Giải Toán 10 trang 77 Tập 1 Cánh diều

ndiep Ngày: 31-01-2023 Lớp 10

222

Với Giải Toán lớp 10 trang 77 Tập 1 Cánh diều tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 trang 77 Tập 1 Cánh diều

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $B C = 12, C A = 15, \hat{C} = 120^{o} .$ Tính:

a) Độ dài cạnh AB.

b) Số đo các góc A, B.

c) Diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC (tại đỉnh C).

b) Bước 1: Tính sin A, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A B}{\sin C}$ .

Bước 2: Tính góc A, từ đó suy ra góc B.

c) Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức $S = \frac{1}{2} a b . \sin C$

Lời giải:

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2. A C . B C . \cos C$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow A B^{2} = 15^{2} + 12^{2} - 2.15.12. \cos 120^{o} \\ \Leftrightarrow A B^{2} = 549 \\ \Leftrightarrow A B \approx 23, 43 \end{array}$

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A B}{\sin C}$

$\Rightarrow \sin A = \frac{B C}{A B} . \sin C = \frac{12}{23, 43} . \sin 120^{o} \approx 0, 44$

$\Rightarrow \hat{A} \approx 26^{o}$ hoặc $\hat{A} \approx 154^{o}$ (Loại)

Khi đó: $\hat{B} = 180^{o} - (26^{o} + 120^{o}) = 34^{o}$

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} C A . C B . \sin C = \frac{1}{2} .15 .12 . \sin 120^{o} = 45 \sqrt{3}$

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $A B = 5, B C = 7, \hat{A} = 120^{o} .$ Tính độ dài cạnh AC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính sin C, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

Bước 2: Suy ra góc $\hat{C}, \hat{B}$ . Tính AC bằng cách áp dụng định lí cosin:

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . \cos B$

Lời giải:

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin C = \sin A . \frac{A B}{B C} = \sin 120^{o} . \frac{5}{7} = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 38, 2^{o}$ hoặc $\hat{C} \approx 141, 8^{o}$ (Loại)

Ta có: $\hat{A} = 120^{o}, \hat{C} = 38, 2^{o}$ $\Rightarrow \hat{B} = 180^{o} - (120^{o} + 38, 2^{o}) = 21, 8^{o}$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . \cos B \\ \Leftrightarrow A C^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2.5.7. \cos 21, 8^{o} \\ \Rightarrow A C^{2} \approx 9 \\ \Rightarrow A C = 3 \end{array}$

Vậy độ dài cạnh AC là 3.

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $A B = 100, \hat{B} = 100^{o}, \hat{C} = 45^{o} .$ Tính:

a) Độ dài các cạnh AC, BC

b) Diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Tính $\hat{A}$ .

Bước 2: Tính AC, BC bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

$\frac{A B}{\sin C} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{B C}{\sin A}$

b) Tính diện tích tam giác ABC bằng một trong 4 công thức sau:

+) $S = \frac{1}{2} . b c . \sin A = \frac{1}{2} . a c . \sin B = \frac{1}{2} . a b . \sin C$

+) $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

Lời giải:

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)

Ta có: $\hat{A} = 180^{o} - (\hat{B} + \hat{C})$ $\Rightarrow \hat{A} = 180^{o} - (100^{o} + 45^{o}) = 35^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{A B}{\sin C} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{B C}{\sin A}$

$\Rightarrow {\begin{cases} A C = \sin B . \frac{A B}{\sin C} \\ B C = \sin A . \frac{A B}{\sin C} \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} A C = \sin 100^{o} . \frac{100}{\sin 45^{o}} \approx 139, 3 \\ B C = \sin 35^{o} . \frac{100}{\sin 45^{o}} \approx 81, 1 \end{cases}$

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} . B C . A C . \sin C = \frac{1}{2} .81, 1.139, 3. \sin 45^{o} \approx 3994, 2.$

Bài 4 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $A B = 12, A C = 15, B C = 20.$ Tính:

a) Số đo các góc A, B, C.

b) Diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, suy công thức tính $\cos A, \cos B$ theo a, b, c.

Bước 2: Tìm góc A, B. Từ đó suy ra góc C.

b) Tính diện tích tam giác ABC bằng một trong 4 công thức sau:

+) $S = \frac{1}{2} . b c . \sin A = \frac{1}{2} . a c . \sin B = \frac{1}{2} . a b . \sin C$

+) $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}; \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$

Thay $a = B C = 20; b = A C = 15; c = A B = 12.$

$\Rightarrow \cos A = - \frac{31}{360}; \cos B = \frac{319}{480}$

$\Rightarrow \hat{A} = 94, 9^{o}; \hat{B} = 48, 3^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} = 180^{o} - (94, 9^{o} + 48, 3^{o}) = 36, 8^{o}$

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} . b c . \sin A = \frac{1}{2} .15 .12 . \sin 94, 9^{o} \approx 89, 7.$

Bài 5 trang 77 Toán lớp 10: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Bài 5 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc B: Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC.

Bước 2: Tính góc C. Áp dụng định lí sin hoặc định lí cosin để tìm AB

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B = \frac{A C . \sin A}{B C} = \frac{5, 2. \sin 40^{o}}{3, 6} \approx 0, 93$

$\Rightarrow \hat{B} \approx 68, 2^{o}$ hoặc $\hat{B} \approx 111, 8^{o}$

Trường hợp 1: $\hat{B} \approx 68, 2^{o}$

Ta có: $\hat{C} = 180^{o} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{o} - (40^{o} + 68, 2^{o}) = 71, 8^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A B}{\sin C}$

$\Rightarrow A B = \sin C . \frac{B C}{\sin A} = \sin 71, 8^{o} . \frac{3, 6}{\sin 40^{o}} \approx 5, 32$

Trường hợp 2: $\hat{B} \approx 111, 8^{o}$

Ta có: $\hat{C} = 180^{o} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{o} - (40^{o} + 111, 8^{o}) = 28, 2^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A B}{\sin C}$

$\Rightarrow A B = \sin C . \frac{B C}{\sin A} = \sin 28, 2^{o} . \frac{3, 6}{\sin 40^{o}} \approx 2, 65$

Vậy AB = 5,32 hoặc AB = 2,65.

Bài 6 trang 77 Toán lớp 10: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà ta không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và $\hat{A C B} = 105^{o}$ (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười đơn vị mét).

Bài 6 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Đổi độ dài AC, CB về cùng đơn vị mét.

Bước 2: Tính AB: Áp dụng định lí cosin trong tam giác BAC: $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2. A C . B C . \cos C$

Lời giải:

Đổi: 1 km = 1000 m. Do đó AC = 1000 m.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2. A C . B C . \cos C$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B^{2} = 1000^{2} + 800^{2} - 2.1000.800. \cos 105^{o} \\ \Rightarrow A B^{2} \approx 2054110, 5 \\ \Rightarrow A B \approx 1433, 2 \end{array}$

Vậy khoảng cách AB là 1433,2 m.

Bài 7 trang 77 Toán lớp 10: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là $45^{o}$ và $75^{o}$ . Biết khoảng cách giữa hai vị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài 7 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)