Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Toán lớp 7, tài liệu bao gồm 11 trang, tuyển chọn bài tập Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác gồm các nội dung chính sau:

A. Phương pháp giải

- tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Một số ví dụ

- gồm 3 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác có lời giải chi tiết.

C. Bài tập vận dụng

- gồm 15 bài tập vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC

A. Phương pháp giải

1.     Bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.

Trong hình 17.1 ta có: $\left|b-c\right|<a<b+c.$

Đảo lại, nếu $\left|b-c\right|<a<b+c$ thì a, b, c

có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

2.     Bất đẳng thức tam giác mở rộng

Với ba điểm M, A, B bất kì ta luôn có: $MA+MB\ge AB.$

Dấu “=” xảy ra <=> M thuộc đoạn thẳng AB.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm O nằm giữa hai đầu mỗi đoạn thẳng. Biết $AB=3cm,CD=5cm.$ Chứng minh rằng trong hai đoạn thẳng AC và BD ít nhất cũng có một đoạn thẳng có độ dài nhỏ hơn 4cm.

Giải (h.17.2)

* Tìm cách giải.

Muốn chứng minh trong hai đoạn thẳng AC

và BD ít nhất cũng có một đoạn thẳng có độ

dài nhỏ hơn 4cm, ta chứng minh tổng: $AC+BD<8cm.$

Ta thấy AC là một cạnh của tam giác AOC,

BD là một cạnh của tam giác BOD. Vậy

cần vận dụng quan hệ giữa ba cạnh của tam

giác để đánh giá AC và BD. Hình 17.2

* Trình bày lời giải.

Xét $\Delta AOC$ có $AC<OA+OC.$ Xét $\Delta BOD$ có $BD<OB+OD.$

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: $AC+BD<OA+OB+OC+OD$ dẫn tới $AC+BD<AB+CD.$ Do đó $AC+BD<3+5=8\text{ (cm).}$

Suy ra trong hai đoạn thẳng AC và BD ít nhất cũng có một đoạn thẳng nhỏ hơn 4cm.

* Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã dung một tính chất của hai bất đẳng thức cùng chiều: Nếu $a<b$ và $c<d$ thì $a+c<b+d.$

Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong một tam giác, mỗi cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ấy.

Giải (h.17.3)

* Tìm cách giải.

Ta phải chứng minh $a<\frac{a+b+c}{2}.$ Muốn vậy

ta chứng minh $2a<a+b+c.$ Trừ a vào hai vế của

bất đẳng thức ta được $2a-a<a+b+c-a,$ dẫn tới $a<b+c.$

Bất đẳng thức này đúng nên ta có thể xuất phát từ đây rồi chứng minh “ngược” lên.

* Trình bày lời giải.

Gọi a là độ dài của một cạnh bất kì của tam giác. Gọi b và c là độ dài hai cạnh còn lại. Theo quan hệ giữa ba cạnh còn lại của tam giác ta có: $a<b+c.$

Cộng a vào hai vế của bất đẳng thức này ta được: $a+a<a+b+c$ dẫn tới $2a<a+b+c.$ Suy ra $a<\frac{a+b+c}{2}.$

* Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã dùng các tính chất sau của bất đẳng thức:

-         Cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức thì được một bất đẳng thức cùng chiều.

-         Nhân (hay chia) cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng thức cùng chiều.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng AD, AE và AF có thể là ba cạnh của một tam giác.