Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ* 1+2C1n+4C2n+...+2^(n-1)C(n-1)n+2^nCnn=3^n

Với giải Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài tập cuối chuyên đề 2 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*

a) $1 + 2 C_{n}^{1} + 4 C_{n}^{2} + \dots + 2^{n - 1} C_{n}^{n - 1} + 2^{n} C_{n}^{n} = 3^{n};$

b) $2 n^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Lời giải:

a) $1 + 2 C_{n}^{1} + 4 C_{n}^{2} + \dots + 2^{n - 1} C_{n}^{n - 1} + 2^{n} C_{n}^{n}$

$= C_{n}^{0} 1 + C_{n}^{1} 2 + C_{n}^{2} 2^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} 2^{n - 1} + C_{n}^{n} 2^{n}$

$= C_{n}^{0} 1^{n} + C_{n}^{1} 1^{n - 1} 2 + C_{n}^{2} 1^{n - 2} 2^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} {1 .2}^{n - 1} + C_{n}^{n} 2^{n}$

= (1 + 2)ⁿ = 3ⁿ.

b) Ta có:

${(x + 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} x^{2 n} + 2 n^{1} x^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} 1^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} x 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} 1^{2 n}$

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} x + C_{2 n}^{2 n} .$

Cho x = –1, ta được:

${(- 1 + 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} {(- 1)}^{2 n} + C_{2 n}^{1} {(- 1)}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} {(- 1)}^{2 n - 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} (- 1) + C_{2 n}^{2 n}$