Với lời giải SBT Toán 11 trang 85 Tập 1 chi tiết trong Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 8 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.

a) $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2}{\left|\mathrm{x}\right|};$

b) $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}{\left|\mathrm{x}-2\right|}.$

Lời giải:

a) Ta có:

⦁$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2}{\left|x\right|}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2}{-x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x}{-1}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x\right)=0;$

⦁$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2}{\left|x\right|}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{1}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x=0.$

Do $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2}{\left|x\right|}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2}{\left|x\right|}=0$ nên tồn tại giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\left|x\right|}$ và $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\left|x\right|}=0.$

b) Ta có:

⦁$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x}{\left|x-2\right|}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x-2}$$=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x\left(x-2\right)}{x-2}\text{=}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }x=2.$

⦁ $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x}{\left|x-2\right|}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x}{2-x}$$=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x\left(x-2\right)}{2-x}\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(-x\right)=-2.$

Do $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x}{\left|x-2\right|}\ne \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x}{\left|x-2\right|}$ nên không tồn tại giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-2x}{\left|x-2\right|}.$

Bài 9 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x+4};$

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+1}{{\left(2x+1\right)}^2};$

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+1}{\sqrt{x^2-2x}};$

d) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\sqrt{x^2+2x}\right).$

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x+4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{4}{x}}=\frac{1}{1+4\cdot 0}=1.$

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+1}{{\left(2x+1\right)}^2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x^2}}{{\left(2+\frac{1}{x}\right)}^2}=\frac{2+0}{{\left(2+0\right)}^2}=\frac{1}{2}.$

c) Với x < 0 thì $\sqrt{x^2}=\mathrm{|x|}=-x,$ nên ta có:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+1}{\sqrt{x^2-2x}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(3+\frac{1}{x}\right)}{-x\sqrt{1-\frac{2}{x}}}$$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3+\frac{1}{x}}{-\sqrt{1-\frac{2}{x}}}=-\frac{3+0}{\sqrt{1-2\cdot 0}}=-3.$

d) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\sqrt{x^2+2x}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\left(x-\sqrt{x^2+2x}\right)\left(x+\sqrt{x^2+2x}\right)}{x+\sqrt{x^2+2x}}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-\left(x^2+2x\right)}{x+\sqrt{x^2+2x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x}{x+x\sqrt{1+\frac{2}{x}}}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}}=\frac{-2}{1+1}=-1.$

Bài 10 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+2x^2-1\right);$

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+2x^2}{3x^2+1};$

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2-2x+3}.$

Lời giải:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+2x^2-1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[x^3\left(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}\right)\right]$

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3=-\infty$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}\right)=1+0-0=1.$

Suy ra $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+2x^2-1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[x^3\left(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}\right)\right]=-\infty .$

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+2x^2}{3x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x\cdot \frac{x^2+2x}{3x^2+1}\right]$

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x}{3x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{3}$

Suy ra $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+2x^2}{3x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x\cdot \frac{x^2+2x}{3x^2+1}\right]=+\infty .$

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2-2x+3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2\left(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left|x\right|\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}\right)$

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x\right)=+\infty$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}=1$

Suy ra $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2-2x+3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left|x\right|\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}\right)=+\infty .$

Bài 11 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}+b}{x-2}=5;$

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3.$

Lời giải:

a) Do $\underset{x\to 2}{\lim }\left(x-2\right)=2-2=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}+b}{x-2}=5,$ trước hết ta phải có $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\mathrm{ax}+b\right)=0$ hay 2a + b = 0, suy ra b = ‒2a.

Khi đó,$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}+b}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}-2a}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{a\left(x-2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }a=a$

Suy ra a = 5 và b = ‒10.

b) Do $\underset{x\to 1}{\lim }\left(x-1\right)=1-1=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3,$ trước hết ta phải có $\underset{x\to 1}{\lim }\left(a\sqrt{x}+b\right)=0$ hay a + b = 0, suy ra b = ‒a.

Khi đó, $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}-a}{x-1}$ $=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{a\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{a}{\sqrt{x}+1}=\frac{a}{2}.$

Suy ra $\frac{a}{2}=3$ hay a = 6, suy ra b = ‒6.

Bài 12 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(t, t²), t > 0, nằm trên đường parabol y = x². Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi điểm M dần đến điểm O?

Lời giải:

Trung điểm của đoạn thẳng OM là $I\left(\frac{t}{2};\frac{t^2}{2}\right)$

Đường trung trực của OM nhận $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\left(t,t^2\right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $I\left(\frac{t}{2};\frac{t^2}{2}\right)$ nên có phương trình $d:t\left(x-\frac{t}{2}\right)+t^2\left(y-\frac{t^2}{2}\right)=0$.

Do đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N nên thay x = 0 vào phương trình của d, ta nhận được $y=\frac{1}{2}\left(1+t^2\right)$.

Suy ra $N\left(0;\frac{1}{2}\left(1+t^2\right)\right)$

Điểm M dần đến điểm O khi t dần đến 0⁺. Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2}\left(1+t^2\right)=\frac{1}{2}$.

Suy ra khi điểm M dần đến điểm O thì điểm N dần đến điểm $A\left(0;\frac{1}{2}\right)$.