Trả lời nhanh
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ở lớp 7, em thường dùng một trong năm cách: (1) chứng minh ∠ABD + ∠DBC = 180° (tạo thành góc bẹt); (2) chứng minh AB và AC cùng song song với một đường thẳng (tiên đề Euclid); (3) chứng minh AB và AC cùng vuông góc với một đường thẳng; (4) chứng minh hai tia cùng là tia phân giác của một góc; (5) dùng tính duy nhất của trung điểm.
Ba điểm thẳng hàng là gì?
Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng gọi là ba điểm thẳng hàng. Hình vẽ chỉ giúp em dự đoán; muốn kết luận thì phải lập luận, vì mắt thường rất dễ bị đánh lừa khi ba điểm “gần như” thẳng hàng.
Điểm chung của mọi phương pháp dưới đây là dựa vào một tính chất duy nhất: qua một điểm chỉ có một đường thẳng song song (hoặc vuông góc) với đường thẳng cho trước, mỗi góc chỉ có một tia phân giác, mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm. Khi hai đường “tưởng như khác nhau” cùng thoả mãn một tính chất duy nhất, chúng phải trùng nhau, và ba điểm nằm trên chúng thẳng hàng.
5 phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 7
| Phương pháp | Cần chứng minh | Cơ sở lý thuyết |
|---|---|---|
| 1. Góc bẹt | ∠ABD + ∠DBC = 180° (D là điểm nằm ngoài đường thẳng AC) | Hai tia BA, BC tạo thành góc bẹt nên là hai tia đối nhau |
| 2. Cùng song song | AB // a và AC // a | Tiên đề Euclid: qua A chỉ có một đường thẳng song song với a |
| 3. Cùng vuông góc | AB ⊥ a và AC ⊥ a (hoặc A, B, C cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng) | Qua một điểm chỉ có một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước |
| 4. Tia phân giác | OA và OB đều là tia phân giác của ∠xOy | Mỗi góc (khác góc bẹt) chỉ có một tia phân giác |
| 5. Trung điểm | Giao điểm K’ của AC với BD trùng với trung điểm K của BD | Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm |
Trong thực tế làm bài, phương pháp 1 được dùng nhiều nhất, thường kết hợp với hai tam giác bằng nhau để chuyển góc. Phương pháp 2 và 3 phù hợp khi đề bài có sẵn quan hệ song song, vuông góc hoặc có các đoạn thẳng bằng nhau đối xứng qua một đường.
Ví dụ minh hoạ có lời giải chi tiết
Ví dụ 1 (phương pháp góc bẹt)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A, vẽ tia Cx song song với AB, trên Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng.
Tìm cách giải. Vì ∠BMA + ∠AMC = 180° (hai góc kề bù) nên chỉ cần chứng minh ∠BMA = ∠CMD, khi đó ∠CMD + ∠AMC = 180°.
Lời giải. Do AB // CD và A, D nằm khác phía đối với BC nên ∠ABM = ∠DCM (hai góc so le trong). Xét tam giác MBA và tam giác MCD có: MB = MC (M là trung điểm BC); ∠ABM = ∠DCM (chứng minh trên); BA = CD (giả thiết). Do đó △MBA = △MCD (c.g.c), suy ra ∠BMA = ∠CMD. Mà ∠BMA + ∠AMC = 180° nên ∠CMD + ∠AMC = 180°, tức hai tia MA, MD đối nhau. Vậy A, M, D thẳng hàng.
Ví dụ 2 (phương pháp cùng song song)
Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C, vẽ tia Ax sao cho ∠xAB = ∠ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ tia Ay sao cho ∠yAC = ∠ACB. Lấy điểm E trên Ax, điểm F trên Ay. Chứng minh E, A, F thẳng hàng.
Lời giải. Hai góc xAB và ABC ở vị trí so le trong và bằng nhau nên Ax // BC. Tương tự, ∠yAC = ∠ACB ở vị trí so le trong nên Ay // BC. Qua điểm A nằm ngoài BC chỉ có một đường thẳng song song với BC (tiên đề Euclid), vì vậy hai đường thẳng chứa Ax và Ay trùng nhau. Suy ra E, A, F cùng nằm trên đường thẳng đó, tức ba điểm thẳng hàng.
Nhận xét: Bài toán này cũng cho ta cách chứng minh tổng ba góc trong tam giác bằng 180°, vì ∠xAB + ∠BAC + ∠yAC = 180°.
Ví dụ 3 (phương pháp cùng vuông góc)
Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A, lấy điểm D sao cho DB = DC. Chứng minh A, M, D thẳng hàng.
Lời giải. Xét △AMB và △AMC có AB = AC, MB = MC, cạnh AM chung nên △AMB = △AMC (c.c.c), suy ra ∠AMB = ∠AMC. Hai góc này kề bù nên mỗi góc bằng 90°, tức AM ⊥ BC. Lập luận tương tự với △DMB = △DMC (c.c.c) được DM ⊥ BC. Qua điểm M chỉ có một đường thẳng vuông góc với BC nên MA và MD nằm trên cùng một đường thẳng. Vậy A, M, D thẳng hàng.
Cách khác: Vì AB = AC và DB = DC nên A và D đều cách đều B và C, do đó A, D, M cùng thuộc đường trung trực của đoạn BC.
Ví dụ 4 (phương pháp tia phân giác)
Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Lấy hai điểm C, D nằm trong góc xOy sao cho CA = CB và DA = DB. Chứng minh O, C, D thẳng hàng.
Lời giải. △OAC = △OBC (c.c.c: OA = OB, CA = CB, OC chung) nên ∠AOC = ∠BOC, do đó OC là tia phân giác của ∠xOy. Tương tự, △OAD = △OBD (c.c.c) nên OD cũng là tia phân giác của ∠xOy. Mỗi góc chỉ có một tia phân giác, nên tia OC trùng tia OD. Vậy O, C, D thẳng hàng.
Mẹo chọn phương pháp nhanh
- Đề có trung điểm và đoạn thẳng bằng nhau: nghĩ ngay đến hai tam giác bằng nhau rồi dùng góc bẹt (phương pháp 1).
- Đề có góc so le, đồng vị bằng nhau hoặc yêu cầu vẽ đường song song: dùng tiên đề Euclid (phương pháp 2).
- Đề có tam giác cân, các điểm cách đều hai đầu mút: dùng đường vuông góc hoặc đường trung trực (phương pháp 3).
- Đề có hai góc bằng nhau cùng chung đỉnh: thử phương pháp tia phân giác (phương pháp 4).
Lỗi sai thường gặp
- Dùng hình vẽ để “thấy” thẳng hàng rồi lấy luôn điều đó làm giả thiết trong lập luận.
- Chứng minh ∠BMA = ∠CMD rồi kết luận ngay A, M, D thẳng hàng mà quên bước cộng góc kề bù để được 180°.
- Dùng phương pháp 2 nhưng hai đường song song không cùng đi qua một điểm chung: tiên đề Euclid chỉ áp dụng khi hai đường thẳng cùng đi qua một điểm.
- Không kiểm tra vị trí “khác phía” hoặc “cùng phía” trước khi khẳng định hai góc so le trong.
Bài tập tự luyện có hướng dẫn
Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB; trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC. Gọi N là trung điểm của AC; trên tia đối của tia NB lấy điểm E sao cho NE = NB. Chứng minh D, A, E thẳng hàng.
Hướng dẫn: △AMD = △BMC (c.g.c) nên ∠ADM = ∠BCM, hai góc so le trong nên AD // BC. Tương tự △ANE = △CNB nên AE // BC. Theo tiên đề Euclid, D, A, E thẳng hàng. Ngoài ra AD = AE = BC nên A là trung điểm của DE.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Chứng minh M, A, N thẳng hàng.
Hướng dẫn: △ABC = △ADE (c.g.c, có ∠BAC = ∠DAE đối đỉnh) nên BC = DE và ∠ABC = ∠ADE, suy ra BM = DN. Tiếp theo △ABM = △ADN (c.g.c) nên ∠BAM = ∠DAN. Vì B, A, D thẳng hàng nên ∠BAM + ∠MAD = 180°, thay ∠BAM bằng ∠DAN được ∠DAN + ∠MAD = 180°. Vậy M, A, N thẳng hàng.
Bài 3. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. Hai điểm P, Q nằm khác phía đối với AB sao cho PA = PB và QA = QB. Chứng minh P, I, Q thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh △PIA = △PIB (c.c.c) để có PI ⊥ AB, tương tự QI ⊥ AB. Qua I chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB nên P, I, Q thẳng hàng.
Ôn tập thêm các chuyên đề liên quan
Phương pháp 2 và 3 dựa trực tiếp vào kiến thức về đường thẳng song song và vuông góc. Nếu chưa vững, em nên ôn lại dấu hiệu hai đường thẳng song song, tiên đề Euclid và tính chất hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc và hai góc đối đỉnh. Sau đó luyện thêm với chuyên đề chứng minh quan hệ vuông góc, song song và đề ôn tập đường thẳng vuông góc, đường thẳng song song.
Câu hỏi thường gặp
Có mấy cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng ở lớp 7?
Thường dùng 5 cách: tạo góc bẹt (tổng hai góc bằng 180°), cùng song song với một đường thẳng, cùng vuông góc với một đường thẳng, cùng là tia phân giác của một góc, và tính duy nhất của trung điểm.
Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng hay dùng nhất là gì?
Cách dùng góc bẹt: chứng minh tổng hai góc kề nhau tại điểm ở giữa bằng 180°, thường kết hợp chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra hai góc bằng nhau.
Vì sao AB // a và AC // a thì A, B, C thẳng hàng?
Vì theo tiên đề Euclid, qua điểm A chỉ có một đường thẳng song song với a, nên hai đường thẳng AB và AC phải trùng nhau.
Có được dùng hình vẽ để kết luận ba điểm thẳng hàng không?
Không. Hình vẽ chỉ giúp dự đoán; kết luận ba điểm thẳng hàng phải được chứng minh bằng lập luận dựa trên định nghĩa, tiên đề hoặc định lí.