20 câu Trắc nghiệm Tích của một vectơ với một số (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

20 câu Trắc nghiệm Tích của một vectơ với một số (Kết nối tri thức 2024) có đáp án – Toán lớp 10

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 11-01-2024 Lớp 10

2.2 K

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Trắc nghiệm Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số sách Kết nối tri thức. Bài viết gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài trắc nghiệm Toán 10.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Câu 1: Các tam giác ABC có trọng tâm G; M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB. Biểu thị $\vec{M G}$ thông qua hai vec tơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

A. $\vec{N G} = - \frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ ;

B. $\vec{N G} = - \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ;

C. $\vec{N G} = - \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ ;

D. $\vec{N G} = - \frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\vec{N G} = \vec{A G} - \vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{A M} - \frac{1}{2} \vec{A B}$

$= \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}) - \frac{1}{2} \vec{A B}$

$= \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$

$= - \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{N G} = - \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Câu 2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác. Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$ .

A. M là trung điểm của đoạn thẳng GC;

B. M nằm giữa G và C sao cho GM = 4GC;

C. M nằm ngoài G và C sao cho GM = 4GC;

D. M nằm giữa G và C sao cho $G M = \frac{1}{4} G C$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Xét $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + 2 (\vec{M G} + \vec{G C}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + \vec{G C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M G} + \vec{G C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M G} = - \vec{G C}$

$\Leftrightarrow \vec{G M} = \frac{1}{4} \vec{G C}$ .

Vậy G là điểm nằm giữa G và C sao cho $G M = \frac{1}{4} G C$ .

Câu 3. Trong hình vẽ, hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ , tức là tìm các số x, y, z, t để $\vec{u} = x \vec{a} + y \vec{b}, \vec{v} = t \vec{a} + z \vec{b} .$

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

A. x = 1, y = 2, z = 2, t = -1;

B. x = 1, y = 2, z = -2, t = 3;

C. x = 1, y = 2, z = -2, t = -1;

D. x = 1, y = -2, z = 2, t = -3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có hình vẽ sau:

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Xét hình bình hành OABC, có:

$\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O C} = 2 \vec{b}, \vec{O B} = \vec{u}$

Khi đó, ta có:

$\vec{u} = \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{O C} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OMNP, có:

$\vec{O N} = \vec{v}, \vec{O M} = 3 \vec{b}, \vec{O P} = - 2 \vec{a}$

Khi đó, ta có:

$\vec{v} = \vec{O N} = \vec{O M} + \vec{O P} = 3 \vec{b} - 2 \vec{a} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b} .$

Vậy $\vec{u} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \vec{v} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b} .$

Câu 4. Cho tam giác ABC . Lấy E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = $\frac{1}{3}$ AC. Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + 3 \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$ .

A. M là trung điểm BC;

B. M là đỉnh hình chữ nhật AEFM;

C. M là đỉnh hình bình hành EAFM;

D. M là đỉnh tam giác đều BEM.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Để xác định vị trí điểm M, trước hết ta biểu thị $\vec{A M}$ (với gốc A đã biết) theo hai vec tơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

Đẳng thức vec tơ đã cho tương đương với $\vec{M A} + 3 (\vec{M A} + \vec{A B}) + 2 (\vec{M A} + \vec{A C}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 6 \vec{M A} + 3 \vec{A B} + 2 \vec{A C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Vì E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = $\frac{1}{3}$ AC nên $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ và $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Vì vậy $\vec{A M} = \vec{A E} + \vec{A F}$ .

Suy ra M là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAFM.

Câu 5. Biết rằng hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương nhưng hai vectơ $5 x \vec{a} + 4 \vec{b}$ và $(3 x - 2) \vec{a} - 2 \vec{b}$ cùng phương. Khi đó giá trị của x bằng:

A. $\frac{4}{11}$ ;

B. $\frac{2}{3}$ ;

C. 4;

D. -4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Vectơ $5 x \vec{a} + 4 \vec{b}$ và $(3 x - 2) \vec{a} - 2 \vec{b}$ cùng phương khi 5x = - 2(3x – 2)

⇔ 5x = -6x + 4

⇔ 11x = 4

⇔ x = $\frac{4}{11}$ .

Vậy x = $\frac{4}{11}$ .

Câu 6: Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ với số thực k như thế nào thì vectơ $k \vec{a}$ ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ .

A. k = 1;

B. k = 0;

C. k < 0;

D. k > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Tích của một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ với số thực k < 0 là một vec tơ kí hiệu $k \vec{a}$ ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ .

Câu 7: Cho vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và hai số thực k, t. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. k(t $\vec{a}$ ) = (kt) $\vec{a}$ ;

B. (k + t) $\vec{a}$ = k $\vec{a}$ + t $\vec{b}$ ;

C. k $(\vec{a} + \vec{b})$ = k $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ ;

D. (-1) $\vec{a}$ = - $\vec{a}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có (k + t) $\vec{a}$ = k $\vec{a}$ + t $\vec{a}$ . Do đó B sai.

Câu 8: Cho ba điểm A, B, C phân biệt sao cho $\vec{A B} = k \vec{A C}$ .Biết rằng C là trung điểm đoạn thẳng AB. Giá trị k thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A. k < 0

B. k = 1

C. 0 < k < 1

D. k > 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Vì C là trung điểm của đoạn thẳng AB nên AC = 2AB.

Ta có $\vec{A C}, \vec{A B}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\vec{A C} = 2 \vec{A B}$ . Suy ra k = 2 > 1.

Vậy k thỏa mãn điều kiện k > 1.

Câu 9. Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định ví trí điểm K thỏa mãn $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ .

A. K là trung điểm của AB

B. K là điểm nằm giữa I và A thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IB với I là trung điểm của AB.

C. K là điểm nằm giữa I và B thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IB với I là trung điểm của AB.

D. K là điểm nằm giữa I và A thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IA với I là trung điểm của AB.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$

Xét đẳng thức: $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{K I} + \vec{I A} + 2 (\vec{K I} + \vec{I B}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{K I} + \vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{K I} + (\vec{I A} + \vec{I B}) + \vec{I B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{K I} + \vec{0} + \vec{I B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{K I} = - \frac{1}{3} \vec{I B}$ hay $\vec{I K} = \frac{1}{3} \vec{I B}$

Vì vậy điểm K là điểm nằm giữa I và B thỏa mãn $I K = \frac{1}{3} I B$ .

Câu 10. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Khi đó $\vec{A M} = a \vec{A B} + b \vec{A C}$ . Tính S = a + 2b.

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$ ;

D. $\frac{3}{2} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

⇔ $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$

⇒ a = $\frac{1}{2}$ , b = $\frac{1}{2}$ .

⇒ S = a + 2b = $\frac{1}{2}$ + 2. $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ + 1 = $\frac{3}{2}$ .

Vậy S = $\frac{3}{2}$ .

Câu 11. Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ như hình vẽ và ở trạng thái cân bằng (tức là $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$ ). Tính độ lớn của các lực $\vec{F_{2}}, \vec{F_{3}},$ biết $\vec{F_{1}}$ có độ lớn là 20N.

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

A. $|\vec{F_{1}}| = \frac{20}{\sqrt{3}} N, |\vec{F_{2}}| = \frac{40 \sqrt{3}}{3} N;$

B. $F_{1} | = = \frac{40}{\sqrt{3}} N | \vec{F_{2}} | = \frac{20 \sqrt{3}}{3}; N$

C. $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}| = \frac{40 \sqrt{3}}{3} N;$

D. $|\vec{F_{1}}| = \frac{60}{\sqrt{3}} N, |\vec{F_{2}}| = \frac{40 \sqrt{3}}{3} N .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có: $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = - \vec{F_{3}}$

Mà $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = \vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O D}$ (OBDA là hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{O D} = - \vec{F_{3}}$

⇒ Hai vecto $\vec{O D}$ và $\vec{F_{3}}$ là hai vecto đối nhau

$\Rightarrow |\vec{O D}| = |- \vec{F_{3}}|$ và $\hat{B O D} = 60^{0}$ .

Ta lại có: $\vec{B D} = \vec{F_{1}}$

Xét ΔOBD, có:

$O B = \frac{B D}{\tan 60^{0}} = \frac{20}{\sqrt{3}} (N) \Rightarrow |\vec{F_{2}}| = \frac{20}{\sqrt{3}} N .$

$O D = \frac{B D}{\sin 60^{0}} = \frac{40 \sqrt{3}}{3} (N) \Rightarrow |\vec{F_{3}}| = \frac{40 \sqrt{3}}{3} N .$

Vậy độ lớn vecto $\vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ lần lượt là $\frac{20}{\sqrt{3}} N, \frac{40 \sqrt{3}}{3} N .$

Câu 12. Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 2 và giao điểm các đường chéo là H. Tính độ dài của vectơ $\vec{A B} + 2 \vec{A H}$ .

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\sqrt{5}$

D. $\frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Vì ABCD là hình bình hành nên AH = HC = $\frac{1}{2}$ AC. Khi đó $\vec{A H} = \frac{1}{2} \vec{A C}$

Ta có: $\vec{A B} + 2 \vec{A H} = \vec{A B} + 2. \frac{1}{2} . \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A C}$

Gọi M là trung điểm của DC

$\Rightarrow \vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A B} + 2 \vec{A H} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow |\vec{A B} + 2 \vec{A H}| = 2 |\vec{A M}|$

Xét tam giác ADM vuông tại M, có:

AM² = AD² + DM² = 2² + ${(\frac{2}{2})}^{2}$ = 5 (định lí Py – ta – go)

⇔ AM = $\sqrt{5}$

Vậy $|\vec{A B} + 2 \vec{A H}| = \sqrt{5} .$

Câu 13. Cho tứ giác ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, CD. Đẳng thức nào dưới đây là sai?

A. $\vec{B C} + \vec{A D} = \vec{M N}$ ;

B. $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N}$ ;

C. $\vec{B C} + \vec{A D} = 3 \vec{M N}$ ;

D. $\vec{B C} + \vec{A D} = 4 \vec{M N}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có $\vec{B C} + \vec{A D} = \vec{B M} + \vec{M C} + \vec{A M} + \vec{M D}$

$= (\vec{B M} + \vec{A M}) + (\vec{M C} + \vec{M D})$

$= \vec{0} + 2 \vec{M N}$

$= 2 \vec{M N}$

Vậy $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N}$

Câu 14. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vec tơ – không. Hai vec tơ nào dưới đây cùng phương?

A. $2 \vec{a} + \vec{b}$ và $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ ;

B. $- \vec{a} + \vec{b}$ và $- 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ;

C. $\frac{1}{6} \vec{a} - \vec{b}$ và $- \vec{a} + 6 \vec{b}$ ;

D. $\vec{a} + \vec{b}$ và $\vec{a} - \vec{b}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Ta có: $- 6 (\frac{1}{6} \vec{a} - \vec{b}) = - \vec{a} + \vec{b}$ . Do đó vectơ $\frac{1}{6} \vec{a} - \vec{b}$ và $- \vec{a} + 6 \vec{b}$ cùng phương.

Câu 15. Cho hình vẽ sau:

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. $5 \vec{M P} = 4 \vec{M N}$ ;

B. $\vec{P M} = 4 \vec{P N}$ ;

C. $\vec{P N} = - \frac{1}{5} \vec{M N}$ ;

D. Cả A, B và C đều sai

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

+) Ta có hai vectơ $\vec{M P}$ và $\vec{M N}$ cùng hướng và $M P = \frac{4}{5} M N$ . Suy ra $\vec{M P} = \frac{4}{5} \vec{M N}$ hay $5 \vec{M P} = 4 \vec{M N}$ . Do đó A đúng.