Phương pháp giải:

+) Vẽ hình: dùng thước thẳng và compa để vẽ hình

+) Chứng minh: Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành và hình vuông

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. 

Dấu hiệu nhận biết hình vuông: Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

Lời giải:

Cách vẽ: 

- Vẽ đường tròn $(O;1,5cm)$

- Vẽ 2 đường kính $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau.

- Nối $AB,BC,CD,DA$ ta có tứ giác $ABCD$ là hình vuông có $4$ đỉnh nằm trên cung tròn $(O;1,5cm)$.

Chứng minh:

Theo cách vẽ ta có: $OA=OC=R,OB=OD=R$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành

Lại có: $AC=BD=2R$ nên hình bình hành $ABCD$ là hình chữ nhật.

Mặt khác: $BD\mathrm{\perp }AC$ nên hình chữ nhật $ABCD$ là hình vuông.

Vậy tứ giác $ABCD$ là hình vuông.

Ta sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng chắn một cung.

Lời giải:

Xét đường tròn $(O)$ có $SM\mathrm{\perp }OM$ (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }OMS$ vuông tại $M$

Nên $\widehat{MSO}+\widehat{MOS}={90}^o$

Lại có: $AB\mathrm{\perp }CD$ $(gt)$

$\Rightarrow \widehat{MOS}+\widehat{MOA}={90}^o$

Suy ra: $\widehat{MSO}=\widehat{MOA}$ hay $\widehat{MSD}=\widehat{MOA}$ $(1)$

Mà $\widehat{MOA}=2\widehat{MBA}$  (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{AM}$)  $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\widehat{MSD}=2\widehat{MBA}$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Lời giải:

Vì $AB=AC(gt)$

Nên $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{AC}$ (hai dây bằng nhau căng $2$ cung bằng nhau)

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{AEB}$ ($2$ góc nội tiếp chắn $2$ cung bằng nhau)

Xét $∆ABD$ và $∆ABE:$

+) $\hat{A}$ chung

+) $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AEB}$ (chứng minh trên)

Suy ra: $∆ABD$ đồng dạng $∆AEB$ (g-g)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}}$$\Rightarrow \mathrm{A}{\mathrm{B}}^2=AD.AE$.

Phương pháp giải:

sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lời giải:

* Trường hợp $M$ ở bên trong đường tròn $(O)$

Kẻ cát tuyến $MAB$ bất kì của $(O)$ và đường thẳng $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D.$

Xét hai $∆MAC$ và $∆MDB:$

+) $\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ (đối đỉnh)

+) $\hat{A}=\hat{D}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{BC}$)

Suy ra: $∆MAC$ đồng dạng $∆MDB$ $(g.g)$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB}}$

$\Rightarrow MA.MB=MC.MD$            $(1)$

Vì $M,O$ cố định suy ra điểm $C$ và $D$ cố định nên độ dài của các đoạn $MC$ và $MD$ không đổi, suy ra tích $MC.MD$ không đổi   $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra tích $MA.MB$ không đổi khi cát tuyến $MAB$ thay đổi.

* Trường hợp điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O)$

Kẻ cát tuyến $MAB$ bất kỳ của $(O)$ và đường thẳng $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D$

Xét $∆MAD$ và $∆MCB:$

+) $\hat{M}$ chung

+) $\hat{B}=\hat{D}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{AC}$)

Suy ra: $∆MAD$ đồng dạng $∆MCB(g.g)$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{MC}{MA}=\frac{MB}{MD}}$

$\Rightarrow MA.MB=MC.MD$   $(3)$

Vì $M$ và $O$ cố định suy ra điểm $C,D$ cố định nên độ dài của các đoạn $MC$ và $MD$ không đổi, suy ra tích $MC.MD$ không đổi   $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra tích $MA.MB$ không đổi khi cát tuyến $MAB$ thay đổi.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: 

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lời giải:

Ta xem hai đoạn đường ray thẳng là tiếp tuyến của hai đoạn đường ray vòng cung.

Điểm $B$ cố định nằm trong đường tròn có cung $\stackrel{⏜}{AC}$.

Đường thẳng $OB$ cắt đường tròn đó tại $A$ và $A^{\prime }.$

$A$ cố định và $A^{\prime }$ cố định

$B$ là tiếp điểm cung nhỏ trong nên $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O;OB)$

$\Rightarrow BC\mathrm{\perp }OB$. Kéo dài $BC$ cắt đường tròn $(O;OA)$ tại $C^{\prime }$

$\Rightarrow BC=B{C}^{\prime }$ (đường kính vuông góc dây cung)

Xét $∆BAC$ và $∆B{A}^{\prime }C:$

+) $\widehat{ABC}=\widehat{C^{\prime }B{A}^{\prime }}$ (đối đỉnh)

+) $\widehat{ACB}=\widehat{C^{\prime }{A}^{\prime }B}$ ($2$ góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{A{C}^{\prime }}$)

Suy ra: $∆BAC$ đồng dạng $∆B{C}^{\prime }{A}^{\prime }(g.g)$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{B{C}^{\prime }}{AB}=\frac{B{A}^{\prime }}{BC}}$

$\Rightarrow BC.B{C}^{\prime }=AB.B{A}^{\prime }$ mà $BC=B{C}^{\prime };B{A}^{\prime }=2R–AB$

Suy ra: $B{C}^2=AB\left(2R-AB\right)$

${\left(28,4\right)}^2\approx 1,1.\left(2R-1,1\right)$

$\Rightarrow 2,2R\approx 806,56+1,21$

$R\approx 807,77:2,2=367,2$ $(m).$

$a)$ Hỏi tam giác MBD là tam giác gì$?$

$b)$ So sánh hai tam giác $BDA$ và $BMC.$

$c)$ Chứng minh rằng $MA=MB+MC.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lời giải:

$a)$ $MB=MD(gt)$ $\Rightarrow$ $∆MBD$ cân tại $M$

$\widehat{AMB}=\widehat{ACB}$ ($2$ góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{AB}$)

Mà $\widehat{ACB}={60}^0$  (vì $∆ABC$ đều)

$\Rightarrow \widehat{AMB}={60}^0$ hay $\widehat{DMB}={60}^0$

Vậy $∆MBD$ đều

$b)$ $∆MBD$ đều

$\Rightarrow \widehat{DBC}+\widehat{CBM}=\widehat{DBM}={60}^0$           $(1)$

$∆ABC$ đều $\Rightarrow \widehat{ABD}+\widehat{DBC}=\widehat{ABC}={60}^0$     $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\widehat{CBM}=\widehat{ABD}$

Xét $∆BDA$ và $∆BMC:$

$BA=BC(gt)$

$\widehat{ABD}=\widehat{CBM}$ (chứng minh trên)

$BD=BM$ (vì $∆MBD$ đều)

Suy ra: $∆BDA=∆BMC(c.g.c)$

$c)$ $∆BDA=∆BMC$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow DA=MC$

Ta có: $MB=MD(gt)$  mà $AM=AD+DM$

Suy ra: $MA=MB+MC(đpcm)$

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

Xét đường tròn $(O)$ có:

$\hat{A}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BC}}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{BC}$ $=2\hat{A}={2.32}^o={64}^o$

Ta có: $BC=BE(gt)$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{BC}$$=sđ\stackrel{⏜}{BE}={64}^o$

Mà $\hat{B}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AC}}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow$ sđ $\stackrel{⏜}{AC}$ $=2\hat{B}={2.84}^o={168}^o$

Lại có: $AC=CF(gt)$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{CF}$ $=sđ\stackrel{⏜}{AC}={168}^o$

$sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{AF}+sđ\stackrel{⏜}{CF}$$={360}^o$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AF}$ $={360}^o-sđ\stackrel{⏜}{AC}-sđ\stackrel{⏜}{CF}$$={360}^o–{168}^o.2={24}^o$

Trong $∆ABC$ ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{ACB}={180}^0-\left(\hat{A}+\hat{B}\right)$

$={180}^0-\left({32}^o+{84}^o\right)={64}^o$

Mà $\widehat{ACB}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AB}}$ (tính chất góc nội tiếp) 

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AB}=2\widehat{ACB}={2.64}^o={128}^o$

Lại có $AD=AB(gt)$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AD}=sđ\stackrel{⏜}{AB}={128}^o$

Ta có: $\widehat{FED}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{DF}}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{AD}+sđ\stackrel{⏜}{AF}}$)

$={\displaystyle \frac{1}{2}.\left({128}^o+{24}^o\right)={76}^o}$

$\widehat{EDF}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{EF}}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{AB}-sđ\stackrel{⏜}{AF}-sđ\stackrel{⏜}{BE})}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}.\left({128}^o-{24}^o-{64}^o\right)={20}^o}$

$\widehat{DFE}={180}^o-\left(\widehat{FED}+\widehat{EDF}\right)$

$={180}^0-\left({76}^o+{20}^o\right)={84}^o$

Ta sử dụng kiến thức:

+) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Lời giải:

Cách vẽ: 

- Vẽ đoạn $BC=4cm.$

- Vẽ nửa đường tròn đường kính $BC$

- Vẽ đường thẳng $xy$ nằm trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn và $xy//BC,$ cách $BC$ một khoảng bằng $1,5cm.$

- Đường thẳng $xy$ cắt nửa đường tròn đường kính $BC$ tại $A$ và $A^{\prime }.$ Nối $AB,AC,A^{\prime }B,A^{\prime }C$ ta có $∆ABC$ hoặc $∆A^{\prime }BC$ cần vẽ.

Chứng minh:

Vì $xy$ cách $BC$ một khoảng $1,5m<{\displaystyle \frac{BC}{2}=2cm}$ nên đường thẳng $xy$ cắt nửa đường tròn đường kính $BC.$

Ta lại có $∆ABC$ nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính $BC$ nên $\widehat{BAC}={90}^o$

Có $AH\mathrm{\perp }BC$ và $AH=1,5cm.$

Vậy tam giác $ABC$ hoặc tam giác $A^{\prime }BC$ thỏa mãn đề bài.

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác cân, hai góc kề cạnh đáy bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+) Tứ giác có các cặp góc song song là hình bình hành.

+) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Lời giải:

Vì $∆ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân)

Lại có:

$BF$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ $(gt)$

$CD$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ $(gt)$

Suy ra: $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$

Suy ra: $\stackrel{⏜}{AD}$$=\stackrel{⏜}{DB}$$=\stackrel{⏜}{AF}$$=\stackrel{⏜}{FC}$

Từ đó, đường tròn $(O)$ có: $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}$ (hai góc nội tiếp chắn $2$ cung bằng nhau $BD$ và $AF$)

$\Rightarrow AD//BF$ (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Hay $AD//EF(1)$

Tương tự: $\widehat{A_2}=\widehat{C_1}$ (hai góc nội tiếp chắn $2$ cung bằng nhau)

$\Rightarrow AF//CD$ (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Hay $AF//ED(2)$

Mà $\stackrel{⏜}{AD}=\stackrel{⏜}{AF}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow AD=AF$      $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: Tứ giác $ADEF$ là hình thoi

Bài tập bổ sung (trang 103 SBT Toán 9)

$(A)$ Góc nội tiếp là góc tạo bởi hai dây của đường tròn đó.

$(B)$  Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

$(C)$  Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp không cùng chắn một cung thì không bằng nhau.

$(D)$ Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng số đo cung bị chắn.

$(E)$  Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

+) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng chắn một cung.

Lời giải:

Chọn câu đúng: $(E)$ Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

Các câu (A), (B), (C), (D) đều sai.

$a)$ $\widehat{ADC}$ và $\widehat{ABC}$ có bằng nhau không$?$ Vì sao$?$

$b)$ Chứng minh $CD$ song song với $AB.$

$c)$ Chứng minh $AD$ vuông góc với $OC$

$d)$ Tính số đo của $\widehat{DAO}$.

$e)$ So sánh hai cung $BE$ và $CD.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

+) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

+) Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc.

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

$a)$ Trong đường tròn $(O)$ ta có:

$\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$  ($2$ góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{AC}$)

$b)$ $∆ACB$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ có $AB$ là đường kính nên $∆ABC$ vuông tại $C$

$\Rightarrow CO=OA={\displaystyle \frac{1}{2}AB}$ (tính chất tam giác vuông)

Mà $AC=AO$  (bán kính đường tròn $(A)$)

Suy ra: $AC=AO=OC$

$\Rightarrow$$∆ACO$ đều $\Rightarrow \widehat{AOC}={60}^o$

Ta có: $∆ADB$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $AB$ nên $∆ADB$ vuông tại $D$

$\Rightarrow DO=OB=OA={\displaystyle \frac{1}{2}AB}$ (tính chất tam giác vuông)

$BD=BO$ (bán kính đường tròn $(B)$)

Suy ra: $BO=OD=BD$

$\Rightarrow$ $∆BOD$ đều

$\Rightarrow \widehat{ODB}=\widehat{BOD}={60}^o$

Mà $\widehat{AOC}+\widehat{COD}+\widehat{BOD}={180}^o$

Suy ra: $\widehat{COD}={60}^o$

Kết hợp với: $OC=OD$  (vì cùng bằng ${\displaystyle \frac{1}{2}AB}$)

Suy ra: $∆COD$ đều

$\Rightarrow \widehat{ODC}={60}^o\Rightarrow \widehat{ODC}=\widehat{BOD}$

$\Rightarrow$ $CD//AB$ (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

$c)$ Ta có: $∆AOC$ đều (chứng minh trên) $\Rightarrow OA=AC=OC$

$∆OCD$ đều (chứng minh trên)  $\Rightarrow OC=OD=CD$

Suy ra: $AC=AO=OD=DC$

Vậy: tứ giác $AODC$ là hình thoi. Suy ra $AD\mathrm{\perp }OC.$

$d)$ $∆BOD$ đều (chứng minh trên) $\Rightarrow \widehat{OBD}={60}^o$ hay $\widehat{ABD}={60}^o$

Vì $∆ADB$ vuông tại $D$

$\Rightarrow \widehat{DAB}+\widehat{ABD}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{DAB}={90}^o-\widehat{ABD}$$={90}^o-{60}^o={30}^o$

Vậy $\widehat{DAO}={30}^o$

$e)$ $OE//AD(gt)$

$\Rightarrow \widehat{EOB}=\widehat{DAO}={30}^o$ (hai góc đồng vị)

$sđ\stackrel{⏜}{BE}$ $=\widehat{EOB}={30}^0$

$sđ\stackrel{⏜}{CD}$ $=\widehat{COD}$

mà $\widehat{COD}={60}^o$ (chứng minh trên)

$sđ\stackrel{⏜}{CD}={60}^o$

Suy ra: Số đo cung $\stackrel{⏜}{CD}$ gấp đôi số đo cung $\stackrel{⏜}{BE}$.