Tìm tất cả các số nguyên dương n để $\sqrt{\frac{4n+1}{n+7}}$​​ là số hữu tỉ.

 

*Trường hợp 4n+1 không chia hết n+7 Thì

Để biểu thức hữu tỉ nên 4n+1 và n+7 là các số chính phương

-Có 4n+1 là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1$\Rightarrow n$ chẵn

Suy ra n+7 là số chính phương lẻ

Có 4n+1 và n+7 là số chính phương lẻ nên tận cùng 1, 5, 9 suy ra chia 5 dư 1, 0, 4(1)

Mà $4n+1+n+7=5n+8$ chia 5 dư 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4n+1 và n+7 không là các số chính phương

* Trường hợp 4n+1 chia hết n+7

Vì biểu thức hữu tỉ nên bình phương của nó cũng hữu tỉ

$\frac{4n+1}{n+7}=\frac{3n+21+n+7-27}{n+7}=3+1-\frac{27}{n+7}$​

n nguyên dương nên n + 7 = (9, 27) suy ra n = 2, 20

Phương pháp giải:

Bài toán này sử dụng các lý thuyết sau:

1. Số hữu tỉ và điều kiện để biểu thức là số hữu tỉ

• Một biểu thức là số hữu tỉ nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng phân số của hai số nguyên.

2. Số chính phương

• Một số nguyên dương $x$ là số chính phương nếu tồn tại số nguyên $k$ sao cho $x = k^2$.

3. Điều kiện chia hết

• Nếu $A$ chia hết cho $B$ (tức là $A$ có dạng $kB$ với $k$ là số nguyên), thì $\frac{A}{B}$ là số nguyên.

4. Phân tích theo tính chẵn lẻ và tận cùng của số chính phương

• Số chính phương lẻ chia 8 dư 1.
• Số chính phương có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9.

5. Xét hai trường hợp

• Trường hợp 1: $4n+1$ và $n+7$ đều là số chính phương → kiểm tra tính hợp lệ bằng cách xét tính chất của số chính phương.
• Trường hợp 2: $4n+1$ chia hết $n+7$ → biến đổi và giải phương trình tìm $n$.

Áp dụng lý thuyết số chính phương, tính chia hết và số hữu tỉ để tìm các giá trị $n$ thỏa mãn bài toán.