Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu 30 bài tập Cấp số cộng và cấp số nhân nâng cao, tài liệu bao gồm 13 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

30 bài tập Cấp số cộng và cấp số nhân nâng cao

1. viết số hạng tổng quát của dãy số tự nhiên , mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 3 còn dư 2 .

2. Dãy số u_n được xác định bằng công thức quy nạp : u₁ = 3; u_n+1 = 2u_n . Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó và tích 4 số hạng đầu của dãy số .

3. Tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bằng công thức quy nạp :

a. u₁ = 3, u_n+1 = 2 + \[\frac{1}{2}\]u_n

b. u₁ = a, u_n+1 = a + bu_n (Với a,b là hằng số )

4. Các dãy số sau có đơn điệu không ?

a. u_n = \[\frac{1}{{{n^2} + 1}}\]

b. \[{u_n} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\]

c. \[{u_n} = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n}\]

5. Với giá trị nào của a,b ,dãy số : u_n = \[\frac{{{a_n} + 2}}{{{b_n} + 1}}\]là một dãy số không giảm ,tăng?giảm?

6. Trong các dãy số sau , dãy số nào bị chặn ? Bị chặn trên hay bị chặn dưới ?

a. u_n = 2n – 1

b. u_n = \[\frac{1}{{{n^2}}}\]

c. \[{u_n} = \frac{1}{{n(n + 1)}}\]

d. u_n = 3. 2^n-1

e. \[{u_n} = {\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)^n}\]

7. Cho dãy số : u_n = \[\frac{{n - 1}}{n}\]; v_n = \[\frac{{n + 2}}{n}\]. Tính: \[\left( {{u_n} \pm {v_n}} \right);\left( {{u_n}.{v_n}} \right);\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\]

II. CẤP SỐ CỘNG .

1. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Tìm ba góc đó ?

2. Chứng minh tam giác ABC có ba góc với : cot \[\frac{A}{2}\] ,cot \[\frac{B}{2}\] ,cot \[\frac{C}{2}\] theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thì ba cạnh theo thứ tự đó cũng tạo thành một cấp số cộng ?

3. Số hạng thứ 2 và số hạng thứ 7 của một cấp số cộng có tổng bằng 92, số hạng thứ tư và số hạng thứ 11 có tổng bằng 71 . Tìm 4 số hạng đó ?

4. Một cấp số cộng có 11 số hạng . Tổng các số hạng đó bằng 176 . Hiệu số hạng cuối và số hạng đầu là 30 . Tìm cấp số đó ?

5. Bốn số hạng lập thành một cấp số cộng . Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tìm 4 số đó ?

6. Năm số lập thành một cấp số cộng . Biết tổng S , tích P của chúng . Tìm năm số đó

7. Bốn số nguyên lập thành một cấp số cộng . Tổng của chúng bằng 20, tổng các ngịch đảo của chúng bằng \[\frac{{25}}{{24}}\]. Tìm bốn số đó ?

8. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau : hàng thứ nhất có 1 cây , hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây , v.v...Hỏi có bao nhiêu hàng ? 9. Xác định cấp số cộng sao cho tổng n số hạng đầu bằng n+1 lần một nửa số hạng thứ n

III. CẤP SỐ NHÂN

1. Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất u₁ = 2 , công bội q bằng 3, và 5 số hạng . Tìm số hạng cuối cùng và tổng của 5 số hạng đó ?

Bài tập bổ sung và hướng dẫn giải phần : BÀI TẬP TỔNG HỢP

2. Trong một cấp số nhân có 9 số hạng , biết số hạng đầu u₁ = 5 và số hạng cuối u₉ = 1280 . Tìm công bội q và tổng S các số hạng ?

3. Tìm số hạng của một cấp số nhân :

a. Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3 , số hạng cuối là 243 ?

b. Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243 và số hạng cuối là 1 ?

c. Trong cấp số nhân , cho q =\[\frac{1}{4}\], n=6, và S=2730 . Tìm u₁; u₆, .

4. Tìm bốn góc của một tứ giác , biết các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối bằng 9 lần góc thứ 2 ?

5. Tổng ba số hạng của một cấp số nhân là 248 , hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 192. Tìm ba số hạng đó ?

6. Chứng minh rằng nếu ba cạnh của một tam giác lập thành một cấp số nhân thì công bội của cấp số đó ắt phải nằm giữa\[\frac{1}{2}\left( {\sqrt 5  - 1} \right)\] và \[\frac{1}{2}\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\].

7. Tính tổng các cạnh của một hình hộp chữ nhật , biết rằng thể tích của chúng bằng a³ , diện tích toàn phần của nó bằng 2ma² và các cạnh lập thành một cấp số nhân ?

IV. BÀI TẬP TỔNG HỢP

1. Giả sử x₁;x₂;…x_n \[ \in \mathbb{R}\] và x₁.x₂ ….x_n = 1. Chứng minh x₁+ x₂ + ….+ x_n \[ \ge n\]

2. Chứng minh \[\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\] với \[a \ge 0,b \ge 0,n \in N*\]

3. Xét tính bị chặn và tính đơn điệu của các dãy số sau ?

a. u_n = \[\frac{{{n^2} + 1}}{n}\]

b. u_n = (-1)^n-1 sin \[\frac{1}{n}\]

4. Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,...... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21..., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho ?

5. Cho phương trình : x⁴ + 3x² – (24 + m)x – 26 – n = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x₁;x₂;x₃ lập thành một cấp số cộng ?

6. Tìm m để phương trình x⁴ – (3m + 5)x² + (m + 1)² = 0 có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng ?

7. Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân . Chứng minh rằng tam giác ABC có hai góc không quá 60⁰ ?

8. Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng \[16\frac{4}{9}\], đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng .

9. Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội q =1/4 số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng đầu bằng 24 . Tìm cấp số nhân đó ?

10. Xen vào giữa hai số : 4 và 40 bốn số để dược một cấp số cộng ? Tìm bốn số đó ?

11. Tính tổng :

S = \[{\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {4 + \frac{1}{4}} \right)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)^2}\]

12. Với giá trị nào của a , ta có thể tìm được các giá trị của x để các số :

5^x+1 + 5^1-x, \[\frac{a}{2}\], 25^x + 25^-x lập thành một cấp số cộng ?

13. Chứng minh rằng dãy số : a_n = 2.3ⁿ lập thành một cấp số nhân và tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của nó ?

14. Giả sử a,b,c,d lập thành một cấp số nhân . Hãy tính giá trị biểu thức :

(a – c)² + (b – c)² + (b – d)² – (a – d)²

15. Giả sử các số : 5x-y,2x+3y, và x+2y lập thành một cấp số cộng , còn các số :

(y +1)², xy + 1, (x -1)² lập thành cấp số nhân . Tìm x,y ?

16. Cho một cấp số cộng : u₁;u₂;u_3;u₄. Chứng minh rằng nếu :

\[\left| {{u_1}{u_4} - {u_2}{u_3}} \right| \le 6\]thì biểu thức A= \[\sqrt {(x - {u_1})(x - {u_2})(x - {u_3})(x - {u_4}) + 9} \]có nghĩa với mọi x ?

17. Chứng minh rằng : Nếu 0 < N ¹ 1 thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :

\[\frac{{{{\log }_a}N}}{{{{\log }_c}N}} = \frac{{{{\log }_a}N - {{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}N - {{\log }_c}N}}(a,b,c \ne 1)\]

18. Chứng minh rằng , nếu log_x a ,log_y b ,log_z c tạo thành một cấp số cộng ( theo thứ tự đó ) thì :

\[{\log _b}y = \frac{{2{{\log }_a}x{{\log }_c}z}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_c}z}}(0 < x,y,z,a,b,c \ne 1)\]

19. Cho ba số : x,3,y lập thành một cấp số nhân và x⁴ = \[y\sqrt 3 \]. Tìm x,y và công bội q của cấp số đó ?

20.Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng bằng 93. Ta có thể sắp đặt chúng ( theo thứ tự của cấp số nhân kể trên ) như là số hạng thứ nhất , thứ hai và thứ bẩy của một cấp số cộng . Tìm ba số đó ?

21.a. Tính tổng của n số hạng : 3 + 33 + 333 + …

b. Tìm x để ba số :ln2; ln(2^x -1), ln(2^x + 3) lập thành một cấp số cộng ?

22. Tìm bốn số biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp số nhân , ba số hạng sau lập thành một cấp số cộng . Tổng của hai số hạng đầu và cuối bằng 14, còn tổng của hai số ở giữa là 12 ?

23. Tổng của số hạng thứ hai và thứ tư của một cấp số nhân tăng nghiêm ngặt là 30 , và tích của chúng bằng 144. Tìm tổng mười số hạng đầu tiên của dãy số đó ?

24. Cho tam giác ABC có A = 90⁰ còn a ,b, \[\frac{{\sqrt 6 }}{3}\], c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Tam giác ABC là tam giác có đặc điểm gì ?

 25. Cho tam giác ABC, có ba cạnh a,b,c , theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . Hãy chứng minh rằng : cot \[\frac{A}{2}\].cot\[\frac{C}{2}\] = 3.

26. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tagA.tangB=6 và tangA.tangC=3 . Hãy chứng tỏ : tangA,tgB,tgC theo thứ tự dó lập thành cấp số cộng ?

27. Tam giác ABC có : cot \[\frac{A}{2}\],cot\[\frac{B}{2}\], cot\[\frac{C}{2}\] theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . Hãy chứng minh rằng ba cạnh a,b,c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ?

28. Tam giác ABC có : cot A,cot B,cot C theo thứ tự đó lập thành một cấp cộng . Hãy chứng minh rằng : a²,b²,c² theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ?

29. Cho tam giác ABC cân ( AB=AC ), có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó ?

30. Tam giác ABC có các cạnh a,b,c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . Hãy chứng minh rằng khi đó công sai của cấp số cộng được tính bởi công thức :

d = \[\frac{3}{2}r\left( {tg\frac{C}{2} - tg\frac{A}{2}} \right)\]

V. HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1. Giả sử x₁;x₂;…x_n \[ \in \mathbb{R}\] và x₁.x₂ ….x_n = 1. Chứng minh x₁+ x₂ + ….+ x_n \[ \ge n\]

Giải .

Chứng minh bằng quy nạp .

 - Với n=1 : 1 x =1 . Mệnh đề đúng .

- Giả sử mệnh đề đúng với n=k ( k>1 ).

Û x₁+ x₂ + ….+ x_k \[ \ge k\] \[\forall {x_1}{x_2}...{x_k} = 1\]   (*)

Nếu với mọi  x_k = 1 thì hiển nhiên : x₁+ x₂ + ….+ x_k + x_k+1 \[ \ge k\]+1.

Nếu trong k+1 số có ít nhất một số lớn hơn 1 , thì ắt phải có số nhỏ hơn 1.

Không giảm tính tổng quát , giả sử x_k >1 và x_k+1 < 1 khi đó ta có:

(1 - x_k+1)( x_k – 1) > 0 Û x_k + x_k+1 >1 + x_kx_k+1   (1)

Do đó: x₁+ x₂ + ….+ x_k + x_k+1 > x₁+ x₂ + ….+ x_k +x_k-1 + x_kx_k+1   (2)

Theo giả thiết quy nạp , ta suy ra từ k số ở vế phải :

x₁+ x₂ + ….+ x_k +x_k-1 + x_kx_k+1 \[ \ge k\] (3)

Từ (2) và (3) suy ra x₁+ x₂ + ….+ x_k + x_k+1 > k + 1.

Bài 2. Chứng minh \[\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\] với \[a \ge 0,b \ge 0,n \in N*\]

HƯỚNG DẪN

- Với n=1 . Mệnh đề đúng

- Giả sử mệnh đề đúng với n=k ( Với k>1 ) :

 Û \[\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}\]  (1)

- Ta phải chứng minh : \[\frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\]

Thật vậy , ta nhân hai vế của (1) với \[\frac{{a + b}}{2}\], ta có:

Û \[\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}\].\[\frac{{a + b}}{2}\]= \[{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\]

Û \[\frac{{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}}}{4}\]\[ \ge \] \[{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\]    (2)

Nhưng với a > 0,b > 0 thì : (a^k – b^k)(a – b) ³ 0

Û a^k+1 + b^k+1 ³ a^kb + ab^k

Cho nên : \[\frac{{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}}}{4}\] £ \[\frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2}\]  (3)

So sánh (2) và (3) ta được điều phải chứng minh .

Bài 3.Xét tính bị chặn và tính đơn điệu của các dãy số sau ?

a. u_n = \[\frac{{{n^2} + 1}}{n}\]

b. u_n = (- 1)^n-1 sin \[\frac{1}{n}\]

HƯỚNG DẪN

a. u_n = \[\frac{{{n^2} + 1}}{n}\] = n + \[\frac{1}{n}\]. Ta thấy u_n = \[\frac{{{n^2} + 1}}{n}\] ³ \[\frac{{2\sqrt {{n^2}.1} }}{n}\]= 2. Cho nên đây là một dãy số tăng , bị chặn dưới bởi m=2 . ( Nhưng không bị chặn ).

b. u_n = (- 1)^n-1 sin \[\frac{1}{n}\]

- Xét hiệu : u_n+1 – u_n = (- 1)ⁿ \[\left[ {\sin \frac{1}{{n + 1}} + \sin \frac{1}{n}} \right]\]. Vì biểu thức trong dấu móc luôn dương với mọi thuộc N* cho nên u_n+1 – u_n > 0, khi n chẵn , còn u_n+1 – u_n < 0 khi n là lẻ . Vì vậy dãy số đã cho không tăng và cũng không giảm ( Không đơn điệu ).

Mặt khác : - 1 < sin \[\frac{1}{n}\] £ 1 Þ - 1( -1)^n-1 £ u_n £ 1(-1)^n-1 Û (-1)ⁿ £ u_n £ -1ⁿ

Có nghĩa là : u_n Î [1;1] Þ \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{M = 1}\\{m = 1}\end{array}} \right.\]. Dãy số bị chặn .

Bài 4. Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,...... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21..., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho ?

HƯỚNG DẪN

Theo đầu bài ta có : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_1} = 7}\\{{u_3} - {u_2} = 14}\\{{u_4} - {u_3} = 21}\\{..............}\\{{u_n} - {u_{n - 1}} = 7(n - 1)}\end{array}} \right.\]

Cộng các vế của các phương trình của hệ ta dược :

Û u_n – u₁ = 7 + 14 + 21 + ….+ 7(n -1) = 7 \[\frac{{n(n - 1)}}{2}\]

Û n² – n – 10100 = 0 ® n = 101.

Do đó : 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số.

Bài 5. Cho phương trình : x⁴ + 3x² – (24 + m)x – 26 – n = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x₁;x₂;x₃ lập thành một cấp số cộng ?

HƯỚNG DẪN

Vì 3 nghiệm phân biệt x₁;x₂;x₃ lập thành cấp số cộng , nên ta có thể đặt :

x₁ = x₀ – d, x₂ = x₀, x₃ = x₀ + d (d ¹ 0). Theo giả thiết ta có :

x³ + 3x² – (24 + m)x – 26 – n

= (x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)

= (x – x₀ + d)(x – x₀)(x – x₀ – d)

= x₃ – 3x₀x² + (3x₀² – d²)x - x₀³ + x₀d² ("x).

Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ :

Û \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3{x_0} =  - 1}\\{3 - {d^2} =  - (24 + m)}\\{1 - {d^2} =  - 26 - n}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} =  - 1}\\{3 - {d^2} =  - 24 - m}\\{1 - {d^2} =  - 26 - n}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} =  - 1}\\{m = n}\end{array}} \right.} \right.\]

Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng .