Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học lớp 7, tài liệu bao gồm 11 trang, tuyển chọn bài tập Chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học lớp 7 gồm các nội dung chính sau:

A. Phương pháp giải

- tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Một số ví dụ

- gồm 6 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập Chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học lớp 7 có lời giải chi tiết.

C. Bài tập vận dụng

- gồm 9 bài tập vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học lớp 7.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

A. Phương pháp giải

Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng gọi là ba điểm thẳng hàng. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp sau đây:

1. Phương pháp 1.

Nếu $\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=180°$ thì ba

Điểm A; B; C thẳng hàng.

2. Phương pháp 2.

Nếu AB // a và AC // a thì ba

điểm A; B; C thẳng hàng.

(Cơ sở của phương pháp này

là: tiên đề Ơ-Clit)

3. Phương pháp 3.

Nếu $AB\perp a;AC\perp a$ thì ba

điểm A; B; C thẳng hàng.

(Cơ sở của phương pháp này

là: Có một và chỉ một đường

thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)

Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng.

4. Phương pháp 4.

Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ba điếm O; A; B thẳng hàng.

(Cơ sở của phương pháp này là:

Mỗi góc khác góc bẹt có một và chỉ một tia phân giác).

* Hoặc: Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa

tia Ox, $\widehat{xOA}=\widehat{xOB}$ thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

5. Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì $K^{\text{'}}\equiv K$ và A, K, C thẳng hàng.

(Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm).

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

Giải

* Tìm cách giải. Muốn B, M, D thẳng hàng

cần chứng minh $\widehat{BMC}+\widehat{CMD}=180°.$ Do $\widehat{AMB}+\widehat{BMC}=180°$

 nên cần chứng minh $\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$

* Trình bày lời giải

$\Delta AMB$ và $\Delta CMD$ có:

AB = DC (gt), $\widehat{BAM}=\widehat{DCM}=90°,$

MA = MC (M là trung điểm AC)

Do đó: $\Delta AMB=\Delta CMD$ (c.g.c), suy ra: $\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{BMC}=180°$ (kề bù) nên $\widehat{BMC}+\widehat{CMD}=180°$

Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.

Giải

* Tìm cách giải. Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.

* Trình bày lời giải

$\Delta AOD$ và $\Delta COB$ có OA = OC (vì O là trung điểm AC)

$\widehat{AOD}=\widehat{COB}$ (hai góc đối đỉnh)

OD = OB

(vì O là trung điểm BD)

Do đó $\Delta AOD= \Delta COB$ (c.g.c)

Suy ra: $\widehat{DAO}=\widehat{OCB}$. Mà hai góc ở vị tri so le trong,

do do: AD // BC, nên $\widehat{DAB}=\widehat{CBM}$ (ở vị trí đồng vị)

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và M thuộc tia BC sao cho BC = CM, N thuộc cạnh AC sao cho AN = 2NC. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Giải

Vì M thuộc tia BC sao cho BC = CM nên $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$; vì N thuộc cạnh AC sao cho AN = 2NC nên $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$.

Vì P là trung điểm AB nên $\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$  (quy tắc ba điểm)

$\Rightarrow 3\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$ (1)

Lại có: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

$=2\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right)=2\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $3\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MP}\iff \overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MP}$

Vậy 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM = 2MI. Chứng minh A, M, C thẳng hàng.

Giải

Ta có: $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}$ (*)

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

Mà I là trung điểm CD nên $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CI}$

Thay vào đẳng thức (*) ở trên ta có:

$2\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}\iff \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IC}\iff \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$

Vậy A, M, C thẳng hàng.

Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC sao cho 3AE = 2AC. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?

A. D, E, I;

B. D, E, C;

D. D, E, A;

C. A, I, E.