Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}=5$

b) $x^2+2x+7=3\sqrt{(x^2+1)\mathrm{.}(x+3)}$​

 

 

a) đkxđ $x\ge 1$

PT đã cho $\iff (\sqrt{2x-1}-3)+(\sqrt{x-1}-2)=0$

$\iff {\displaystyle \frac{2x-10}{\sqrt{2x-1}+3}}+{\displaystyle \frac{x-5}{\sqrt{x-1}+2}}=0$

$\iff (x-5)({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2x-1}+3}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x-1}+2}})=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=5\left(nh\text{ậ}n\right)\\ {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2x-1}+3}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x-1}+3}}=0\end{array}$​

 Hiển nhiên pt thứ 2 vô nghiệm vì $VT>0$ với mọi $x\ge 1$. Do đó pt đã cho có nghiệm duy nhất là $x=5$

b) đkxđ: $x\ge -3$

 Để ý rằng $x^2+2x+7=(x^2+1)+(2x+6)=(x^2+1)+2(x+3)$ nên nếu ta đặt $\sqrt{x^2+1}=u(u\ge 1)$ và $\sqrt{x+3}=v(v\ge 0)$ thì pt đã cho trở thành:

 $u^2+2v^2=3uv$

 $\iff (u-v)(u-2v)=0$

 $\iff [\begin{array}{c}u=v\\ u=2v\end{array}$​

Nếu $u=v$ thì $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x+3}$​ $\iff \{\begin{array}{c}x\ge -3\\ x^2+1=x+3\end{array}$​ 

Mà $x^2+1=x+3$  $\iff x^2-x-2=0$

$\iff (x+1)(x-2)=0$ $\iff [\begin{array}{c}x=2\\ x=-1\end{array}$(nhận)

 Nếu $u=2v$ thì $\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{x+3}$​

$\iff \{\begin{array}{c}x\ge -3\\ x^2+1=4x+12\end{array}$​

mà $x^2+1=4x+12$$\iff x^2-4x-11=0$

$\iff x=2\pm \sqrt{15}$ (nhận)

Vậy pt đã cho có tập nghiệm $S=\{2;-1;2\pm \sqrt{15}\}$

Phương pháp giải:

1. Các điều kiện và tính chất cơ bản

+ √A có nghĩa khi A ≥ 0

+ √A ≥ 0 với A ≥ 0 

+ √A² =  

+ 

+ √A² = 0 ⇔ A = 0 

+ √AB = √A.√B khi A ≥ 0; B ≥ 0

+ √AB = √-A.√-B khi A ≤ 0; B ≤ 0  

2. Các dạng phương trình chứa căn

+  

+  

+ √A + √B = 0 

 

+ ³√A = B ⇔ A = B³ 

+ ³√A = ³√B ⇔ A = B