Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị hình học Toán lớp 7, tài liệu bao gồm 14 trang, tuyển chọn bài tập Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị hình học đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị hình học gồm các nội dung chính sau:

A. Phương pháp giải

- tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Một số ví dụ

- gồm 4 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị hình học có lời giải chi tiết.

C. Bài tập vận dụng

- gồm 16 bài tập vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị hình học.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC

A. Phương pháp giải

Để chứng minh hai đoạn thẳng hai góc không bằng nhau ta có thể:

1. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối trong một tam giác (h.22.1)

$\boxed{\begin{array}{l}\Delta ABC:\\ AC>AB\iff \widehat{B}=\widehat{C}.\end{array}}$

Suy ra trong tam giác tù (hoặc tam giác vuông) thì cạnh đối với góc tù (hoặc góc vuông) là cạnh lớn nhất.

2. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối trong hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau (h.22.2)

$\Delta ABC$ và $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$có: 

$AB=A\text{'}B\text{'};AC=A\text{'}C\text{'}.$

Khi đó: $BC>B\text{'}C\text{'}\iff \widehat{A}>\widehat{A\text{'}}$

3. Dùng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa đường xiên và hình chiếu

$AH\perp a,B,M\in a$ (h.22.3). Khi đó: 

$AM\ge AH$ (dấu = xảy ra $\iff M\equiv H)$

$AM\ge AB\iff HM\ge HB$

4. Dùng bất đẳng thức tam giác (h.22.4)

$\boxed{\begin{array}{l}\Delta ABC:\\ \left|b-c\right|<a<b+c\end{array}}$

Mở rộng: Với ba điểm A, B, C bất kì bao giờ ta cũng có: $AB\le AC+CB$ (dấu $"="$ xảy ra  thuộc đoạn thẳng AB).

Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AB thay đổi

Ta phải chứng minh $AB\le a$ (số a không đổi) và chỉ rõ khi nào dấu $"="$ xảy ra. Khi đó giá trị lớn nhất của độ dài AB là bằng a. Ta viết  $maxAB=a.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB thay đổi

Ta phải chứng minh $AB\ge b$ (số b không đổi) và chỉ rõ khi nào dấu $"="$ xảy ra. Khi đó giá trị nhỏ nhất của độ dài AB là bằng b. Ta viết  $minAB=b.$

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Tam giác ABC có $\widehat{C}<\widehat{B}.$ Vẽ đường trung tuyến AM. Trên tia đổi của tia MA lấy điểm D. Chứng minh rằng  $AB+CD<AC+BD.$

Giải (h.22.5)

* Tìm cách giải.

Để chứng minh $AB+CD<AC+BD$ ta có thể chứng minh $AB<AC$ và $CD<BD.$ Sau đó cộng từng vế hai bất đẳng thức.

* Trình bày lời giải.

Tam giác ABC có $\widehat{ACB}<\widehat{ABC}$ suy ra $AB<AC.$ (1)

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có: $MB=MC;$ 

AM chung; $AB<AC$ nên  $\widehat{AMB}<\widehat{AMC}.$

Suy ra  $\widehat{CMD}<\widehat{BMD}.$

Xét $\Delta CMD$ và $\Delta BMD$ có: $MC=MB;MD$ chung;

$\widehat{CMD}<\widehat{BMD}$ nên $CD<BD.$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra:  $AB+CD<AC+BD.$

* Nhận xét: Nếu $a<b$ và $c<d$ thì  $a+c<b+d.$

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có $\widehat{B}\ge 90°.$ Gọi O là trung điểm của BC. Vẽ $BD\perp AO;CE\perp AO(D,E$ thuộc đường thẳng AO). Chứng minh rằng  $AB<\frac{AD+AE}{2}$