\left(x^2-\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{x}{\left(x^2-\sqrt{x}+1\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{\left(x^2-\sqrt{x}+1\right)}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\left(2x-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$

$=\frac{x\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}-\frac{1}{2}$

$=\frac{5}{2}x\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-1$.

b) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2-3x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^2-3x+1\right)}^2}$

$=\frac{2x-3}{{\left(x^2-3x+1\right)}^2}$.

c) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(2x+3\right)}^{\text{'}}\left(3x+2\right)-\left(2x+3\right){\left(3x+2\right)}^{\text{'}}}{{\left(3x+2\right)}^2}$

$=\frac{2\left(3x+2\right)+\left(2x+3\right)3}{{\left(3x+2\right)}^2}=-\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}$.

Bài 5 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x\sin x}{1-\tan x}$;

b) $y=\cos \sqrt{x^2-x+1}$;

c) y = sin²3x;

d) y = cos²(cos3x).

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=\frac{\left(x\sin x\right)\text{'}\left(1-\tan x\right)+\left(x\sin x\right){\left(1-\tan x\right)}^{\text{'}}}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\left(\sin x+x\cos x\right)\left(1-\tan x\right)+\left(x\sin x\right)\left(-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\sin x+x\cos x-\sin x\tan x-x\sin x+\frac{x\sin x}{{\cos }^{2}x}}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\sin x+x\cos x-\sin x\tan x+x\sin x\left(-1+\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\sin x+x\cos x-\sin x\tan x+x\sin x\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\sin x+x\cos x-\sin x\tan x+x\sin x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\sin x+x\cos x-\sin x\tan x+x\sin x{\tan }^{2}x}{{\left(1-\tan x\right)}^2}.$

b) $y^{\text{'}}=-\sin \sqrt{x^2-x+1}.{\left(\sqrt{x^2-x+1}\right)}^{\text{'}}$

$=-\sin \sqrt{x^2-x+1}.\frac{1}{2\sqrt{x^2-x+1}}.{\left(x^2-x+1\right)}^{\text{'}}$

$=-\frac{\sin \sqrt{x^2-x+1}}{2\sqrt{x^2-x+1}}.\left(2x-1\right)$

$=-\frac{\left(2x-1\right)\sin \sqrt{x^2-x+1}}{2\sqrt{x^2-x+1}}$.

c) $y^{\text{'}}=2sin3x.{\left(\sin 3x\right)}^{\text{'}}=2sin3x.\cos 3x.3$

$=3\sin 6x$.

d) $y=co{s}^2\left(cos3x\right)=2\cos \left(\cos 3x\right).{\left(\cos \left(\cos 3x\right)\right)}^{\text{'}}$

$=2\cos \left(\cos 3x\right).\left(-\sin \left(\cos 3x\right)\right).{\left(\cos 3x\right)}^{\text{'}}$

$=-2\cos \left(\cos 3x\right).\sin \left(\cos 3x\right).\left(-\sin 3x\right).3$

$=3\sin 3x\sin \left(2\cos 3x\right)$.

Bài 6 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau biết rằng f và g là các hàm số có đạo hàm trên ℝ:

a) y = f(x³);

b) $y=\sqrt{f^2\left(x\right)+g^2\left(x\right)}$.

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x^3\right).{\left(x^3\right)}^{\text{'}}=3x^2{f}^{\text{'}}\left(x^3\right)$.

b) $y^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{f^2\left(x\right)+g^2\left(x\right)}}.{\left(f^2\left(x\right)+g^2\left(x\right)\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{\left(2f\left(x\right)f^{\text{'}}\left(x\right)+2g\left(x\right)g^{\text{'}}\left(x\right)\right)}{2\sqrt{f^2\left(x\right)+g^2\left(x\right)}}$

$=\frac{f\left(x\right)f^{\text{'}}\left(x\right)+g\left(x\right)g^{\text{'}}\left(x\right)}{\sqrt{f^2\left(x\right)+g^2\left(x\right)}}$.

Bài 7 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+2x^2-mx-5$. Tìm m để

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có nghiệm kép.

b) $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ với mọi x.

Lời giải:

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+4x-m$

$\Delta =\frac{4^2-\mathrm{4.3.}\left(-m\right)}{2.4}=\frac{16+12m}{8}=\frac{4+3m}{2}$.

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có nghiệm kép khi $\Delta =\frac{4+3m}{2}=0$ hay $m=-\frac{4}{3}$.

b) $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ với mọi x khi $\Delta =\frac{4+3m}{2}\ge 0$ hay $m\le -\frac{4}{3}$.

Bài 8 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x+8}$. Giải phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{2}{3}$.

Lời giải:

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-2x+8}}.{\left(x^2-2x+8\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+8}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+8}}$.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{2}{3}\iff \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+8}}=-\frac{2}{3}$

$\iff 2\sqrt{x^2-2x+8}=-3\left(x-1\right)\left(x<1\right)$

$\iff 4\left(x^2-2x+8\right)=9{\left(x-1\right)}^2$

$\iff 4\left(x^2-2x+8\right)=9\left(x^2-2x+1\right)$

$\iff 5x^2-10x-23=0$

$\iff x=\frac{5+2\sqrt{35}}{5}$ (loại); $x=\frac{5-2\sqrt{35}}{5}$ (nhận).

Vậy $x=\frac{5-2\sqrt{35}}{5}$.

Bài 9 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x-1}{x+2}$;

b) $y=\sqrt{3x+2}$;

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=\frac{\left(x+2\right)-\left(x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}$.

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{3.\left(-2\right)}{{\left(x+2\right)}^3}=-\frac{6}{{\left(x+2\right)}^3}$.

b) $y=\sqrt{3x+2}=\frac{{\left(3x+2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{3x+2}}=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}$.

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{3.\left(-\frac{1}{2}\right).{\left(3x+2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{{\left(3x+2\right)}^3}}=-\frac{3.3}{4\sqrt{{\left(3x+2\right)}^3}}$

$=-\frac{9}{4\sqrt{{\left(3x+2\right)}^3}}$.

c) $y^{\text{'}}=x{e}^{2x}=e^{2x}+x{\left(e^{2x}\right)}^{\text{'}}=e^{2x}+x.e^{2x}.2=\left(2x+1\right)e^{2x}$.

$y^{\text{'}\text{'}}={\left(2x+1\right)}^{\text{'}}{e}^{2x}+\left(2x+1\right){\left(e^{2x}\right)}^{\text{'}}=2e^{2x}+\left(2x+1\right)e^{2x}.2$

$=2e^{2x}+\left(4x+2\right)e^{2x}=4\left(x+1\right)e^{2x}$.