Cho $A =\frac{2}{3}+\frac{8}{9}+\frac{26}{27}+...+\frac{3^n-1}{3^n}$. CM $A>n-\frac{1}{2}$

​

$$\begin{gathered} A=1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{9}+1-\frac{1}{27}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+1-\frac{1}{3^n} \\ =n-(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{3^n}) \end{gathered}$$

$=n-M$

Xét $M=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{3^n}$​

$3M=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{3^{n-1}}$​

$\Rightarrow 3M-M=1-\frac{1}{3^n}$​

$\Rightarrow M=\frac{1}{2}-\frac{1}{2.3^n}<\frac{1}{2}$​

$\Rightarrow A=n-M>n-\frac{1}{2}$

Phương pháp giải:

Bài toán này sử dụng các lý thuyết sau:

1. Biến đổi tổng dạng cấp số nhân

• Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn có công thức:

  $$S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$$

  trong đó:

  • $a_1$ là số hạng đầu,
  • $r$ là công bội,
  • $n$ là số số hạng.

• Trong bài toán này, tổng M có dạng:

  $$M = \frac{1 - 3^{-n}}{2}$$

  vì nó là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu là $\frac{1}{3}$ và công bội $\frac{1}{3}$.

2. Bất đẳng thức so sánh giá trị tổng

• Sử dụng tính chất của cấp số nhân để đưa về biểu thức gần đúng.
• Bất đẳng thức: $$M < \frac{1}{2}$$ từ đó suy ra: $$A = n - M > n - \frac{1}{2}$$

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân và bất đẳng thức để chứng minh điều kiện bài toán.