Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+1/2+1/3+...+1/n<=(n+1)/2 đúng với mọi n∈ ℕ*

Với giải Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài tập cuối chuyên đề 2 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \leq \frac{n + 1}{2}$ đúng với mọi n∈ ℕ*

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{1} = 1 = \frac{1 + 1}{2} .$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} \leq \frac{k + 1}{2} .$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} \leq \frac{(k + 1) + 1}{2} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} \leq$ $\frac{k + 1}{2} + \frac{1}{k + 1} = \frac{{(k + 1)}^{2} + 2}{2 (k + 1)} = \frac{k^{2} + 2 k + 3}{2 (k + 1)}$

$\leq \frac{k^{2} + 2 k + 1 + 2}{2 (k + 1)} \leq \frac{k^{2} + 2 k + k + 2}{2 (k + 1)} = \frac{k^{2} + 3 k + 2}{2 (k + 1)} = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2 (k + 1)} = \frac{k + 2}{2} = \frac{(k + 1) + 1}{2} .$