HĐ1 trang 34 Toán lớp 10: a) Nêu nhận xét về vị trí điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

$\begin{array}{l}\alpha ={90}^o;\\ \alpha <{90}^o;\\ \alpha >{90}^o.\end{array}$

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$, nêu mối quan hệ giữa $\cos \alpha ,\sin \alpha$ với hoành độ và tung độ của điểm M.

Phương pháp giải:

a) Quan sát góc$\alpha =\widehat{xOM}$ trong các trường hợp tương ứng. Khi ấy M thuộc cung nào?

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$ thì $\cos \alpha =\frac{\left|x_0\right|}{OM},\sin \alpha =\frac{\left|y_0\right|}{OM};$ trong đó $OM=R=1$.

Lời giải:

a) Khi $\alpha ={90}^o$, điểm M trùng với điểm C. (Vì $\widehat{xOC}=\widehat{AOC}={90}^o$)

Khi $\alpha <{90}^o$, điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung)

Khi $\alpha >{90}^o$, điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung)

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$ , ta có:

$\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{\left|x_0\right|}{OM}=\left|x_0\right|=x_0;\\ \sin \alpha =\frac{\left|y_0\right|}{OM}=\left|y_o\right|=y_o\end{array}$

Vì $OM=R=1$; $x_0\in$tia $Ox$nên $x_0>0$; $y_0\in$tia $Oy$nên $y_0>0$

Vậy $\cos \alpha$ là hoành độ $x_0$của điểm M, $\sin \alpha$ là tung độ $y_0$ của điểm M.

Luyện tập 1 trang 34 Toán lớp 10:  Tìm các giá trị lượng giác của góc ${120}^o$ (H.3.4)

Phương pháp giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^o$

Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị $\cos {120}^o,\sin {120}^o$

Từ đó suy ra $\tan {120}^o={\displaystyle \frac{\sin {120}^o}{\cos {120}^o}},\cot {120}^o={\displaystyle \frac{\cos {120}^o}{\sin {120}^o}}.$

Lời giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^o$

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì  $\widehat{xOM}={120}^o>{90}^o$ nên M nằm bên trái trục tung.

Khi đó:$\cos {120}^o=-\overline{ON},\sin {120}^o=\overline{OP}$

Vì $\widehat{xOM}={120}^o$ nên $\widehat{NOM}={180}^o-{120}^o={60}^o$ và $\widehat{POM}={120}^o-{90}^o={30}^o$

Vậy các tam giác $\mathrm{\Delta }MON$ và $\mathrm{\Delta }MOP$ vuông tại N, p và có một góc bằng ${30}^o$

$\Rightarrow ON=MP=\frac{1}{2}OM=\frac{1}{2}$(Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc ${30}^o$ bằng một nửa cạnh huyền)

Và $OP=MN=\sqrt{O{M}^2-O{N}^2}=\sqrt{1^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy điểm M có tọa độ là $\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Và $\cos {120}^o=-\frac{1}{2};\sin {120}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \tan {120}^o=\frac{\sin {120}^o}{\cos {120}^o}=\frac{\sqrt{3}}{2}:\left(-\frac{1}{2}\right)=-\sqrt{3};\\ \cot {120}^o=\frac{\cos {120}^o}{\sin {120}^o}=\left(-\frac{1}{2}\right):\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.\end{array}$

Chú ý:

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc ${120}^o$

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT”  “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)

Tính $\sin {120}^o$, bấm phím:  sin  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Tính $\cos {120}^o$,bấm phím:  cos  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{-1}{2}$

Tính $\tan {120}^o$, bấm phím:  tan  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $-\sqrt{3}$

( Để tính $\cot {120}^o$, ta tính $1:\tan {120}^o$)

Xem thêm lời giải Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 33 Tập 1 

Giải Toán 10 trang 34 Tập 1 

Giải Toán 10 trang 36 Tập 1 

Giải Toán 10 trang 37 Tập 1