Trả lời nhanh
Bài tập vị trí tương đối của hai đường thẳng. Với d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0, tính D = a1b2 − a2b1. Nếu D ≠ 0 thì hai đường thẳng cắt nhau (vuông góc khi a1a2 + b1b2 = 0). Nếu D = 0 thì lấy một điểm của d1 thử vào d2: thỏa mãn thì trùng nhau, không thỏa mãn thì song song. Tài liệu dưới đây gồm lý thuyết, 8 ví dụ giải chi tiết và 10 bài tự luyện có đáp án.
A. Lý thuyết vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hai đường thẳng d1 và d2 chỉ có thể ở một trong ba vị trí: cắt nhau, song song hoặc trùng nhau. Trường hợp vuông góc là một trường hợp đặc biệt của cắt nhau.
1. Xét bằng hệ phương trình
Tọa độ giao điểm (nếu có) của d1 và d2 là nghiệm của hệ gồm hai phương trình đường thẳng:
- Hệ có nghiệm duy nhất (x0; y0) ⇔ d1 cắt d2 tại M(x0; y0).
- Hệ vô nghiệm ⇔ d1 // d2.
- Hệ có vô số nghiệm ⇔ d1 ≡ d2.
2. Xét bằng vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương
| Vị trí | Dấu hiệu theo hệ số (a2, b2, c2 khác 0) | Dấu hiệu theo vectơ |
|---|---|---|
| Cắt nhau | a1/a2 ≠ b1/b2 | Hai vectơ pháp tuyến không cùng phương |
| Song song | a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 | Vectơ cùng phương, d1 và d2 không có điểm chung |
| Trùng nhau | a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 | Vectơ cùng phương, có một điểm chung |
| Vuông góc | a1a2 + b1b2 = 0 | Tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến (hoặc hai vectơ chỉ phương) bằng 0 |
Nhắc lại: đường thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến n = (a; b) và vectơ chỉ phương u = (b; −a) hoặc (−b; a). Đường thẳng tham số x = x0 + u1t, y = y0 + u2t có vectơ chỉ phương u = (u1; u2) và đi qua điểm (x0; y0).
3. Góc giữa hai đường thẳng
Nếu φ là góc giữa d1 và d2 (0° ≤ φ ≤ 90°) thì cos φ = |a1a2 + b1b2| / (√(a1² + b1²) · √(a2² + b2²)).
Phương pháp giải từng dạng bài
- Cả hai đường thẳng ở dạng tổng quát: tính D = a1b2 − a2b1. D ≠ 0 thì cắt nhau (kiểm tra thêm vuông góc); D = 0 thì thử một điểm để phân biệt song song và trùng.
- Cả hai ở dạng tham số: so sánh hai vectơ chỉ phương. Không cùng phương thì cắt nhau; cùng phương thì thử điểm M1 của d1 vào d2.
- Một tham số, một tổng quát: thay x, y theo t vào phương trình tổng quát. Phương trình ẩn t có một nghiệm thì cắt nhau; vô nghiệm thì song song; đúng với mọi t thì trùng nhau.
- Bài toán chứa tham số m: lập điều kiện theo bảng trên, giải tìm m rồi thay lại để loại giá trị làm hai đường thẳng trùng nhau.
Ví dụ có lời giải chi tiết
Ví dụ 1
Xét vị trí tương đối của d1: 2x − 3y + 1 = 0 và d2: 4x − 6y + 5 = 0.
Lời giải: 2/4 = (−3)/(−6) = 1/2, còn 1/5 ≠ 1/2. Vậy a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2, nên d1 // d2.
Ví dụ 2
Cho d1: x + 2y − 4 = 0 và d2: 2x − y + 3 = 0. Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có.
Lời giải: n1 = (1; 2), n2 = (2; −1), n1 · n2 = 2 − 2 = 0, nên d1 ⊥ d2. Từ d2: y = 2x + 3. Thay vào d1: x + 4x + 6 − 4 = 0 ⇒ x = −2/5, y = 11/5. Giao điểm M(−2/5; 11/5).
Ví dụ 3
Cho d1: 3x + y − 5 = 0 và d2: x − 2y + 3 = 0. Xét vị trí tương đối, tìm giao điểm và góc giữa hai đường thẳng.
Lời giải: D = 3·(−2) − 1·1 = −7 ≠ 0 nên hai đường thẳng cắt nhau; n1 · n2 = 3 − 2 = 1 ≠ 0 nên không vuông góc. Từ d1: y = 5 − 3x, thay vào d2: x − 10 + 6x + 3 = 0 ⇒ x = 1, y = 2. Giao điểm M(1; 2). Góc: cos φ = 1/(√10 · √5) = 1/(5√2) ≈ 0,1414, nên φ ≈ 81,87°.
Ví dụ 4
Xét vị trí tương đối của d1: x = 1 + 2t, y = −1 + 3t và d2: x = 5 − 4t’, y = 5 − 6t’.
Lời giải: u1 = (2; 3), u2 = (−4; −6) = −2u1, hai vectơ cùng phương. Điểm M1(1; −1) ∈ d1; thay vào d2: 1 = 5 − 4t’ ⇒ t’ = 1, khi đó y = 5 − 6 = −1, đúng. Vậy d1 ≡ d2.
Ví dụ 5
Xét vị trí tương đối của d1: x = 2 + t, y = 1 − 2t và d2: 2x + y − 3 = 0.
Lời giải: Thay vào d2: 2(2 + t) + (1 − 2t) − 3 = 0 ⇔ 2 = 0, vô lí. Phương trình ẩn t vô nghiệm nên d1 // d2.
Ví dụ 6
Tìm giao điểm của d1: x = −1 + 2t, y = 3 + t với d2: x − y + 1 = 0.
Lời giải: Thay vào d2: (−1 + 2t) − (3 + t) + 1 = 0 ⇔ t − 3 = 0 ⇔ t = 3. Giao điểm M(5; 6). Hai đường thẳng cắt nhau và không vuông góc vì u1 = (2; 1), u2 = (1; 1) có tích vô hướng 3 ≠ 0.
Ví dụ 7 (chứa tham số)
Cho d1: mx + 2y − 1 = 0 và d2: 2x + my + 3 = 0. Tìm m để d1 // d2; để d1 ⊥ d2.
Lời giải: D = m·m − 2·2 = m² − 4. Song song hoặc trùng khi D = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = −2. Với m = 2: d1: 2x + 2y − 1 = 0, d2: 2x + 2y + 3 = 0, song song. Với m = −2: d1: −2x + 2y − 1 = 0 ⇔ 2x − 2y + 1 = 0, d2: 2x − 2y + 3 = 0, song song. Vậy m = ±2. Vuông góc khi 2m + 2m = 0 ⇔ m = 0.
Ví dụ 8 (viết phương trình)
Viết phương trình đường thẳng qua A(1; 2) và song song với d: 3x − 4y + 1 = 0; đường thẳng qua A và vuông góc với d.
Lời giải: Đường song song có dạng 3x − 4y + c = 0 (c ≠ 1). Qua A: 3 − 8 + c = 0 ⇒ c = 5, được 3x − 4y + 5 = 0. Đường vuông góc nhận (3; −4) làm vectơ chỉ phương nên có dạng 4x + 3y + c = 0; qua A: 4 + 6 + c = 0 ⇒ c = −10, được 4x + 3y − 10 = 0.
B. Bài tập tự luyện có đáp án
Với các câu 1–6, chọn một trong bốn kết luận: A. Trùng nhau; B. Song song; C. Vuông góc với nhau; D. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
| Câu | Đề bài | Đáp án |
|---|---|---|
| 1 | d1: x − 3y + 2 = 0 và d2: −2x + 6y − 4 = 0 | A (các tỉ số đều bằng −1/2) |
| 2 | d1: 2x + y − 1 = 0 và d2: x − 2y + 7 = 0 | C, giao điểm (−1; 3) |
| 3 | d1: 4x − y + 2 = 0 và d2: 8x − 2y − 1 = 0 | B |
| 4 | d1: x + y − 2 = 0 và d2: 3x − y − 2 = 0 | D, giao điểm (1; 1) |
| 5 | d1: x = 3 + t, y = 2 − t và d2: x = 1 + 2s, y = 4 − 2s | A |
| 6 | d1: x = 1 + 3t, y = 2 + t và d2: x + 3y − 4 = 0 | D, giao điểm (−1/2; 3/2) |
| 7 | Tìm m để x + my − 2 = 0 vuông góc với 3x − 2y + 1 = 0 | m = 3/2 |
| 8 | Tìm m để 2x + (m − 1)y + 3 = 0 song song với x + y − 1 = 0 | m = 3 |
| 9 | Tính góc giữa x − 2y + 1 = 0 và 3x − y − 4 = 0 | 45° |
| 10 | Viết phương trình đường thẳng qua B(−2; 3), vuông góc với x − 5y + 2 = 0 | 5x + y + 7 = 0 |
Hướng dẫn nhanh một số câu
- Câu 6: thay x, y vào d2: 1 + 3t + 6 + 3t − 4 = 0 ⇒ t = −1/2. Vectơ chỉ phương của d2 là (3; −1), tích vô hướng với (3; 1) bằng 8 ≠ 0 nên không vuông góc.
- Câu 8: D = 2·1 − (m − 1)·1 = 3 − m = 0 ⇒ m = 3. Khi đó d1: 2x + 2y + 3 = 0, còn 2·d2: 2x + 2y − 2 = 0, khác hệ số tự do nên song song, nhận m = 3.
- Câu 9: cos φ = |3 + 2| / (√5 · √10) = 5/(5√2) = 1/√2 ⇒ φ = 45°.
- Câu 10: đường cần tìm nhận (1; −5) làm vectơ chỉ phương nên có dạng 5x + y + c = 0; qua B: −10 + 3 + c = 0 ⇒ c = 7.
Lỗi thường gặp
- Chỉ so sánh tỉ số a1/a2 và b1/b2 rồi kết luận “song song” mà quên kiểm tra c1/c2, dẫn đến nhầm với trùng nhau.
- Dùng công thức tỉ số khi có hệ số bằng 0 (ví dụ đường x + 10 = 0). Khi đó nên dùng D = a1b2 − a2b1 hoặc giải hệ.
- Với đường tham số, lấy nhầm vectơ chỉ phương làm vectơ pháp tuyến khi xét vuông góc.
- Bài chứa tham số: tìm được m cho D = 0 nhưng không thay lại để loại trường hợp trùng nhau.
- Bấm máy tính giải hệ mà nhập sai dấu hệ số tự do (máy thường yêu cầu dạng ax + by = c, phải chuyển vế c).
Câu hỏi thường gặp
Làm sao biết hai đường thẳng song song hay trùng nhau?
Khi D = a1b2 − a2b1 = 0, lấy một điểm bất kì của d1 thay vào d2: thỏa mãn thì trùng nhau, không thỏa mãn thì song song.
Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc là gì?
Hai đường thẳng ax + by + c = 0 vuông góc khi a1a2 + b1b2 = 0, tức tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0.
Bài tập vị trí tương đối của hai đường thẳng thuộc chương trình lớp mấy?
Nội dung này học ở Toán 10, chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, và được ôn lại khi luyện thi tốt nghiệp THPT.
Xét vị trí tương đối khi một đường thẳng cho dạng tham số làm thế nào?
Thay x, y theo t vào phương trình đường còn lại: một nghiệm t là cắt nhau, vô nghiệm là song song, vô số nghiệm là trùng nhau.
Công thức tính góc giữa hai đường thẳng là gì?
cos φ = |a1a2 + b1b2| / (√(a1² + b1²) · √(a2² + b2²)), với 0° ≤ φ ≤ 90°.