a) 

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa GTLG của các góc ${135}^o,{150}^o,{180}^o$ về GTLG của các góc ${45}^o,{30}^o,0^o$

$$\begin{gathered} \cos {135}^o=-\cos {45}^o;\cos {180}^o=-\cos 0^o \\ \tan {150}^o=-\tan {30}^o \end{gathered}$$

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$$\begin{gathered} \sin {30}^o=\frac{1}{2};\tan {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \cos {45}^o=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos 0^o=1;\cot {60}^o=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Lời giải:

Đặt  $A=\left(2\sin {30}^o+\cos {135}^o-3\tan {150}^o\right).\left(\cos {180}^o-\cot {60}^o\right)$

Ta có: $\{\begin{array}{l}\cos {135}^o=-\cos {45}^o;\cos {180}^o=-\cos 0^o\\ \tan {150}^o=-\tan {30}^o\end{array}$

$\Rightarrow A=\left(2\sin {30}^o-\cos {45}^o+3\tan {30}^o\right).\left(-\cos 0^o-\cot {60}^o\right)$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\{\begin{array}{l}\sin {30}^o=\frac{1}{2};\tan {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \cos {45}^o=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos 0^o=1;\cot {60}^o=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

$\Rightarrow A=\left(2.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+3.\frac{\sqrt{3}}{3}\right).\left(-1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$\begin{array}{l}\iff A=-\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\right).\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\\ \iff A=-\frac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}.\frac{3+\sqrt{3}}{3}\\ \iff A=-\frac{\left(2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)}{6}\\ \iff A=-\frac{6+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}+6\sqrt{3}+6}{6}\\ \iff A=-\frac{12+8\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}.\end{array}$

b) ${\sin }^2{90}^o+{\cos }^2{120}^o+{\cos }^2{0}^o-{\tan }^{2}60+{\cot }^2{135}^o$

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa GTLG của các góc ${120}^o,{135}^o$ về GTLG của các góc ${60}^o,{45}^o$

$\cos {120}^o=-\cos {60}^o,\cot {135}^o=-\cot {45}^o$

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$$\begin{gathered} \cos 0^o=1;\cot {45}^o=1;\cos {60}^o=\frac{1}{2} \\ \tan {60}^o=\sqrt{3};\sin {90}^o=1 \end{gathered}$$

Lời giải:

Đặt  $B={\sin }^2{90}^o+{\cos }^2{120}^o+{\cos }^2{0}^o-{\tan }^{2}60+{\cot }^2{135}^o$

Ta có: $\{\begin{array}{l}\cos {120}^o=-\cos {60}^o\\ \cot {135}^o=-\cot {45}^o\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\cos }^2{120}^o={\cos }^2{60}^o\\ {\cot }^2{135}^o={\cot }^2{45}^o\end{array}$

$\Rightarrow B={\sin }^2{90}^o+{\cos }^2{60}^o+{\cos }^2{0}^o-{\tan }^{2}60+{\cot }^2{45}^o$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\{\begin{array}{l}\cos 0^o=1;\cot {45}^o=1;\cos {60}^o=\frac{1}{2}\\ \tan {60}^o=\sqrt{3};\sin {90}^o=1\end{array}$

$\Rightarrow B=1^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2$

$\iff B=1+\frac{1}{4}+1-3+1=\frac{1}{4}.$

c) $\cos {60}^o.\sin {30}^o+{\cos }^2{30}^o$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$\sin {30}^o=\frac{1}{2};\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos {60}^o=\frac{1}{2}$

Lời giải:

Đặt  $C=\cos {60}^o.\sin {30}^o+{\cos }^2{30}^o$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {30}^o=\frac{1}{2};\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos {60}^o=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow C=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1.$

Phương pháp giải:

Lời giải:

Ta có:  $\{\begin{array}{l}\sin {100}^o=\sin \left({180}^o-{80}^o\right)=\sin {80}^o\\ \cos {164}^o=\cos \left({180}^o-{16}^o\right)=-\cos {16}^o\end{array}$

$\Rightarrow \sin {100}^o+\sin {80}^o+\cos {16}^o+\cos {164}^o$$=\sin {80}^o+\sin {80}^o+\cos {16}^o-\cos {16}^o$$=2\sin {80}^o.$

b) $2\sin \left({180}^o-\alpha \right).\cot \alpha -\cos \left({180}^o-\alpha \right).\tan \alpha .\cot \left({180}^o-\alpha \right)$ với $0^o<\alpha <{90}^o$.

Phương pháp giải:

Lời giải:

Ta có:

$\{\begin{array}{l}\sin \left({180}^o-\alpha \right)=\sin \alpha \\ \cos \left({180}^o-\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left({180}^o-\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left({180}^o-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}(0^o<\alpha <{90}^o)$$\Rightarrow 2\sin \left({180}^o-\alpha \right).\cot \alpha -\cos \left({180}^o-\alpha \right).\tan \alpha .\cot \left({180}^o-\alpha \right)$ $=2\sin \alpha .\cot \alpha -\left(-\cos \alpha \right).\tan \alpha .\left(-\cot \alpha \right)$$=2\sin \alpha .\cot \alpha -\cos \alpha .\tan \alpha .\cot \alpha$

$=2\sin \alpha .\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }-\cos \alpha .\left(\tan \alpha .\cot \alpha \right)$$=2\cos \alpha -\cos \alpha =\cos \alpha .$

a) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }(\alpha \ne {90}^o)$

c) $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }(0^o<\alpha <{180}^o)$

a)

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ đường tròn lượng giác, lấy điểm M biểu diễn góc $\alpha$ bất kì.

Bước 2: Xác định $\sin \alpha ,\cos \alpha$( tương ứng với tung độ và hoành độ của điểm M).

Bước 3: Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: $\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\cos }^2\alpha =x^2\\ {\sin }^2\alpha =y^2\end{array}$(1)

Mà $\{\begin{array}{l}\left|x\right|=ON\\ \left|y\right|=OP=MN\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}^2={\left|x\right|}^2=O{N}^2\\ y^2={\left|y\right|}^2=M{N}^2\end{array}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =O{N}^2+M{N}^2=O{M}^2$ (do $\mathrm{\Delta }OMN$ vuông tại N)

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ (vì OM =1). (đpcm)

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }(\alpha \ne {90}^o)$

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết $\tan \alpha$ dưới dạng $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\alpha \ne {90}^o)$, thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải:

Ta có:  $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\alpha \ne {90}^o)$

$\Rightarrow 1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

Mà theo ý a) ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ với mọi góc $\alpha$

$\Rightarrow 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (đpcm)

c) $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }(0^o<\alpha <{180}^o)$

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết $\cot \alpha$ dưới dạng $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$, thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải:

Ta có:  $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }(0^o<\alpha <{180}^o)$

$\Rightarrow 1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$

Mà theo ý a) ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ với mọi góc $\alpha$

$\Rightarrow 1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (đpcm)

Phương pháp giải: