20 câu Trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai vectơ (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

20 câu Trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai vectơ (Kết nối tri thức 2024) có đáp án – Toán lớp 10

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 11-01-2024 Lớp 10

2 K

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Trắc nghiệm Toán lớp 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ sách Kết nối tri thức. Bài viết gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài trắc nghiệm Toán 10.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Câu 1. Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng 2 dm và $\hat{B A D} = 100 °$ . Tính độ dài vectơ $\vec{D A} + \vec{D C}$ .

A. 9,39 dm;

B. 3,06 dm;

C. 7,31 dm;

D. 2,70 dm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Vì ABCD là hình thoi nên ABCD là hình bình hành khi đó: $\vec{D A} + \vec{D C} = \vec{D B}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABD có:

BD² = AB² + AD² – 2.AB.AD.cos $\hat{B A D}$

⇔ BD² = 2² + 2² – 2.2.2.cos100°

⇔ BD² ≈ 9,39

⇔ BD ≈ 3,06 dm

⇒ $|\vec{D A} + \vec{D C}| = |\vec{D B}| = 3, 06 d m .$

Vậy độ dài vectơ $\vec{D A} + \vec{D C}$ là 3,06 dm.

Câu 2. Cho hình bình hành ABCD có tâm O, G là trọng tâm tam giác BCD. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ ;

B. $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ ;

C. $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ ;

D. $\vec{G C} + \vec{G O} = \vec{0}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

+) Ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (quy tắc hình bình hành). Do đó A đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ . Do đó B đúng.

+) O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC. Suy ra $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ . Do đó C đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GC = 2GA. Suy ra $\vec{G C} + \vec{G O} \neq \vec{0}$ . Do đó D sai.

Câu 3. Tính tổng $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R}$

A. $\vec{P R}$ ;

B. $\vec{M R}$ ;

C. $\vec{M P}$ ;

D. $\vec{M N}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Xét tổng $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R}$

$= \vec{M N} + (\vec{P Q} + \vec{Q R}) + (\vec{R N} + \vec{N P})$

$= \vec{M N} + \vec{P R} + \vec{R P}$

$= \vec{M N} + (\vec{P R} + \vec{R P})$

$= \vec{M N} + \vec{P P}$
$= \vec{M N} + \vec{0}$

$= \vec{M N}$ .

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để $\vec{D M} = \vec{C B} + \vec{C D}$ .

A. M là một điểm bất kì;

B. M là điểm thỏa mãn ACMD là hình bình hành;

C. M là điểm thỏa mãn ACDM là hình bình hành;

D. Không tồn tại điểm M.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Ta có $\vec{C B} + \vec{C D} = \vec{C A}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{D M} = \vec{C A}$

Khi đó hai vectơ $\vec{D M}$ và $\vec{C A}$ cùng hướng hay DM // CA, M nằm ở nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ DC và DM = CA. Suy ra ACDM là hình bình hành.

Vậy điểm M là điểm thỏa mãn ACDM là hình bình hành.

Câu 5. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Ba điểm M, N, P thỏa mãn:

+) $\vec{M A} + \vec{M D} + \vec{M B} = \vec{0}$ ;

+) $\vec{N D} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ;

+) $\vec{P M} + \vec{P N} = \vec{0}$ .

Nhận xét nào sau đây đúng về M, N, P.

A. M là trung điểm của đoạn thẳng NP;

B. N là trung điểm của đoạn thẳng MP;

C. P là trung điểm của đoạn thẳng MN;

D. Cả A, B, C đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

+) Hình bình hành ABCD có tâm O nên O là trung điểm của BD.

Do $\vec{M A} + \vec{M D} + \vec{M B} = \vec{0}$ nên M là trọng tâm của tam giác ADB.

Khi đó trên AO chọn M sao cho $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A O}$ .

+) Do $\vec{N D} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ nên N là trọng tâm của tam giác DBC.

Khi đó trên CO chọn N sao cho $\vec{C N} = \frac{2}{3} \vec{C O}$ .

+) Do $\vec{P M} + \vec{P N} = \vec{0}$ nên P là trung điểm của MN (1).

Ta có AM = $\frac{2}{3}$ AO = $\frac{2}{3} . \frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{3}$ AC; CN = $\frac{2}{3}$ CO = $\frac{2}{3} . \frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{3}$ AC.

Do đó MN = $\frac{1}{3}$ AC.

MO = $\frac{1}{3}$ AO = $\frac{1}{3} . \frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{6}$ AC.

Khi đó MO = $\frac{1}{2}$ MN.

Mà O nằm giữa M và N nên O là trung điểm của MN (2).

Từ (1) và (2) suy ra P trùng O.

Vậy P là trung điểm của MN.

Câu 6. Quy tắc ba điểm được phát biểu:

A. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{B C}$ ;

B. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\vec{A B} + \vec{C B} = \vec{A C}$ ;

C. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\vec{A B} + \vec{C A} = \vec{B C}$ ;

D. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Quy tắc ba điểm được phát biểu như sau: Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Câu 7. Cho tam giác ABC có I là trung điểm cạnh AB và G là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây sai:

A. $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{A B}$ ;

B. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ;

C. $\vec{I A} = - \vec{I B}$ ;

D. $\vec{B A} + \vec{A C} = \vec{B C}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Xét tam giác ABC, có:

$\vec{B A} + \vec{A C} = \vec{B C}$ (quy tắc ba điểm). Do đó D đúng.

Vì G là trọng tâm tam giác nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ . Do đó B đúng.

Ta có I là trung điểm của AB nên $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ hay $\vec{I A} = - \vec{I B}$ . Do đó A sai và C đúng.

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH và BC = 10cm. Tính độ dài vectơ $\vec{A B} + \vec{A C}$ .

A. 5cm;

B. 10dm;

C. 10cm;

D. 15cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Xét tam giác ABC vuông cân tại A có AH là đường cao nên AH là đường trung tuyến suy ra H là trung điểm của BC.

Gọi D là điểm đối xứng với A qua H.

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Xét tứ giác ABDC có AD cắt BC tại H là trung điểm của mỗi đường. Do đó ABDC là hình bình hành.

⇒ $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ (quy tắc hình bình hành)

⇒ $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A D}|$

Ta lại có hình bình hành ABDC có $\hat{B A C} = 90^{0}$ nên ABDC là hình chữ nhật do đó AD = BC =10 cm.

⇒ $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A D}| = A D = B C = 10 c m$ .

Vậy độ dài $\vec{A B} + \vec{A C}$ là 10 cm.

Câu 9. Vectơ đối của vectơ - không là:

A. Mọi vectơ khác vectơ - không;

B. Không có vectơ nào ;

C. Chính nó;

D. Mọi vectơ kể cả vectơ – không.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Vectơ $\vec{0}$ được coi là vectơ đối của chính nó.

Câu 10. Cho hình bình hành ABCD có một điểm O bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O C} - \vec{O D}$ ;

B. $\vec{O B} - \vec{O A} = \vec{O C} - \vec{O D}$ ;

C. $\vec{O A} - \vec{O D} = \vec{O C} - \vec{O B}$ ;

D. $\vec{O A} - \vec{O C} = \vec{O D} - \vec{O B}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$ và $\vec{O C} - \vec{O D} = \vec{D C}$ :

$\vec{O B} - \vec{O A} = \vec{A B}$ và $\vec{O C} - \vec{O D} = \vec{D C}$ ;

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD khi đó $\vec{A B} = \vec{D C}$ . Suy ra $\vec{O A} - \vec{O B} \neq \vec{O C} - \vec{O D}$ và $\vec{O B} - \vec{O A} = \vec{O C} - \vec{O D}$ . Do đó B đúng, A sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\vec{O A} - \vec{O D} = \vec{D A}$ và $\vec{O C} - \vec{O B} = \vec{B C}$ :

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = CB và AD // CB khi đó $\vec{D A} = \vec{C B}$ . Suy ra $\vec{O A} - \vec{O D} \neq \vec{O C} - \vec{O B}$ . Do đó C sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\vec{O A} - \vec{O C} = \vec{C A}$ và $\vec{O D} - \vec{O B} = \vec{B D}$ :

Vì hai vectơ $\vec{C A}$ và $\vec{B D}$ không cùng phương nên không bằng nhau. Suy ra $\vec{O A} - \vec{O C} \neq \vec{O D} - \vec{O B}$ . Do đó D sai.

Câu 11. Hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ cùng tác động lên một vật, cho $|\vec{F_{1}}| = 7 N, |\vec{F_{2}}| = 3 N$ . Tính độ lớn của hợp lực $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ (biết góc giữa $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ bằng 45°).

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

A. 10N;

B. 4N;

C. 5,32N;

D. 9,36N.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có hình vẽ sau:

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Trong đó ABCD là hình bình hành, $\vec{A B} = \vec{F_{1}}, \vec{A D} = \vec{F_{2}}$

Khi đó $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}| = |\vec{A C}|$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\hat{A B C} + \hat{B A D} = 180 ° \Rightarrow \hat{A B C} = 180 ° - \hat{B A D} = 180 ° - 45 ° = 135 °$
Xét tam giác ABC:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cos $\hat{A B C}$

⇔ AC² = 7² + 3² – 2.7.3.cos135°

⇔ AC² = $58 + 21 \sqrt{2}$

⇔ AC ≈ 9,36

$\Rightarrow |\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}| = |\vec{A C}| = A C \approx 9, 36 N$ .

Câu 12. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm. Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đẳng thức đúng?

1. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O E} = \vec{0}$ ;

II. $\vec{B C} + \vec{F E} = \vec{A D}$ ;

III. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O E} = \vec{E B}$ ;

IV. $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{F E} = \vec{0}$ .

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Đáp án đúng là A

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

+) Ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O E} = \vec{O A} + (\vec{O B} + \vec{O E}) = \vec{O A} + \vec{0} = \vec{O A}$ . Do đó A sai.

+) Ta có $\vec{B C} + \vec{F E} = \vec{A O} + \vec{O D} = \vec{A D}$ . Do đó B đúng.

+) Ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O E} = \vec{O A} + (\vec{O B} + \vec{O E}) = \vec{O A} + \vec{0} = \vec{O A} \neq \vec{E B}$ . Do đó C sai.

+) Ta có $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{F E} = \vec{A B} + \vec{B O} + \vec{F E} = \vec{A O} + \vec{F E} = \vec{A O} + \vec{A O} = 2 \vec{A O} \neq \vec{0}$ . Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Câu 13. Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực $\vec{F_{1}} = \vec{O A}, \vec{F_{2}} = \vec{O B}$ có độ lớn lần lượt là 550 N, 800 N. Cho biết góc giữa hai vectơ là 52^o.

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Độ lớn của vectơ hợp lực $\vec{F}$ là tổng của hai lực $\bar{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ nằm trong khoảng nào dưới đây?

A. (900; 1 000);

B. (1 000; 1 100);

C. (1 100; 1 200);

D. (1 200; 1 300).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Dựng hình bình hành AOBC.

Khi đó $\vec{F} = \vec{O C}$ .

Do AOBC là hình bình hành nên $\hat{A O B} + \hat{O B C} = 180 °$ và OA = BC = 550.

Do đó $\hat{O B C} = 180 ° - \hat{A O B} = 180 ° - 52 ° = 128 °$ .

Áp dụng định lí côsin vào tam giác OBC có:

OC² = OB² + BC² - 2.OB.BC.cos $\hat{O B C}$

⇒OC² = 800² + 550² - 2.800.550.cos 128^o

⇒OC² ≈ 1 484 282, 1

⇒ OC ≈ 1 218,3 N (do OC là độ dài đoạn thẳng nên OC > 0)

Suy ra $|\vec{F}|$ ≈ 1 218,3 N.

Vậy độ lớn lực $\vec{F}$ nằm trong khoảng (1 200; 1 300).

Câu 14. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. So sánh độ dài của hai vectơ sau:

$\vec{a} = (\vec{A C} + \vec{B D}) + \vec{C B}$ ;

$\vec{b} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{D A}$ .

A. $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ;

B. $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ;

C. $|\vec{a}| = \sqrt{2} |\vec{b}|$ ;

D. $|\vec{a}| = \frac{1}{\sqrt{2}} |\vec{b}|$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có: $(\vec{A C} + \vec{B D}) + \vec{C B} = \vec{A C} + \vec{B D} + \vec{C B}$

$= (\vec{A C} + \vec{C B}) + \vec{B D}$

$= \vec{A B} + \vec{B D}$

$= \vec{A D}$

Do đó $|\vec{a}| = |\vec{A D}|$ = 1.

Ta lại có: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{D A} = (\vec{A B} + \vec{B C}) + (\vec{A D} + \vec{D A}) = \vec{A C} + \vec{A A} = \vec{A C}$ .

Do đó $|\vec{b}| = |\vec{A C}|$ .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC có:

AC² = AD² + DC²

⇒ AC² = 1² + 1²

⇒ AC² = 2

⇒ AC = $\sqrt{2}$ (do AC là độ dài đoạn thẳng)

Suy ra $|\vec{b}| = |\vec{A C}| = \sqrt{2}$ .

Vậy $|\vec{b}| = \sqrt{2} |\vec{a}|$ .

Câu 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}$ ; $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ; $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ . Tính độ dài các vectơ $\vec{G H}$ .