Vậy (*) đúng với n = k + 1. Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn đáp án B

Chọn đáp án D

Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

Chọn đáp án B

Chọn đáp án A

Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luận có lời giải

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

* Ta có u₁ = 9.1 - 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử uk = 9k - 1 chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh uk + 1 = 9k + 1 - 1 chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có:

uk + 1 = 9k + 1 - 1 = 9.9k - 1 = 9(9k - 1) + 8 = 9uk + 8.

Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8, nên uk + 1 cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8.

* Với n = 2 ta có 2.2+1 > 2.2 + 3 ⇔ 8 > 7 (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 2 .

* Giả sử với n = k, k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k + 1 > 2k + 3 (1).

* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

2k + 2 > 2(k + 1) + 3

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2.2k + 1 > 2(2k + 3) ⇔ 2k + 2 > 4k + 6 > 2k + 5.

(vì 4k + 6 > 4k + 5 > 2k + 5)

Hay 2k + 2 > 2(k + 1)+ 3

Vậy (*) đúng với n = k + 1.

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3 .

Chọn đáp án B

Chọn đáp án C

Vậy (1) đúng khi n= k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Bài 9:

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:

a.    (1)

b.               (2)

c.        (3)

Lời giải:

a. Với n = 1, ta có:

VT = 3 – 1 = 2

VP = 

Vậy VT = VP (1) đúng với n = 1

Giả thiết (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

 (1a)

Ta chứng minh (1a) đúng với n = k + 1 nghĩa là chứng minh:

(1) đúng với n = k +1, vậy (1a) đúng với 

b. 

Với n = 1 thì 

Vậy (2) đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:

Khi đó ta chứng minh (2) đúng với n = k +1

Ta có :

(2) đúng với n = k + 1. Vậy nó đúng với mọi n ∈ N*

c.  (3)

Khi n = 1 vế trái bằng 1

Vậy (3) đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là:

 (3a)

Ta phải chứng minh (3a) đúng khi n = k + 1

+ Ta cộng 2 vế của (3) cho (k + 1)²

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1. Do đó, đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Bài 10 Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3.

b.  chia hết cho 9

c. n³ + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

Đặt A_n = 

+ Ta có: với n = 1

 chia hết 3

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

 chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh  chia hết 3

Thật vậy, ta có:

Theo giả thiết quy nạp  chia hết 3, hơn nữa 9(k + 1) chia hết 3

Nên  = n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

Đặt 

với n = 1 =>  = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

 chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh:  chia hết 9

Thật vậy, ta có:

A_k+1 = (4^k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4^k.4¹ + 15k + 15 – 1

= (4^k + 15k – 1) + (3.4^k + 15) = A_k + 3(4^k + 5)

Theo giả thiết quy nạp  chia hết 9, hơn nữa:

3(4^k + 5) chia hết 9 ( chứng minh tương tự) ∀k ≥ 1 nên  chia hết 9

Vậy A_n = 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c. n³ + 11n chia hết cho 6.

Đặt Un = n³ + 11n

+ Với n = 1 => U₁ = 12 chia hết 6

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

 chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh: U_k+1 chia hết 6

Thật vậy ta có:

U_k+1 = (k + 1)³ + 11(k +1) = 

+ Theo giả thiết quy nạp thì:

 chia hết 6, hơn nữa  chia hết 6 ∀k ≥ 1 (2 số liên tiếp nhân với nhau chia hết cho 2)

Do đó: U_k+1 chia hết 6

Vậy: U_n = n³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a. 3ⁿ > 3n + 1

b. 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Bài 2 Cho tổng  với 

a. Tính S₁, S₂, S₃

b. Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Bài 3 Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là 

Bài 4 Chứng minh rằng với n Є N^*, ta có đẳng thức:

a) 2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 = $\frac{n(3n+1)}{2}$;

b) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}$;

c) 1² + 2² + 3² +….+ n^{2 = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.}

Bài 5 Chứng minh rằng với n ε  N^*    ta luôn có:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ + 15n - 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6.

Bài 6 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3ⁿ > 3n + 1;                  

b) 2^{n + 1} > 2n + 3

Bài 7

a) Tính S₁, S₂, S_3.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Bài 8 Tìm công thức tính số hạng tổng quát u_n theo n của dãy số sau 

Bài 9 Xét tính tăng giảm của dãy số (u_n) biết: 

Bài 10 Cho dãy số . Tìm mệnh đề đúng?

B. Lý thuyết Dãy số

I. Định nghĩa.

1. Định nghĩa dãy số.

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

$\begin{array}{l}u:{\mathbb{N}}^{*}\to ℝ\\ n\mapsto u\left(n\right)\end{array}$

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃,…,u_n,..,

Trong đó, u_n = u(n) hoặc viết tắt là (u_n), và gọi u₁ là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

- Ví dụ 1:

a) Dãy các số tự nhiên chẵn: 2; 4; 6; 8; …có số hạng đầu u₁ = 2, số hạng tổng quát là u_n = 2n.

b) Dãy các số tự nhiên chia hết cho 5 là 5; 10; 15; 20; … có số hạng đầu u₁ = 5, số hạng tổng quát là u_n = 5n.

2. Định nghĩa dãy số hữu hạn.

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3,.., m} với  được gọi là một dãy số hữu hạn.

- Dạng khai triển của nó là u₁, u₂, u₃,…, u_m, trong đó u₁ là số hạng đầu, u_m là số hạng cuối.

- Ví dụ 2.

a) 4, 7, 10, 13, 16, 19 là dãy số hữu hạn có u₁ = 4; u₆ = 19.

b) $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6}$ là dãy số hữu hạn có u₁ = 4; u₆ = $\frac{1}{6}$.

II. Cách cho một dãy số.

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

- Ví dụ 3.

a) Cho dãy số (u_n) với u_n = n².   (1)

Từ công thức (1), ta có thể xác định được bất kì một số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn, u₁₀ = 10² = 100.

Nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển ta được:

1, 4, 9, 16, 25, 36,…, n²,….

b) Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{{(-1)}^n}{n}$ có dạng khai triển là: $-1,\frac{1}{2},\frac{-1}{3},\frac{1}{4},\frac{-1}{5},$$\frac{1}{6},\mathrm{...},\frac{{(-1)}^n}{n},\mathrm{...}$

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Ví dụ 4. Số là số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Nếu lập dãy số (u_n) với u_n là giá trị gần đúng thiếu của số $\sqrt{2}$ với sai số tuyệt đối 10^-n thì:

u₁ = 1,4 ; u₂ = 1,41; u₃ = 1,414; u₄ = 1,4142,….

Đó là dãy số được cho bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy.

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

- Ví dụ 5. Dãy số (u_n) được xác định như sau:

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1=1;u_2=2\\ u_n=2u_{n-1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3u_{n-2}(n\ge 3)\end{array}\right.$

Dãy số như trên là dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.

III. Biểu diễn hình học của dãy số.

Vì dãy số là một hàm số trên nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ (n ; u_n).

Ví dụ 6: Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n+1}{n}$ có biểu diễn hình học như sau:

IV. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1. Dãy số tăng, dãy số giảm.

- Định nghĩa 1:

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_{n +1} > u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u_{n +1} < u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Ví dụ 7. Dãy số (u_n) với u_n = 2 – 2n là dãy số giảm.

Thật vậy, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ xét hiệu u_{n +1} – u_n. Ta có:

u_{n +1} – u_n = 2 – 2(n + 1) – (2 – 2n) = – 2  < 0

Do u_{n +1} – u_n < 0 nên u_{n +1} < u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

- Chú ý:

Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn dãy số (u_n) với u_n = (– 1)ⁿ tức là dãy: – 1, 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1…không tăng cũng không giảm.

2. Dãy số bị chặn.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho:

$u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho:

$u_n\ge m,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m; M sao cho:

$m\le u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Ví dụ 8. Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{n}$ bị chặn vì 0 < u_n ≤ 1.a