Dựa vào các giá trị $u_1;u_2;u_3;u_4;u_5$ dự đoán công thức tổng $u_n$.

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k\ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Ta có:

$u_1=3=\sqrt{9}=\sqrt{1+8}$

$u_2=\sqrt{10}=\sqrt{2+8}$

$u_3=\sqrt{11}=\sqrt{3+8}$

$u_4=\sqrt{12}=\sqrt{4+8}$

$u_5=\sqrt{13}=\sqrt{5+8}$

...........

Từ trên ta dự đoán $u_n=\sqrt{n+8}$, với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$   (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với $n=1$, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với $n=k\ge 1$, tức là có  $u_k=\sqrt{k+8}$ với $k\ge 1$, ta cần chứng minh $u_{k+1}=\sqrt{(k+1)+8}$

Theo công thức dãy số, ta có:

$u_{k+1}=\sqrt{1+u_k^2}$ $=\sqrt{1+(\sqrt{k+8}{)}^2}$

$=\sqrt{1+k+8}$ $=\sqrt{(k+1)+8}$.

Như vậy công thức (1) đúng với $n=k+1$.

Vậy công thức (1) được chứng minh.

Ta có: $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)+1}{5\left(n+1\right)+2}=\frac{2n+3}{5n+7}$

${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ $={\displaystyle \frac{2n+3}{5n+7}}:{\displaystyle \frac{2n+1}{5n+2}}$

$={\displaystyle \frac{2n+3}{5n+7}}.{\displaystyle \frac{5n+2}{2n+1}}$

$={\displaystyle \frac{\left(2n+3\right)\left(5n+2\right)}{\left(5n+7\right)\left(2n+1\right)}}$

$={\displaystyle \frac{10n^2+15n+4n+6}{10n^2+14n+5n+7}}$

$={\displaystyle \frac{10n^2+19n+6}{10n^2+19n+7}}<1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

(Vì $10n^2+19n+6<10n^2+19n+7$)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.

Cách khác:

$\begin{array}{l}{u}_{n+1}-u_n=\frac{2\left(n+1\right)+1}{5\left(n+1\right)+2}-\frac{2n+1}{5n+2}\\ =\frac{2n+3}{5n+7}-\frac{2n+1}{5n+2}\\ =\frac{\left(2n+3\right)\left(5n+2\right)-\left(2n+1\right)\left(5n+7\right)}{\left(5n+7\right)\left(5n+2\right)}\\ =\frac{\left(10n^2+15n+4n+6\right)-\left(10n^2+5n+14n+7\right)}{\left(5n+7\right)\left(5n+2\right)}\\ =\frac{-1}{\left(5n+7\right)\left(5n+2\right)}<0,\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }\\ \Rightarrow u_{n+1}-u_n<0,\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }\\ \Rightarrow u_{n+1}<u_n,\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }\end{array}$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}n\ge 1\Rightarrow n^2\ge 1\\ 2n\ge 2\end{array}\\ \Rightarrow n\left(n+2\right)=n^2+2n\ge 1+2=3\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{n\left(n+2\right)}}\le {\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow u_n\le {\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }.\end{array}$

Suy ra $0<u_n$ $\le {\displaystyle \frac{1}{3}}$ với mọi  $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

$\begin{array}{l}{n}^2\ge 1\iff 2n^2\ge 2\iff 2n^2-1\ge 1>0\\ \Rightarrow 0<{\displaystyle \frac{1}{2n^2-1}}\le 1\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }\end{array}$

$\begin{array}{l}\sin n+\cos n\\ =\sqrt{2}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin n+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cos n\right)\\ =\sqrt{2}\left(\sin n\cos \frac{\pi }{4}+\cos n\sin \frac{\pi }{4}\right)\\ =\sqrt{2}\sin \left(n+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\\ \text{Vì }-1\le \sin \left(n+\frac{\pi }{4}\right)\le 1\\ \Rightarrow -\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left(n+\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}\\ \Rightarrow -\sqrt{2}\le \sin n+\cos n\le \sqrt{2}\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }\end{array}$

1. Định nghĩa

a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương $\mathbb{N}$*  được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

$u:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$

$n\mapsto u\left(n\right)$

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u₁, u₂,u₃, ….,u_n,….,

trong đó un = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u₁ là số hạng đầu của dãy số (u_n)

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3,..., m}, với $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$  được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là: u₁, u₂,u₃, ….,$u_m$, trong đó u₁ là số hạng đầu, $u_m$ là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

Khi đó $u_n=f\left(n\right)$, trong đó f là một hàm số xác định trên ${\mathbb{N}}^{\ast }$

Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được $u_n$.

b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được $u_n$ với n tuỳ ý.

c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

- Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).

- Với n ≥ 2, cho một công thức tính $u_n$ nếu biết $u_{n-1}$ (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)

Chẳng hạn, các công thức có thể là:

$\{\begin{array}{c}{u}_1=a\hfill \\ u_n=f(u_{n-1}),n\ge 2\hfill \end{array}$

 hoặc 

$\{\begin{array}{c}{u}_1=a,u_2=b\hfill \\ u_n=f(u_{n-1},u_{n-2}),n\ge 3\hfill \end{array}$

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số $u_n$ được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

- Dãy số $u_n$ được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số:

Phương pháp 1:

Xét hiệu H = u_n+1 - u_n. 

- Nếu H > 0 với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thì dãy số tăng

- Nếu H < 0 với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thì dãy số giảm.

Phương pháp 2:

Nếu un > 0 với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$  thì lập tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$, rồi so sánh với 1.

- Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thì dãy số tăng.

- Nếu  $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thì dãy số giảm.

4. Dãy số bị chặn

- Dãy số $u_n$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho

$u_n$ ≤ M, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

- Dãy số Un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho

$u_n$ ≥ m, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

- Dãy số Un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho:

m ≤ $u_n$ ≤ M, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$