Với lời giải SBT Toán 11 trang 57 Tập 1 chi tiết trong Bài tập cuối chương 2 sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2

Bài 51 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. $u_n=\frac{1}{5^n}$ .

B. $u_n=1+\frac{1}{5n}$ .

C. $u_n=\frac{1}{5^n}+1$ .

D. $u_n=\frac{1}{n^2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{5^n}$ .

Ta có: $u_1=\frac{1}{5^1}=\frac{1}{5}$

$u_{n+1}=\frac{1}{5^{n+1}}=\frac{1}{5^n.5}=\frac{1}{5}.\frac{1}{5^n}=\frac{1}{5}{u}_n$ không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{5^n}$  là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{5}$  và công bội $q=\frac{1}{5}$ .

Bài 52 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) có tất cả các số hạng đều không âm và u₂ = 6, u₄ = 24. Tổng 10 số hạng đầu của (u_n) là:

A. 3(1 – 2¹⁰).

B. 3(2⁹ – 1).

C. 3(2¹⁰ – 1).

D. 3(1 – 2⁹).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Giả sử q là công bội của cấp số nhân (u_n) (điều kiện q ≠ 0).

Ta có: u₂ = u₁q = 6; u₄ = u₁q³ = 24, suy ra $\frac{u_4}{u_2}=\frac{u_1{q}^3}{u_{1}q}=q^2=\frac{24}{6}=4$ .

Do đó, q = ± 2.

Mà cấp số nhân (u_n) có tất cả các số hạng đều không âm nên q = 2.

Từ u₂ = u₁q = 6, suy ra u₁ = $\frac{6}{q}$  = 3.

Vậy tổng 10 số hạng đầu của (u_n) là 

Bài 53 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01 (12 số hạng) bằng:

A. $\frac{{10}^{11}+107}{9}$ .

B. $\frac{{10}^{12}+98}{9}$ .

C. $\frac{{10}^{12}+107}{9}$ .

D. $\frac{{10}^{11}+98}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01

= 1 + (10 + 1) + (100 + 1) + (1000 + 1) + ... + (100...0 + 1)

= 12 + (10 + 100 + 1000 + ... + 100...0)

= 12 + (10 + 10² + 10³ + ... + 10¹¹)

$=12+\frac{10\left(1-{10}^{11}\right)}{1-10}$

$=\frac{108}{9}+\frac{{10}^{12}-10}{9}$

$=\frac{{10}^{12}+98}{9}$.

Bài 54 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết 

a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng u_{n + 6} = u_n với mọi n ≥ 1.

c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.

Lời giải:

a) Ta có  ;

Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là: 0; $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; 0; $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . 

b) Ta có

 với mọi n ≥ 1.

c) Vì u_{n + 6} = u_n với mọi n ≥ 1 nên

u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₂₇ = 4 . (u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆) + u₁ + u₂ + u₃

= $-\sqrt{3}$ .

Bài 55 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) có tổng n số hạng đầu là $S_n=\frac{n\left(-1-5n\right)}{2}$  với n ∈ ℕ^*.

a) Tính u₁, u₂ và u₃.

b) Tìm công thức của số hạng tổng quát u_­n.

c) Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng.

Lời giải:

a) Ta có: $u_1=S_1=\frac{1.\left(-1-5.1\right)}{2}=-3$ .

Vì $u_1+u_2=S_2=\frac{2.\left(-1-5.2\right)}{2}=-11$  nên u₂ = S₂ – u₁ = – 11 – (– 3) = – 8.

Vì $S_2+u_3=S_3=\frac{3\left(-1-5.3\right)}{2}=-24$  nên u₃ = S₃ – S₂ = – 24 – (– 11) = – 13.

b) Ta có: u_n = S_n – S_{n – 1} =

$=\frac{-n-5n^2-\left(n-1\right)\left(-1-5n+5\right)}{2}$$=\frac{-n-5n^2-\left(-n-5n^2+5n+1+5n-5\right)}{2}$

$=\frac{-10n+4}{2}=2-5n$.

Vậy u_n = 2 – 5n.

c) Ta có: , với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) là một cấp số cộng.

Bài 56 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 1, u₂ = 2, u_{n + 1} = 2u_n – u_{n – 1} + 2 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Đặt v_n = u_{n + 1} – u_n với n ∈ ℕ^*. Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số cộng.

c) Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

Lời giải:

a) Ta có u₁ = 1, u₂ = 2, u₃ = u_{2 + 1} = 2u₂ – u_{2 – 1} + 2 = 2 . 2 – 1 + 2 = 5,

u₄ = u_{3 + 1} = 2u₃ – u_{3 – 1} + 2 = 2 . 5 – 2 + 2 = 10,

u₅ = u_{4 + 1} = 2u₄ – u_{4 – 1} + 2 = 2 . 10 – 5 + 2 = 17.

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 5; 10; 17.

b) Từ công thức u_{n + 1} = 2u_n – u_{n – 1} + 2 suy ra u_{n + 1} – u_n = u_n – u_{n – 1} + 2.

Mà v_n = u_{n + 1} – u_n và v_{n – 1} = u_{n – 1 + 1} – u_{n – 1} = u_n – u_{n – 1}.

Do đó, v_n = v_{n – 1} + 2 với n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu v₁ = u₂ – u₁ = 1 và công sai d = 2.

c) Từ kết quả câu b, ta có: v_n = v₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.

Lại có: v₁ = u₂ – u₁

            v₂ = u₃ – u₂

            ...

            v_{n – 2} = u_{n – 1} – u_{n – 2}

            v_{n – 1} = u_n – u_{n – 1}

Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:

v₁ + v₂ + ... + v_{n – 2} + v_{n – 1} = – u₁ + u_n  

         $\iff \frac{\left(v_1+v_{n-1}\right)\left(n-1\right)}{2}=-1+u_n$

⇔ (n – 1)² = u_n – 1

⇔ u_n = 1 + (n – 1)².

Vậy u_n = 1 + (n – 1)² và v_n = – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ^*.

Bài 57 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n), biết u₁ = – 2, $u_{n+1}=\frac{n+1}{2n}{u}_n$  với n ∈ ℕ^*. Đặt $v_n=\frac{u_n}{n}$  với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức của u_n tính theo n.

Lời giải:

a) Ta có $v_1=\frac{u_1}{1}=\frac{-2}{1}=-2$ ;

$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{n+1}=\left(\frac{n+1}{2n}{u}_n\right):\left(n+1\right)=\frac{1}{2}.\frac{u_n}{n}=\frac{1}{2}{v}_n$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu v₁ = – 2 và công bội $q=\frac{1}{2}$ .

b) Từ kết quả của câu a) suy ra $v_n=v_1.q^{n-1}=\left(-2\right).{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}$ .

Từ $v_n=\frac{u_n}{n}$ , suy ra $u_n=n.v_n=-n.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}$  với mọi n ≥ 2.