Đáp án: A

Giải thích:

Quan sát đồ thị, ta thấy parabol có bề lõm quay lên trên nên a > 0.

Lại có đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt (cụ thể là tại x = 1 và x = 4) nên phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁, x₂.

Do đó ∆ > 0.

Vậy a > 0, ∆ > 0.

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án: D

Giải thích:

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = –1, b = 5, c = –4.

∆ = b² – 4ac = 5² – 4.(–1).(–4) = 9.

Vì a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-9}{4.\left(-1\right)}=\frac{9}{4}$tại $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2.\left(-1\right)}=\frac{5}{2}$

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{9}{4}$ tại x = $\frac{5}{2}$

Ta chọn phương án D.

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hàm số y = f(x) = x² + 3x + 4.

• Với x = –3, ta có f(–3) = (–3)² + 3.(–3) + 4 = 4.

• Với x = –2, ta có f(–2) = (–2)² + 3.(–2) + 4 = 2.

• Với x = $=\frac{3}{2}$, ta có $f\left(-\frac{3}{2}\right)={\left(-\frac{3}{2}\right)}^2+3.\left(-\frac{3}{2}\right)+4=\frac{7}{4}$

• Với x = –1, ta có f(–1) = (–1)² + 3.(–1) + 4 = 2.

• Với x = 0, ta có f(0) = 0² + 3.0 + 4 = 4.

Vậy bảng giá trị của hàm số đã cho là:

Do đó ta chọn đáp án C.

Đáp án: A

Giải thích:

Hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c, với a ≠ 0.

Ta thấy hàm số ở phương án A có dạng như trên với a = 3, b = 2 và c = –5; nên hàm số ở phương án A là hàm số bậc hai.

Hàm số ở phương án B có dạng y = ax + b nên đây là hàm số bậc nhất.

Hàm số ở phương án C có chứa x³ nên đây không phải hàm số bậc hai.

Hàm số ở phương án D có chứa x⁴ nên đây không phải hàm số bậc hai.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: B

Giải thích:

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = 1, b = –2, c = 0.

∆ = b² – 4ac = (–2)² – 4.1.0 = 4.

Đỉnh S có tọa độ:

⦁ $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2.1}=1$

⦁ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{4}{4.1}=-1$

Suy ra tọa độ đỉnh S(1; –1).

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án: D

Giải thích:

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = –1, b = 5, c = 3.

Trục đối xứng của hàm số đã cho là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2.\left(-1\right)}=\frac{5}{2}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy).

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: D

Giải thích:

Quan sát đồ thị, ta thấy tọa độ đỉnh S(2; –9).

Trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng đi qua đỉnh S và song song (hoặc trùng) với trục Oy.

Khi đó trục đối xứng là đường thẳng x = 2.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: A

Giải thích:

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = 1, b = –4, c = 5.

Ta có: $-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2.1}=2$

Vì a = 1 > 0 nên ta có hàm số đã cho nghịch biến trên (–∞; 2) và đồng biến trên (2; +∞).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = –1, b = 2, c = 1.

Đỉnh S có tọa độ:

⦁ $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2.\left(-1\right)}=1$

⦁ y_S = –1² + 2.1 + 1 = 2.

Suy ra S(1; 2).

Vì hàm số bậc hai có a = –1 < 0 nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (–∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: A

Giải thích:

Cách 1:

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = –1, b = 2, c = 3.

Ta có ∆ = b² – 4ac = 4 – 4.(–1).3 = 16.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = –x² + 2x + 3 là một parabol (P):

⦁ Đỉnh S có tọa độ: $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2.\left(-1\right)}=1$ và $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2.\left(-1\right)}=1$

Suy ra tọa độ đỉnh S(1; 4).

⦁ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy).

⦁ Có bề lõm quay xuống dưới vì a = –1 < 0.

⦁ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ngoài ra, phương trình –x² + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 và x₂ = –1 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có tọa độ (3; 0) và (–1; 0).

Ta vẽ được đồ thị sau:

Vậy ta chọn phương án A.

Cách 2:

• Xét hàm số y = –x² + 2x + 3 có a = –1, b = 2, c = 3.

Vì a = –1 < 0 nên đồ thị có bề lõm quay xuống dưới.

Do đó ta loại phương án C.

• Đỉnh S có tọa độ: $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2.\left(-1\right)}=1$ và $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{16}{4.\left(-1\right)}=4$

Suy ra tọa độ đỉnh S(1; 4).

Do đó ta loại phương án B và D.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: C

Giải thích:

+ Gọi điểm A là giao điểm của parabol (P) và trục hoành.

Suy ra y_A = 0.

Vì A ∈ (P) nên $0=2x_A^2-4x_A+3$ (vô nghiệm).

Do đó không có điểm A là giao điểm của parabol (P) và trục hoành.

Vì vậy phương án A đúng.

+ Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = 2, b = –4, c = 3.

Đỉnh S có tọa độ:

⦁ $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2.2}=1$

⦁ y_S = 2.1² – 4.1 + 3 = 1.

Suy ra (P) có đỉnh S(1; 1) và có trục đối xứng là x = 1.

Do đó phương án B đúng, C sai.

+ Thay tọa độ điểm M vào hàm số của đồ thị (P) ta được:

9 = 2.(–1)² – 4.(–1) + 3 (đúng).

Suy ra (P) đi qua điểm M(–1; 9).

Do đó phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: B

Giải thích:

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = b = c = –1.

Ta có ∆ = b² – 4ac = (–1)² – 4.(–1).(–1) = –3.

Suy ra $\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-\left(-3\right)}{4.\left(-1\right)}=-\frac{3}{4}$

Vì a = –1 < 0 nên hàm số có giá trị lớn nhất bằng $=\frac{3}{4}$và có tập giá trị là $T=\left(-\infty ;-\frac{3}{4}\right]$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án: D

Giải thích:

+ Quan sát đồ thị, ta thấy parabol có bề lõm quay lên trên nên a > 0.

Do đó ta loại phương án A vì a = –1 < 0.

+ Quan sát đồ thị, ta thấy parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.

⦁ Ở phương án B, đồ thị của hàm số y = x² + 2x – 2 có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2.1}=-1\ne 1$

Do đó ta loại phương án B.

⦁ Ở phương án C, đồ thị của hàm số y = 2x² – 4x – 2 có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2.2}=1$

• Ở phương án D, đồ thị của hàm số y = x² – 2x – 1 có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2.1}=1$

+ Quan sát đồ thị, ta thấy parabol đi qua điểm A(0; –1).

• Thay x = 0, y = –1 vào hàm số ở phương án C, ta có: –1 = 2.0² – 4.0 – 2 (vô lí).

Do đó đồ thị của hàm số ở phương án C không đi qua điểm A(0; –1).

Vì vậy ta loại phương án C.

• Thay x = 0, y = –1 vào hàm số ở phương án D, ta có –1 = 0² – 2.0 – 1 (đúng).

Do đó đồ thị của hàm số ở phương án D đi qua điểm A(0; –1).

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = m – 1, b = 2m, c = –m² + 4.

Để hàm số đã cho là hàm số bậc hai thì a ≠ 0.

Nghĩa là, m – 1 ≠ 0.

Suy ra m ≠ 1.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: D

Giải thích:

Parabol (P): y = ax² + 3x – 2 (a ≠ 0) có b = 3.

(P) có trục đối xứng là đường thẳng x = –3.

Ta suy ra $-\frac{b}{2a}=3$

Tức là, $\frac{-3}{2a}=-3$

Khi đó ta có a = $\frac{1}{2}$ (thỏa mãn a ≠ 0).

Vậy (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2+3x-2$

Do đó ta chọn phương án D.

Đáp án: D

Giải thích:

Quan sát đồ thị, ta thấy parabol cắt trục hoành tại đỉnh của parabol hay parabol cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Nghĩa là, phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép.

Do đó ∆ = 0.

Suy ra b² – 4ac = 0   (1)

Ta có f(c) = c.

Suy ra ac² + bc + c = c.

Khi đó c(ac + b) = 0.

Vì vậy ac + b = 0 (vì c ≠ 0).

Do đó $c=-\frac{b}{a}$  (vì a ≠ 0).

Thay $c=-\frac{b}{a}$ vào (1) ta được: $b^2-4.a.\left(-\frac{b}{a}\right)=0$

Khi đó b² + 4b = 0 $\iff$ b(b + 4) = 0.

Vì vậy b = 0 hoặc b = –4.

Vì b ≠ 0 nên ta nhận b = –4.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4 tại x = 2.

Tức là đỉnh S(2; 4) và a > 0.

Suy ra 4 = a.2² + b.2 + c.

Do đó 4a + 2b + c = 4   (1)

Ta có x_S = 2.

Suy ra $-\frac{b}{2a}=2$

Do đó –b = 4a   (2)

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 6).

Suy ra 6 = a.0² + b.0 + c.

Do đó c = 6       (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta được: –b + 2b + 6 = 4.

Suy ra b = –2.

Với b = –2, thay vào (2) ta được 4a = 2.

Suy ra a = $\frac{1}{2}$ (thỏa mãn a > 0).

Vì vậy ta có $a=\frac{1}{2}$, b = –2, c = 6.

Khi đó P = abc = $\frac{1}{2}.\left(-2\right).6=-6$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = m, b = –2m, c = –m² – 2 (m ≠ 0).

Suy ra b’ = –m.

∆ = b’² – ac = (–m)² – m.(–m² – 2) = m³ + m² + 2m.

Đỉnh S có tọa độ:

⦁ $x_S=-\frac{b^{\text{'}}}{a}=-\frac{-m}{m}=1$

⦁ $y_S=-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}=-\frac{m^3+m^2+2m}{m}=-\frac{m\left(m^2+m+2\right)}{m}$

Do đó y_S = –m² – m – 2 (vì m ≠ 0).

Suy ra tọa độ đỉnh S(1; –m² – m – 2).

Vì đỉnh S nằm trên đường thẳng y = x – 3 nên ta có:

–m² – m – 2 = 1 – 3.

Suy ra –m² – m = 0

Khi đó m = 0 (loại) hoặc m = –1 (thỏa mãn).

Vì vậy m ∈ (–3; 3).

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi T là trọng lượng tất cả số con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ.

Vì trên một diện tích của mặt hồ có n con cá nên ta có:

T = (360 – 10n).n = –10n² + 360n.

Hàm số T có dạng T = an² + bn + c, với a = –10, b = 360, c = 0.

∆ = b² – 4ac = 360² – 4.(–10).0 = 129 600.

Vì a = –10 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng   $\frac{-\Delta }{4a}$ tại $n=\frac{-b}{2a}$

Khi đó $T_{\max }=\frac{-129600}{4.\left(-10\right)}=3240$ khi $n=\frac{-360}{2.\left(-10\right)}=18$

Vậy phải thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để trọng lượng cá sau một vụ thu được nhiều nhất.

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi A và B là hai điểm ứng với chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình  và có chiều rộng d = 5 (m) nên ta có: AB = 5.

Gọi I là trung điểm AB. Suy ra IA = IB = $\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$   (m).

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với $a=-\frac{1}{2}$, b = c = 0.

Vì b = 0 nên Oy là trục đối xứng của parabol.

Do đó trung điểm I của đoạn thẳng AB nằm trên Oy.

Khi đó điểm I có hoành độ bằng 0.

Vì IA = IB =  $\frac{5}{2}$ nên ta có $x_A=-\frac{5}{2},x_B=\frac{5}{2}$

Với $x_A=-\frac{5}{2}$, ta có $y_A=-\frac{1}{2}.{\left(-\frac{5}{2}\right)}^2=-\frac{25}{8}$

Suy ra tọa độ $A\left(-\frac{5}{2};-\frac{25}{8}\right)$

Với $x_B=\frac{5}{2}$, ta có $y_B=-\frac{1}{2}.{\left(\frac{5}{2}\right)}^2=-\frac{25}{8}$

Suy ra tọa độ $B\left(\frac{5}{2};-\frac{25}{8}\right)$

Vì vậy chiều cao h của cổng là:

h = OI = |y_A| = |y_B| = $\left|-\frac{25}{8}\right|=\frac{25}{8}=3,125$(m).

Vậy ta chọn phương án B.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Bài 1: Hàm số và đồ thị

Trắc nghiệm Bài 2: Hàm số bậc hai

Trắc nghiệm Ôn tập chương 3

Trắc nghiệm Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Trắc nghiệm Bài 2: Bài tập Định lí côsin và định lí sin