Với giải Bài 44 trang 104 SBT Toán lớp 11 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 44 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AD, (SBM) ⊥ (ABCD). Giả sử SA = 5a, AB = 3a, AD = 4a và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng φ. Tính cosφ.

Lời giải:

Gọi H là giao điểm của BM và AC.

Suy ra: H ∈ BM ⊂ (SBM) và H ∈ AC ⊂ (SAC) nên ta có H ∈ (SBM) ∩ (SAC).

Mà S ∈ (SBM) ∩ (SAC).

Từ đó suy ra: SH = (SBM) ∩ (SAC).

Ta có: (SAC) ⊥ (ABCD), (SBM) ⊥ (ABCD), SH = (SBM) ∩ (SAC).

Suy ra SH ⊥ (ABCD), tức H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD).

Nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và AH và bằng

Do ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ADC}=90°.$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ADC vuông tại D có:

AC² = AD² + DC²

$AC=\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}$ (vì DC = AB do ABCD là hình chữ nhật).

$\Rightarrow AC=\sqrt{{\left(4a\right)}^2+{\left(3a\right)}^2}=5a.$

Do M là trung điểm của AD nên $AM=\frac{AD}{2}=\frac{4a}{2}=2a.$

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC hay AM // BC.

Áp dụng hệ quả định lí Thalès với AM // BC ta có: $\frac{AH}{HC}=\frac{AM}{BC}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}.$

$\Rightarrow AH=\frac{1}{2}HC.$

$\Rightarrow AH=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}.5a=\frac{5a}{3}.$

Vì SH ⊥ (ABCD) và AH ⊂ (ABCD) nên SH ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại H có: $\cos \phi =\cos \widehat{SAH}=\frac{AH}{SA}=\frac{\frac{5a}{3}}{5a}=\frac{1}{3}.$