Công thức cấp số cộng, cấp số nhân và nhị thức Newton lớp 11
Lớp 11Toán

Công thức cấp số cộng, cấp số nhân và nhị thức Newton lớp 11

Trả lời nhanh

Cấp số cộng (công sai d): un = u1 + (n − 1)d, Sn = n(u1 + un)/2. Cấp số nhân (công bội q): un = u1·qn−1, Sn = u1(1 − qn)/(1 − q) với q ≠ 1. Nhị thức Newton: (a + b)n = ΣCnkan−kbk, số hạng thứ k + 1 là Cnkan−kbk.

1. Cấp số cộng

Cấp số cộng là dãy số mà từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d (gọi là công sai): un+1 = un + d.

Nội dung Công thức
Số hạng tổng quát un = u1 + (n − 1)d
Tính chất ba số hạng liên tiếp uk + uk+2 = 2uk+1, tức uk+1 = (uk + uk+2)/2
Tổng n số hạng đầu Sn = n(u1 + un)/2 = n[2u1 + (n − 1)d]/2
Liên hệ hai số hạng bất kì um − un = (m − n)d

Mẹo nhớ: tổng = (số số hạng) × (trung bình của số đầu và số cuối). Đó cũng là cách Gauss cộng 1 + 2 + … + 100.

2. Cấp số nhân

Cấp số nhân là dãy số mà từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nhân với một số không đổi q (công bội): un+1 = un·q.

Nội dung Công thức
Số hạng tổng quát un = u1·qn−1
Tính chất ba số hạng liên tiếp uk+12 = uk·uk+2
Tổng n số hạng đầu (q ≠ 1) Sn = u1(1 − qn)/(1 − q)
Trường hợp q = 1 Sn = n·u1

Lưu ý: ở tính chất ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân phải là bình phương của số ở giữa bằng tích hai số hai bên. Viết uk+1 = uk·uk+2 (không có bình phương) là sai. Ngoài ra, nếu cần tìm số ở giữa thì uk+1 = ±√(uk·uk+2); dấu phải xét theo điều kiện đề bài.

3. Nhị thức Newton

Với n là số nguyên dương:

  • (a + b)n = Cn0an + Cn1an−1b + … + Cnnbn = Σk=0..n Cnkan−kbk.
  • (a − b)n = Σk=0..n (−1)kCnkan−kbk (dấu đan xen: +, −, +, −…).
  • Số hạng thứ k + 1: Tk+1 = Cnkan−kbk (k = 0, 1, …, n).
  • Khai triển có n + 1 số hạng; số mũ của a giảm dần, của b tăng dần, tổng hai số mũ luôn bằng n.
  • Thay a = b = 1: Cn0 + Cn1 + … + Cnn = 2n.

Hệ số các số hạng có thể lấy từ tam giác Pascal: hàng n = 4 là 1, 4, 6, 4, 1; hàng n = 5 là 1, 5, 10, 10, 5, 1.

4. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1 (cấp số cộng). Cho cấp số cộng có u3 = 7 và u7 = 19. Tìm u1, d và S20.

Ta có u7 − u3 = 4d = 12 nên d = 3, suy ra u1 = 7 − 2·3 = 1. Khi đó u20 = 1 + 19·3 = 58 và S20 = 20(1 + 58)/2 = 590.

Ví dụ 2 (cấp số nhân). Cấp số nhân có u1 = 2, q = 3. Tính u5 và S5.

u5 = 2·34 = 162. S5 = 2(1 − 35)/(1 − 3) = 2·(−242)/(−2) = 242. Kiểm tra: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.

Ví dụ 3 (tính chất). Tìm x để ba số 2, x, 18 lập thành cấp số nhân; rồi tìm x để chúng lập thành cấp số cộng.

Cấp số nhân: x2 = 2·18 = 36 nên x = 6 hoặc x = −6. Cấp số cộng: 2x = 2 + 18 nên x = 10.

Ví dụ 4 (nhị thức). Tìm hệ số của x3 trong khai triển (2x − 1)5.

Tk+1 = C5k(2x)5−k(−1)k. Số mũ của x bằng 3 khi 5 − k = 3, tức k = 2. Hệ số là C52·23·(−1)2 = 10·8 = 80.

5. Lỗi sai thường gặp

  • Nhầm số số hạng: từ um đến un có n − m + 1 số hạng, không phải n − m.
  • Dùng công thức Sn của cấp số nhân khi q = 1 (mẫu bằng 0). Phải xét riêng trường hợp này.
  • Quên bình phương trong tính chất cấp số nhân, hoặc quên rằng x2 = k cho hai nghiệm.
  • Khi khai triển (a − b)n hoặc (ax + b)n, quên mang hệ số a và dấu âm vào luỹ thừa.
  • Gán nhầm k: số hạng thứ k + 1 mới ứng với Cnk, không phải số hạng thứ k.

6. Bài luyện tập

  1. Cấp số cộng có u2 = 5, u5 = 14. Tính S10.
  2. Cấp số nhân có u1 = 3, u4 = 24. Tìm q và S6.
  3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x + 1/x)6.

Đáp án.

  1. 3d = 9 nên d = 3, u1 = 2, u10 = 29; S10 = 10(2 + 29)/2 = 155.
  2. q3 = 24/3 = 8 nên q = 2; S6 = 3(1 − 26)/(1 − 2) = 3·63 = 189.
  3. Tk+1 = C6kx6−kx−k = C6kx6−2k. Số mũ bằng 0 khi k = 3, số hạng cần tìm là C63 = 20.

7. Ôn luyện thêm

  • Phương pháp giải về phép đếm, cấp số cộng và cấp số nhân
  • Bài tập cấp số cộng và cấp số nhân Toán 11
  • 30 bài tập cấp số cộng và cấp số nhân nâng cao
  • 30 câu trắc nghiệm dãy số – cấp số cộng và cấp số nhân
  • Giải Toán 11 bài ôn tập chương 3

Câu hỏi thường gặp

Làm sao nhận biết một dãy số là cấp số cộng hay cấp số nhân?

Tính hiệu u(n+1) − u(n): nếu luôn bằng một hằng số thì là cấp số cộng. Tính thương u(n+1)/u(n): nếu luôn bằng một hằng số thì là cấp số nhân. Cần kiểm tra với mọi n, không chỉ vài số hạng đầu.

Công thức tổng cấp số nhân khi q = 1 là gì?

Khi q = 1 mọi số hạng đều bằng u1 nên S(n) = n·u1. Công thức u1(1 − q^n)/(1 − q) không dùng được vì mẫu bằng 0.

Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng và cấp số nhân thì có điều kiện gì?

Cấp số cộng cho 2b = a + c, cấp số nhân cho b² = ac. Kết hợp lại ta được (a − c)² = 0 nên a = b = c.

Số hạng tổng quát của khai triển (a + b)^n là gì?

Số hạng thứ k + 1 là T(k+1) = C(n,k)·a^(n−k)·b^k với k = 0, 1, …, n. Khi tìm hệ số, nhớ mang cả hệ số và dấu của a, b vào luỹ thừa.

Bài học liên quan