Sách bài tập Toán 10 Bài 5 (Kết nối tri thức): Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

6.8 K

Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Giải SBT Toán 10 trang 32 Tập 1

Bài 3.1 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°;

b) B = tan45° . cot135° - sin30° . cos120° - sin60° . cos150°;

c) C = cos25° + cos225° + cos245° + cos265° + cos285°;

d) D = 121+tan273° - 4tan75° . cot105° +  12sin2107° - 2tan40° . cos60° . tan50°;

e) E = 4tan32° . cos60° . cot148° + 5cot2108°1+tan218° + 5sin272°.

Lời giải:

a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°

Ta có sin 45° = 12; sin 60° = 32;

tan 120° = -3; cos 135° = -12.

Khi đó A = 12+2.32+3+12

12+3312

= 0.

Vậy A = 0.

b) B = tan45° . cot135° - sin30° . cos120° - sin60° . cos150°

Ta có tan45° = 1; cot135° = -1;

sin30° = 12; cos120° = -12;

sin60° = 32; cos150° = -32.

Khi đó B = 1 . (-1) - 12.12 - 32.32

-1 + 14 + 34 = 0.

Vậy B = 0.

c) C = cos25° + cos225° + cos245° + cos265° + cos285°

Ta có cos45° = 12;

cos5° = cos(90° - 85°) = sin85°;

cos25° = cos(90° - 65°) = sin65°.

Do đó: cos25° = sin285°; cos225° = sin265°.

Khi đó C = sin285° + sin265° + 12 + cos265° + cos285°

C = (sin285° + cos285°) + (sin265° + cos265°) + 12

= 1 + 1 + 12 = 52.

Vậy C = 52.

d) D = 121+tan273° - 4tan75° . cot105° +  12sin2107° - 2tan40° . cos60° . tan50°

Ta có 1 + tan273° = 1 + sin273°cos273°

cos273°cos273°+sin273°cos273°

cos273°+sin273°cos273° = 1cos273° 

=> 11+tan273° = cos273°

=> 121+tan273° = 12cos273°

Khi đó:

D = 12cos273° - 4 . tan(180° - 105°) . cot105° + 12sin2107° - 2tan(90° - 50°) . cos60° . tan50°

= 12cos273° – 4(–tan105°) . cot105° + 12sin2 107° - 2cot50° . cos60° . tan50°

= 12cos2 73° + 12sin2 73° + 4tan105° . cot105° - 2cot 50° . tan 50° . cos 60°

= 12(cos2 73° + sin2 73°) + 4.1 – 2.1.cos60°

= 12 + 4 - 2. 12 = 15.

Vậy D = 15.

e) E = 4tan32° . cos60° . cot148° + 5cot2108°1+tan218° + 5sin272°

Ta có 1 + tan2 18° = 1 + sin218°cos218° 

cos218°cos218°+sin218°cos218° 

cos218°+sin218°cos218° 

1cos218°

Þ 5cot2108°1+tan2108° = 5cot2108° . cos218°

= 5[cot(180° - 72°)]2 . cos218°

= 5.(-cot72°)2 . cos218°

= 5.cot272° . cos218°

Khi đó:

E = 4tan32° . cos60° . cot(180° - 32°) + 5cot2 72° . cos218° + 5[sin(90° - 18°)]2

= 4tan32° . cos60° . (-cot32°) + 5 cot272° . cos218° + 5cos218°

-4cos60° + 5cos218° . (cot272° + 1)

-4 . 12 + 5cos218° . 1sin272°

-2 + 5cos218° . 1sin90°18°2

-2 + 5cos2 18° . 1cos218°

-2 + 5 = 3.

Vậy E = 3.

Bài 3.2 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc α, 90° < α < 180° thỏa mãn sin α = 34. Tính giá trị của biểu thức:

F=tanα+2cotαtanα+cotα.

Lời giải:

Do 90° < α < 180° nên sinα > 0, cosα < 0.

Ta có sin2 α + cos2 α = 1.

Þ cos2 α = 1 - sin2 α

Þ cos2 α = 1 - 342 = 1 - 916 = 716.

Mà cos α < 0 nên cos α = 716 = 74.

Khi đó:

• tan α = sinαcosα=34:74=34.47=37.

• cot α = 1 : tan α = 73.

Khi đó F = 37+2.7337+73 

372733773=914379737 

2337:1637 = 2316

Vậy F = 2316.

Giải SBT Toán 10 trang 33 Tập 1

Bài 3.3 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) G = 2sin α + cos α;

b) H = 2sinα+cosαsinαcosα.

Lời giải:

Do 0° < α < 180° nên sinα > 0.

Mà tanα = sinαcosα = 2 > 0 nên sin α và cos α cùng dấu, do đó cosα > 0.

Do tanα = sinαcosα = 2 nên sinα = 2cosα

=> sin2α = 4cos2α

Ta có sin2α + cos2α = 1

=> 4cos α + cos2α = 1

=> 5cos2α = 1

=> cos2α = 15

Do cosα > 0 nên cosα = 15.

Do đó sinα = 25.

a) G = 2sinα + cosα

= 2 . 25 + 15

45+15

555

Vậy G = 5.

b) H = 2sinα+cosαsinαcosα

2.25+152515 = 45+1515

55.5 = 5

Vậy H = 5.

Bài 3.4 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = 2. Tính giá trị của biểu thức

K = sin3α+sinα.cos2α+2sin2α.cosα4cos3αsinαcosα.

Lời giải:

Do 0° < α < 180° nên sinα > 0.

Mà tanα = sinαcosα = 2 > 0 nên sinα và cosα cùng dấu, do đó cosα > 0.

Chia cả tử và mẫu của K cho cos3α ta được:

Sách bài tập Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy K = 2 + 2

Bài 3.5 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) sin4α + cos4α = 1 - 2sin2α . cos2α;

b) sin6α + cos6α = 1 - 3sin2α . cos2α;

c*) sin4α+6cos2α+3+cos4α+4sin2α=4.

Lời giải:

a) Ta có (sin2α + cos2α)2 = sin4α + 2sin2α . cos2α + cos4α

=> 12 = sin4α + cos4α + 2sin2α . cos2α

=> sin4α + cos4α = 1 - 2sin2α . cos2α

Vậy sin4α + cos4α = 1 - 2sin2α . cos2α.

b) Ta có (sin2α + cos2α)3 = sin6α + cos6α + 3sin2α . cos2α(sin2α + cos2α)

=> 13 = sin6α + cos6α + 3sin2α . cos2α . 1

=> sin6α + cos6α = 1 - 3sin2α . cos2α

Vậy sin6α + cos6α = 1 - 3sin2α . cos2α.

c) Xét sin4α + 6cos2α + 3

= sin4α + 6(1 - sin2α) + 3

= sin4α - 6sin2α + 9

= (sin2α - 3)2

=> sin4α+6cos2α+3=sin2α32

= |sin2α – 3| = 3 - sin2α

(do 0 ≤ sin2α < 1 nên sin2α – 3 < 0).

Xét cos4α + 4sin2α

= cos4α + 4(1 - cos2α)

= cos4α - 4 cos2α + 4

= (cos2α - 2)2

=> cos4α+4sin2α=cos2α22

 = |cos2α – 2| = 2 - cos2α

(do 0 ≤ cos2α < 1 nên cos2α – 2 < 0).

=> sin4α+6cos2α+3+cos4α+4sin2α 

= 3 - sin2 α + 2 - cos2 α

= 5 - (sin2 α + cos2 α)

= 5 - 1

= 4.

Vậy sin4α+6cos2α+3+cos4α+4sin2α=4.

Bài 3.6 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỉ số giữa độ dài của thước và độ dài của bóng thước. Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và phụ thuộc vào thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm). Tại vị trí có vĩ độ f và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời α còn được tính theo công thức sau:

α = 90° - f - cos2N+10365m180° . 23,5°

trong đó m = 0 nếu 1 ≤ N ≤ 172, m = 1 nếu 173 ≤ N ≤ 355, m = 2 nếu 356 ≤ N ≤ 365.

a) Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ f = 20°.

b) Hãy xác định vĩ độ tại nơi em sinh sống và tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách đã được đề cập trong bài toán (đo trực tiếp và tính theo công thức) và so sánh hai kết quả thu được.

Lời giải:

a) Tháng 10 và tháng 12 có 31 ngày; tháng 11 có 30 ngày.

Nên từ 10/10 đến hết tháng 10 còn 21 ngày.

Do đó ngày 10/10 trong năm không nhuận là ngày thứ: 365 - 21 - 30 - 31 = 283 trong năm đó.

Vì 173 ≤ N = 283 ≤ 355 nên m = 1.

Góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 tại vị trí có vĩ độ f = 20° là:

90° - 20° - cos2283+103651180° . 23,5°

≈ 70° - |cos109°| . 23,5°

≈ 70° - 7,65°

≈ 62,35°

Vậy góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 tại vị trí có vĩ độ f = 20° khoảng 62,35°.

b) Học sinh tự thực hiện việc đo và tính theo công thức để so sánh.

Lưu ý tại vị trí có vĩ độ f và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời α còn được tính theo công thức sau:

α = 90° - f - cos2N+10365m180° . 23,5°

trong đó m = 0 nếu 1 ≤ N ≤ 172, m = 1 nếu 173 ≤ N ≤ 355, m = 2 nếu 356 ≤ N ≤ 365.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

1. Giá trị lượng giác của một góc

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc α, 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó, có duy nhất điểm M(x0; y0) trên nửa đường tròn đơn vị để xOM^=α.

Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

- Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 0o đến 180o

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho  xOM^=α. Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y0 của điểm M, được kí hiệu là sin α;

+ côsin của góc α là hoành độ x0 của điểm M, được kí hiệu là cos α;

+ Khi α ≠ 90° (hay x0 ≠ 0), tang của α là y0x0, được kí hiệu là tan α;

+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y0 ≠ 0), côtang của α là x0y0, được kí hiệu là cot α.

- Từ định nghĩa trên ta có:

tanα =sinαcosα(α90°);cotα=cosαsinα(α0° α180°);tanα=1cotα (α{0°;90°;180°})

- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.

Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=120o. Gọi N, K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Do xOM^=120o và xOK^=90onên KOM^=30ovà MON^=60o.

Từ bảng GTLG của một số góc đặc biệt:

Ta có: cos 60o = 12 và cos 30o = 32

Các tam giác MOK và MON là các tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1

Suy ra ON = cosMON^.OM = cos60o.1 = 12 và OK = cosMOK^.OM = cos30o.1 = 32

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên M12;32

Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có:

sin 120o = 32

cos 120o =  12

tan 120o = sin120ocos120o=3

cot 120o = cos120osin120o=13.

Vậy sin 120o = 32; cos 120o =  12; tan 120o = 3; cot 120o = 13.

- Ta có thể dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng của các giá trị lượng giác của một góc.

Ví dụ:

Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

- Ta cũng có thể tìm được góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ:

 

Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

Chú ý:

+ Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị x ≤ 90°.

+ Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1) tương ứng bởi phím Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1).

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Đối với hai góc bù nhau, α và 180° – α, ta có:

sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = – cos α;

tan (180° – α) = – tan α  (α ≠ 90°);

cot (180° – α) = – cot α  (0° < α < 180°).

Chú ý:

- Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc 135°.

Hướng dẫn giải

Ta có 135° + 45° = 180°, vì vậy góc 135° và góc 45° là hai góc bù nhau:

Suy ra:

sin135° = sin45° = 22

cos135° = – cos45° = 22

tan135° = – tan45° = –1

cot135° = – cot45° = –1

Vậy sin135° = 22; cos135° = 22; tan135° = –1 ; cot135° = –1.

- Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ:

Ta có  30° + 60° = 90° nên góc 30° và góc 60° là hai góc phụ nhau.

Khi đó:  

sin30° = cos60° = 12

tan30° = cot60° = 33.

Đánh giá

0

0 đánh giá