20 câu Trắc nghiệm Tích của một số với một vectơ (Chân trời sáng tạo 2024) có đáp án

20 câu Trắc nghiệm Tích của một số với một vectơ (Chân trời sáng tạo 2024) có đáp án – Toán lớp 10

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 11-01-2024 Lớp 10

2.3 K

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Trắc nghiệm Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ sách Chân trời sáng tạo. Bài viết gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài trắc nghiệm Toán 10.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Câu 1.Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm AB. Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$ .

A. M là trung điểm BC;

B. M là trung điểm IC;

C. M là trung điểm IA;

D. M là điểm trên cạnh IC sao cho IM = 2MC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} \Leftrightarrow 2 \vec{M I} + 2 \vec{M C} = \vec{0} \Leftrightarrow 2 (\vec{M I} + \vec{M C}) = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M I} + \vec{M C} = \vec{0}$ .

Do đó ta suy ra M là trung điểm IC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 2. Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa mãn $4 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A C}$ . Xác định vị trí điểm M.

A. M là trung điểm AC;

B. Điểm M trùng với điểm C;

C. M là trung điểm AB;

D. M là trung điểm AD.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Ta có $4 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A C}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{A M} = 2 \vec{A C}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A C}$

Suy ra M là trung điểm AC.

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 3. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính độ dài $\vec{A B} + \vec{A C}$ .

A. $(\vec{A B} + \vec{A C}) = a \sqrt{3}$ ;

B. $(\vec{A B} + \vec{A C}) = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ ;

C. $(\vec{A B} + \vec{A C}) = 2 a$ ;

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Gọi H là trung điểm BC. Ta suy ra BH = $\frac{B C}{2} = \frac{a}{2}$ .

Vì H là trung điểm BC nên ta có $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A H}$ .

Do đó $(\vec{A B} + \vec{A C}) = (2 \vec{A H}) = 2 A H$ .

Tam giác ABC đều có AH là đường trung tuyến.

Suy ra AH cũng là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABH vuông tại H: $A H^{2} = A B^{2} - B H^{2}$ (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow A H^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3 a^{2}}{4}$

$\Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra $(\vec{A B} + \vec{A C}) = 2 A H = 2. \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 4. Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn $(\vec{O A} + \vec{O B} - 2 \vec{O C}) = (\vec{O A} - \vec{O B})$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác ABC đều;

B. Tam giác ABC cân tại C;

C. Tam giác ABC vuông tại C;

D. Tam giác ABC cân tại B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Gọi I là trung điểm AB. Ta suy ra $\vec{C A} + \vec{C B} = 2 \vec{C I}$ .

Ta có $(\vec{O A} + \vec{O B} - 2 \vec{O C}) = (\vec{O A} - \vec{O B})$

$\Leftrightarrow (\vec{O A} - \vec{O C} + \vec{O B} - \vec{O C}) = (\vec{B A})$

$\Leftrightarrow (\vec{C A} + \vec{C B}) = B A$

$\Leftrightarrow (2 \vec{C I}) = A B$

⇔ 2.CI = AB

$\Leftrightarrow C I = \frac{1}{2} A B$

Do đó tam giác ABC vuông tại C (đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền).

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 5. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Cho $\vec{v} = \vec{M A} + \vec{M B} - 2 \vec{M C}$ . Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho $\vec{C D} = \vec{v}$ .

A. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD;

B. D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD;

C. D là trọng tâm của tam giác ABC;

D. D là trực tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{v} = \vec{M A} + \vec{M B} - 2 \vec{M C} = \vec{M A} - \vec{M C} + \vec{M B} - \vec{M C} = \vec{C A} + \vec{C B} = 2 \vec{C I}$ (với I là trung điểm AB).

Do đó $\vec{v}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Khi đó $\vec{C D} = \vec{v} = 2 \vec{C I}$ .

Suy ra I là trung điểm CD.

Vậy D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Tính độ dài $\vec{C B} + \vec{A B}$ .

A. $\sqrt{13}$ ;

B. $2 \sqrt{13}$ ;

C. $2 \sqrt{3}$ ;

D. $\sqrt{3}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Gọi M là trung điểm AC, ta suy ra $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{0}$ .

$\Leftrightarrow - \vec{A M} - \vec{C M} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow - (\vec{A M} + \vec{C M}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} + \vec{C M} = \vec{0}$

Ta có $\vec{C B} + \vec{A B} = \vec{C M} + \vec{M B} + \vec{A M} + \vec{M B} = (\vec{A M} + \vec{C M}) + 2 \vec{M B} = \vec{0} + 2 \vec{M B} = 2 \vec{M B}$ .

Vì M là trung điểm AC nên AM = $\frac{A C}{2}$ = 2.

Tam giác ABM vuông tại A: BM² = AB² + AM² (Định lý Pytago)

⇔ BM² = 3² + 2² = 13

$\Rightarrow B M = \sqrt{13}$

Ta suy ra $(\vec{C B} + \vec{A B}) = (2 \vec{M B}) = 2. M B = 2 \sqrt{13}$ .

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 7. Cho $\vec{a} \neq \vec{0}$ và điểm O. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn $\vec{O M} = 3 \vec{a}$ và $\vec{O N} = - 4 \vec{a}$ . Tìm $\vec{M N}$ .

A. $\vec{M N} = 7 \vec{a}$ ;

B. $\vec{M N} = - 5 \vec{a}$ ;

C. $\vec{M N} = - 7 \vec{a}$ ;

D. $\vec{M N} = - 5 \vec{a}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Câu 8. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\vec{A G} = \frac{1}{2} \vec{A E} + \frac{1}{2} \vec{AF}$ ;

B. $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A E} + \frac{1}{3} \vec{AF}$ ;

C. $\vec{A G} = \frac{3}{2} \vec{A E} + \frac{3}{2} \vec{AF}$ ;

D. $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A E} + \frac{2}{3} \vec{AF}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A D}$ .

Tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, suy ra $2 \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{A C}$ .

Ta có E, F lần lượt là trung điểm AC, AB.

Suy ra $\vec{A C} = 2 \vec{A E}$ và $\vec{A B} = 2 \vec{A F}$ .

Khi đó ta có $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A D} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C}) = \frac{1}{3} (2 \vec{A F} + 2 \vec{A E}) = \frac{2}{3} \vec{A E} + \frac{2}{3} \vec{A F}$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 9. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu $\vec{A B} = - 3 \vec{A C}$ thì đẳng thức nào dưới đây đúng?

A. $\vec{B C} = - 4 \vec{A C}$ ;

B. $\vec{B C} = - 2 \vec{A C}$ ;

C. $\vec{B C} = 2 \vec{A C}$ ;

D. $\vec{B C} = 4 \vec{A C}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Từ đẳng thức $\vec{A B} = - 3 \vec{A C}$ , ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Vì k = – 3 < 0 nên $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ ngược hướng. Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

Ta có $\vec{A B} = - 3 \vec{A C}$ , suy ra $(\vec{A B}) = (- 3 \vec{A C})$ , do đó AB = 3AC.

Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC.

Mà $\vec{B C}, \vec{A C}$ cùng hướng.

Do đó ta suy ra $\vec{B C} = 4 \vec{A C}$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 10. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ ;

B. $\vec{O A} = \frac{1}{2} (\vec{B A} + \vec{C B})$

C. $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C} + \vec{O D}$ ;

D. $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{D A}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ ⇒ A đúng.

Đáp án B: Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm AC.

Ta suy ra $O A = \frac{1}{2} C A$ .

Mà $\vec{O A}, \vec{C A}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{O A} = \frac{1}{2} \vec{C A} = \frac{1}{2} (\vec{C B} + \vec{B A})$ ⇒ B đúng.

Đáp án C: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Ta có $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O I}$ và $\vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O J}$ .

Mà $\vec{O I}, \vec{O J}$ là hai vectơ đối nhau.

Do đó $2 \vec{O I} \neq 2 \vec{O J}$ .

Suy ra $\vec{O A} + \vec{O B} \neq \vec{O C} + \vec{O D}$ ⇒ C sai.

Đáp án D: Ta có OI là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra $\vec{O I} = \frac{1}{2} \vec{D A}$ .

Ta có $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O I} = 2. \frac{1}{2} \vec{D A} = \vec{D A}$ ⇒ D đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 11.Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AM. Đường thẳng BN cắt AC tại P. Khi đó $\vec{A C} = x \vec{C P}$ thì giá trị của x là:

A. $- \frac{4}{3}$ ;

B. $- \frac{2}{3}$ ;

C. $- \frac{3}{2}$ ;

D. $- \frac{5}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Kẻ MK // BP (K ∈ AC). Do M là trung điểm BC nên ta suy ra K là trung điểm CP (1).

Vì MK // NP, mà N là trung điểm AM nên ta suy ra P là trung điểm AK (2).

Từ (1), (2) ta suy ra AP = PK = KC.

Do đó AP = $\frac{1}{2}$ CP.

Ta có AC = AP + CP.

Suy ra AC = $\frac{3}{2}$ CP.

Vì $\vec{A C}, \vec{C P}$ ngược hướng với nhau.

Nên $\vec{A C} = - \frac{3}{2} \vec{C P}$ .

Do đó x = $- \frac{3}{2}$ .

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 12. Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = a. Độ dài của $\vec{u} = \frac{21}{4} \vec{O A} - \frac{5}{2} \vec{O B}$ là:

A. $\frac{a \sqrt{140}}{4}$ ;

B. $\frac{a \sqrt{321}}{4}$ ;

C. $\frac{a \sqrt{520}}{4}$ ;

D. $\frac{a \sqrt{541}}{4}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Dựng điểm M, N sao cho $\vec{O M} = \frac{21}{4} \vec{O A}$ và $\vec{O N} = \frac{5}{2} \vec{O B}$ . Khi đó ta có:

$(\vec{u}) = (\frac{21}{4} \vec{O A} - \frac{5}{2} \vec{O B}) = (\vec{O M} - \vec{O N}) = (\vec{N M}) = M N$ .

Từ dữ kiện $\vec{O M} = \frac{21}{4} \vec{O A}$ .

Ta suy ra $\vec{O M}$ cùng phương với $\vec{O A}$ .

Vì $\vec{O M}, \vec{O A}$ có cùng điểm đầu là O.

Nên giá của $\vec{O M}, \vec{O A}$ trùng nhau.

Do đó ta có OM ≡ OA.

Tương tự ta có ON ≡ OB.

Mà OA ⊥ OB (tam giác OAB vuông cân tại O).

Do đó OM ⊥ ON.

Ta có $\vec{O M} = \frac{21}{4} \vec{O A} \Leftrightarrow (\vec{O M}) = (\frac{21}{4} \vec{O A}) \Leftrightarrow O M = \frac{21}{4} O A = \frac{21 a}{4}$ .

Tương tự, ta có $\vec{O N} = \frac{5}{2} \vec{O B} \Leftrightarrow (\vec{O N}) = (\frac{5}{2} \vec{O B}) \Leftrightarrow O N = \frac{5}{2} O B = \frac{5 a}{2}$ .

Tam giác OMN vuông tại O: MN² = OM² + ON² (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow M N^{2} = \frac{441 a^{2}}{16} + \frac{25 a^{2}}{4} = \frac{541 a^{2}}{16}$

$\Rightarrow M N = \frac{a \sqrt{541}}{4}$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 13. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biểu diễn $\vec{A G}$ theo hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

A. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ;

B. $\vec{A G} = \frac{1}{6} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ;

C. $\vec{A G} = \frac{1}{6} (\vec{A B} - \vec{A C})$ ;

D. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} - \vec{A C})$ .

Hướng dẫn giải

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Gọi I là trung điểm BC. Ta suy ra $2 \vec{A I} = \vec{A B} + \vec{A C}$ .

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên $A G = \frac{2}{3} A I$ .

Mà $\vec{A G}, \vec{A I}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A I}$ .

Suy ra $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 14. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó $\vec{A C} + \vec{B D}$ bằng

A. $\vec{M N}$ ;

B. $2 \vec{M N}$ ;

C. $3 \vec{M N}$ ;

D. $- 2 \vec{M N}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Vì M là trung điểm AB nên $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow - (\vec{A M} + \vec{B M}) = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{A M} + \vec{B M} = \vec{0}$ .