Tailieumoi.vn giới thiệu giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*

a) $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$

b) $1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+n(3n+1)=n{(n+1)}^2$

c) $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1³ = $\frac{1^2{(1+1)}^2}{4}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1^3+2^3+3^3+...+k^3=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$$\begin{gathered} 1^3+2^3+3^3+\dots +k^3+{\left(k+1\right)}^3 \\ =\frac{{\left(k+1\right)}^2{\left[(k+1)+1\right]}^2}{4}. \end{gathered}$$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1^3+2^3+3^3+...+k^3+{(k+1)}^3$

$=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4} +{(k+1)}^3$

$=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}+\frac{4{(k+1)}^3}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2[k^2+4(k+1)]}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2(k^2+4k+4)}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2{(k+2)}^2}{4}=\frac{{(k+1)}^2{[(k+1)+1]}^2}{4}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 +  1)². Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+k(3k+1)=k{(k+1)}^2.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1){[(k+1)+1]}^2.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]$

$=k{(k+1)}^2+(k+1)[3(k+1)+1]$

$=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]$

$=(k+1)(k^2+4k+4)$

$=(k+1){(k+2)}^2=(k+1){[(k+1)+1]}^2.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{(2.1-1)(2.1+1)}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n∈ ℕ*:

a) 3ⁿ – 1 – 2n chia hết cho 4

b) 7ⁿ – 4ⁿ – 3ⁿ chia hết cho 12.

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 3¹ – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 3^k – 1 – 2k ⁝ 4.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

3^{k + 1} – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

3^{k + 1} – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3^k – 1 –2k – 2 = 3 . 3^k – 3 –2k = 3 . 3^k – 3 –6k + 4k

= 3(3^k – 1 – 2k) + 4k

Vì (3^k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3^k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3^{k + 1} – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 7¹ – 4¹ – 3¹ = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 7^k – 4^k – 3^k ⁝ 12.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

7^{k + 1} – 4^{k + 1} – 3^{k + 1} ⁝ 12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

7^{k + 1} – 4^{k + 1} – 3^{k + 1} = 7 . 7^k – 4 . 4^k – 3 . 3^k = 7 . 7^k – 7 . 4^k – 7 . 3^k + 3 . 4^k + 4 . 3^k

= 7(7^k – 4^k – 3^k) + 3 . 4^k + 4 . 3^k = 7(7^k – 4^k – 3^k) + 12 . 4^{k – 1} + 12 . 3^{k – 1} (vì k ≥ 1).

Vì 7(7^k – 4^k – 3^k), 12 . 4^{k – 1} và 12 . 3^{k – 1} đều chia hết cho 12 nên 7(7^k – 4^k – 3^k) + 12 . 4^{k – 1} + 12 . 3^{k – 1} ⁝ 12 hay 7^{k + 1} – 4^{k + 1} – 3^{k + 1} ⁝ 12.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8ⁿ ≥ n³ với mọi n∈ ℕ*

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có 8¹ = 8 > 1 = 1³. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 8^k ≥ k³.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

8^{k + 1} ≥ (k + 1)³.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

8^{k + 1} = 8 . 8^k ≥ 8 . k³ = k³ + 3k³ + 3k³ + k³ ≥ k³ + 3k² + 3k + 1 (vì k ≥ 1) = (k + 1)³.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n}\le \frac{n+1}{2}$ đúng với mọi n∈ ℕ*

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{1}=1=\frac{1+1}{2}.$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k}\le \frac{k+1}{2}.$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\le \frac{(k+1)+1}{2}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\le$$\frac{k+1}{2}+\frac{1}{k+1}=\frac{{(k+1)}^2+2}{2(k+1)}=\frac{k^2+2k+3}{2(k+1)}$

$\le \frac{k^2+2k+1+2}{2(k+1)}\le \frac{k^2+2k+k+2}{2(k+1)}=\frac{k^2+3k+2}{2(k+1)}=\frac{(k+1)(k+2)}{2(k+1)}=\frac{k+2}{2}=\frac{(k+1)+1}{2}.$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau

Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu a_n là lượng nước có trong bình sau bước n(n∈ ℕ*).

a) Tính a₁, a₂, a₃. Từ đó dự đoán công thức tính a_n với n∈ ℕ*

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a) Sau bước 1 thì trong bình có $\frac{1}{2}$ l nước, do đó a₁ = $\frac{1}{2}$

Sau bước 2 thì trong bình có: $\frac{(\frac{1}{2}+1)}{2}=\frac{3}{4}$l nước, do đó a₂ = $\frac{3}{4}$

Sau bước 3 thì trong bình có: $\frac{(\frac{3}{4}+1)}{2}=\frac{7}{8}.$ l nước, do đó a₂ = $\frac{7}{8}$

Ta có thể dự đoán a_n = $\frac{2^n-1}{2^n}.$

b) Ta chứng minh bằng quy nạp:

Bước 1. Với n = 1, ta có a₁ = $\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1}.$ Do đó công thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: a_k = $\frac{2^k-1}{2^k}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

a_{k + 1} = $\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}.$

Thật vậy:

a_k là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:

a_{k + 1} = $=\frac{\frac{2^k-1}{2^k}+1}{2}=\frac{\frac{(2^k-1)+2^k}{2^k}}{2}=\frac{{\mathrm{2\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^k-1}{2^k\mathrm{\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}.$

Vậy công thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 6 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x³ trong khai triển:

a) (1 – 3x)⁸;

b) ${(1+\frac{x}{2})}^7$.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(1 – 3x)⁸ = $C_8^0{1}^8+C_8^1{1}^7(-3x)+\mathrm{\dots }+C_8^k{1}^{8-k}{(-3x)}^k+\mathrm{\dots }+C_8^8{(-3x)}^8$

$=1+C_8^1(-3)x+\mathrm{\dots }+C_8^k{(-3)}^k{x}^k+\mathrm{\dots }+C_8^8{(-3)}^8{x}^8.$

Số hạng chứa x³ ứng với giá trị k = 3. Hệ số của số hạng này là $C_8^3{(-3)}^3=-1512.$

b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

${(1+\frac{x}{2})}^7=C_7^0{1}^7+C_7^1{1}^6\left(\frac{x}{2}\right)+\mathrm{\dots }+C_7^k{1}^{7-k}{\left(\frac{x}{2}\right)}^k+\mathrm{\dots }+C_7^7{\left(\frac{x}{2}\right)}^7$

$=1+C_7^1\frac{1}{2}x+\mathrm{\dots }+C_7^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^k{x}^k+\mathrm{\dots }+C_7^7{\left(\frac{1}{2}\right)}^7{x}^7.$

Số hạng chứa x³ ứng với giá trị k = 3. Hệ số của số hạng này là $C_7^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{35}{8}.$

Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶

Lời giải:

Có (2x + 3)(x – 2)⁶

= 2x(x – 2)⁶ + 3(x – 2)⁶.

Ta tìm hệ số của x⁵ trong từng khai triển: 2x(x – 2)⁶ và 3(x – 2)⁶.

+) Có: 2x(x – 2)⁶

= 2x$[C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5(-2)+C_6^2{x}^4{(-2)}^2+C_6^3{x}^3{(-2)}^3$

$+C_6^4{x}^2{(-2)}^4+C_6^{5}x{(-2)}^5+C_6^6{(-2)}^6]$

= $2C_6^0{x}^7+2(-2)C_6^1{x}^6+2{(-2)}^2{C}_6^2{x}^5+2{(-2)}^3{C}_6^3{x}^4$

$+2{(-2)}^4{C}_6^4{x}^3+2{(-2)}^5{C}_6^5{x}^2+2{(-2)}^6{C}_6^{6}x.$

Hệ số của x5 trong khai triển này là 2(–2)² $C_6^2$= 120.

+) Có: 3(x – 2)⁶

= 3$[C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5(-2)+C_6^2{x}^4{(-2)}^2+C_6^3{x}^3{(-2)}^3$

$+C_6^4{x}^2{(-2)}^4+C_6^{5}x{(-2)}^5+C_6^6{(-2)}^6]$

$=3C_6^0{x}^6+3(-2)C_6^1{x}^5+3{(-2)}^2{C}_6^2{x}^4+3{(-2)}^3{C}_6^3{x}^3$

$+3{(-2)}^4{C}_6^4{x}^2+3{(-2)}^5{C}_6^{5}x+3{(-2)}^6{C}_6^6.$

Hệ số của x5 trong khai triển này là $3(-2)C_6^1$ = –36.

Vậy hệ số của x5 trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶ là 120 + (–36) = 84.

Bài 8 trang 40 Chuyên đề Toán 10: a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần

b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,02⁶.

Lời giải:

a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

(1 + 2x)⁶

$=1^6+{6.1}^5(2x)+{15.1}^4{(2x)}^2+{20.1}^3{(2x)}^3+{15.1}^2{(2x)}^4+6.1{(2x)}^5+{(2x)}^6$

$=1+12x+60x^2+160x^3+240x^4+192x^5+64x^6.$

Ba số hạng đầu tiên của khai triển là 1, 12x và 60x².

b) Với x nhỏ thì x³, x⁴, x⁵, x⁶ sẽ rất nhỏ. Do đó có thể coi (1 + 2x)⁶ ≈ 1 + 12x + 60x².

Khi đó 1,02⁶ = (1 + 2 . 0,01)⁶ ≈ 1 + 12 . 0,01 + 60 . 0,01² = 1,126.

Bài 9 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được

Lời giải:

Có (3x – 4)¹⁵

$=C_{15}^0{(3x)}^{15}+C_{15}^1{(3x)}^{14}(-4)+\mathrm{\dots }+C_{15}^k{(3x)}^{15-k}{(-4)}^k+\mathrm{\dots }+C_{15}^1(3x){(-4)}^{14}+C_{15}^{15}{(-4)}^{15}$

$=a_{15}{x}^{15}+a_{14}{x}^{14}+\mathrm{\dots }+a_k{x}^k+\mathrm{\dots }+a_{1}x+a_0$ (với a_i là hệ số của xi).

Thay x = 1, ta được:

(3 . 1 – 4)¹⁵$=a_{15}{1}^{15}+a_{14}{1}^{14}+\mathrm{\dots }+a_k{1}^k+\mathrm{\dots }+a_{1}1+a_0$$=a_{15}+a_{14}+\mathrm{\dots }+a_k+\mathrm{\dots }+a_1+a_0$

$\Rightarrow a_{15}+a_{14}+\mathrm{\dots }+a_k+\mathrm{\dots }+a_1+a_0={(-1)}^{15}=-1.$

Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được là –1.

Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*

a) $1+2C_n^1+4C_n^2+\mathrm{\dots }+2^{n-1}{C}_n^{n-1}+2^n{C}_n^n=3^n;$

b) $2n^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}.$

Lời giải:

a) $1+2C_n^1+4C_n^2+\mathrm{\dots }+2^{n-1}{C}_n^{n-1}+2^n{C}_n^n$

$=C_n^{0}1+C_n^{1}2+C_n^2{2}^2+\mathrm{\dots }+C_n^{n-1}{2}^{n-1}+C_n^n{2}^n$

$=C_n^0{1}^n+C_n^1{1}^{n-1}2+C_n^2{1}^{n-2}{2}^2+\mathrm{\dots }+C_n^{n-1}{\mathrm{1\hspace{0.17em}.2}}^{n-1}+C_n^n{2}^n$

= (1 + 2)ⁿ = 3ⁿ.

b) Ta có:

${(x+1)}^{2n}=C_{2n}^0{x}^{2n}+2n^1{x}^{2n-1}1+C_{2n}^2{x}^{2n-2}{1}^2+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}{1}^{2n}$

$=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}+C_{2n}^2{x}^{2n-2}+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}x+C_{2n}^{2n}.$

Cho x = –1, ta được:

${(-1+1)}^{2n}=C_{2n}^0{(-1)}^{2n}+{\mathrm{C}}_{2n}^1{(-1)}^{2n-1}+{\mathrm{C}}_{2n}^2{(-1)}^{2n-2}+\mathrm{\dots }+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n-1}(-1)+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n}$

$={\mathrm{C}}_{2n}^0-{\mathrm{C}}_{2n}^1+{\mathrm{C}}_{2n}^2-\mathrm{\dots }-{\mathrm{C}}_{2n}^{2n-1}+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n}$

$\Rightarrow {\mathrm{C}}_{2n}^0-{\mathrm{C}}_{2n}^1+{\mathrm{C}}_{2n}^2-\mathrm{\dots }-{\mathrm{C}}_{2n}^{2n-1}+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n}=0$

$\Rightarrow C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}.$