Sử dụng lý thuyết:

Hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì là nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$.

Lời giải:

Hai số có tổng bằng $10$ và tích bằng $-10$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{rl}& x^2-10x-10=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-5\right)}^2-1.\left(-10\right)=25+10=35>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{35}\\ & x_1=\frac{5+\sqrt{35}}{1}=5+\sqrt{35}\\ & x_2=\frac{5-\sqrt{35}}{1}=5-\sqrt{35}\end{array}$

Vậy hai số đó là: $5+\sqrt{35}$ và $5-\sqrt{35}$

Phương pháp giải:

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi lượng than mà đội khai thác mỗi ngày theo kế hoạch là ${\displaystyle x}$ (tấn)

Điều kiện: ${\displaystyle x>0}$

Thời gian dự định khai thác là ${\displaystyle \frac{216}{x}}$ ngày

Lượng than khai thác ${\displaystyle 3}$ ngày đầu là ${\displaystyle 3x}$ tấn

Lượng than khai thác trong những ngày còn lại là ${\displaystyle 232-3x}$ (tấn)

Mỗi ngày sau đội khai thác được ${\displaystyle x+8}$ tấn

Thời gian đội khai thác ${\displaystyle 232–3x}$ tấn là ${\displaystyle \frac{232-3x}{x+8}}$ ngày.

Vì theo thực tế đội làm xong trước thời hạn một ngày nên ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{216}{x}-1=3+\frac{232-3x}{x+8}\\ & \Rightarrow 216\left(x+8\right)-x\left(x+8\right)\\ & =3x\left(x+8\right)+\left(232-3x\right)x\\ & \iff 216x+1728-x^2-8x\\ & =3x^2+24x+232x-3x^2\\ & \iff x^2+48x-1728=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={24}^2-1.\left(-1728\right)\\ & =576+1728=2304>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{2304}=48\\ & x_1=\frac{-24+48}{1}=24\\ & x_2=\frac{-24-48}{1}=-72\end{array}}$

${\displaystyle x_2=-72<0}$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đội khai thác ${\displaystyle 24}$ tấn than.

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi vận tốc ca nô khi nước yên lặng là $x(km/h)$; điều kiện: $x>3$

Thì vận tốc lúc đi xuôi dòng là $x+3(km/h)$

Vận tốc ca nô đi ngược dòng là $x–3(km/h)$

Thời gian đi xuôi dòng là ${\displaystyle \frac{30}{x+3}}$ giờ

Thời gian đi ngược dòng là ${\displaystyle \frac{30}{x-3}}$ giờ

Vì ca nô nghỉ 40 phút$={\displaystyle \frac{2}{3}}$ giờ nên thời gian ca nô đi thực tế là: $6-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{16}{3}}$ giờ.

Ta có phương trình:

$\begin{array}{rl}& \frac{30}{x+3}+\frac{30}{x-3}=\frac{16}{3}\\ & \Rightarrow 90\left(x-3\right)+90\left(x+3\right)\\ & =16\left(x+3\right)\left(x-3\right)\\ & \iff 90x-270+90x+270\\ & =16x^2-144\\ & \iff 16x^2-180x-144=0\\ & \iff 4x^2-45x-36=0\\ & \mathrm{\Delta }={\left(-45\right)}^2-\mathrm{4.4.}\left(-36\right)\\ & =2025+675=2601>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{2601}=51\\ & x_1=\frac{45+51}{2.4}=\frac{96}{8}=12\\ & x_2=\frac{45-51}{2.4}=\frac{-6}{8}=-\frac{3}{4}\end{array}$

${\displaystyle x_2=-\frac{3}{4}<0}$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là $12km/h$.

Bài tập bổ sung (trang 64 SBT Toán 9)

A) Khi $0<x<15,$ hàm số đồng biến

B) Khi $-1<x<1,$ hàm số đồng biến

C) Khi $-15<x<0,$ hàm số đồng biến

D) Khi $-15<x<1,$ hàm số đồng biến

Phương pháp giải:

Sử dụng: 

Hàm số $y=a{x}^2(a\ne 0)$ với $a<0$ thì đồng biến khi $x<0$ và nghịch biến khi $x>0.$

Lời giải:

Hàm số: $y=-3x^2$ đồng biến khi $x<0$ và nghịch biến khi $x>0.$

Nên khi $-15<x<0$ thì hàm số đồng biến. 

Chọn C.

A) $x^2+Sx+P=0$

B) $x^2-Sx+P=0$

C) $x^2-Sx-P=0$

D) $x^2+Sx-P=0$

Phương pháp giải:

Sử dụng: Hai số có tổng là $S$ và có tích là $P$ là nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0.$

Lời giải:

Muốn tìm hai số khi biết tổng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta phải giải phương trình $x^2-Sx+P=0.$

Chọn B. 

a) ${\displaystyle x^3+4x^2+x-6=0}$

b) ${\displaystyle x^3-2x^2-5x+6=0}$

c) ${\displaystyle 2x^4+2\sqrt{2}{x}^3+\left(1-3\sqrt{2}\right)x^2}$${\displaystyle -3x-4=0}$

d) ${\displaystyle \left(2x^2+7x-8\right)\left(2x^2+7x-3\right)}$${\displaystyle -6=0}$

Phương pháp giải:

Phân tích vế trái thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích

${\displaystyle A\left(x\right).B\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}A\left(x\right)=0\\ B\left(x\right)=0\end{array}}$

Lời giải:

a) ${\displaystyle x^3+4x^2+x-6=0}$ 

${\displaystyle \iff x^3+2x^2+2x^2+4x-3x-6=0}$ 
${\displaystyle \iff x^2\left(x+2\right)+2x\left(x+2\right)}$${\displaystyle -3\left(x+2\right)=0}$ 
${\displaystyle \iff \left(x+2\right)\left(x^2+2x-3\right)=0}$
${\displaystyle \iff [\begin{array}{c}x+2=0\\ x^2+2x-3=0\end{array}}$ 
${\displaystyle +)x+2=0\iff x=-2}$

${\displaystyle +)x^2+2x-3=0}$.

Phương trình có: ${\displaystyle a+b+c=1+2+\left(-3\right)=0}$ nên có hai nghiệm:

${\displaystyle x_1=1;x_2=\frac{-3}{1}=-3}$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: ${\displaystyle x_1=-2;x_2=1;x_3=-3}$

b)

${\displaystyle \begin{array}{rl}& x^3-2x^2-5x+6=0\\ & \iff x^3-x^2-x^2+x-6x+6=0\\ & \iff x^2\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)-6\left(x-1\right)=0\\ & \iff \left(x-1\right)\left(x^2-x-6\right)=0\\ & \iff [\begin{array}{c}x-1=0\\ x^2-x-6=0\end{array}\end{array}}$
${\displaystyle +)x-1=0\iff x=1}$ 
${\displaystyle +)x^2-x-6=0(\ast )}$ 
Ta có: ${\displaystyle \mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-6\right)}$${\displaystyle =1+24=25>0}$ 
Suy ra  ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{25}=5}$ 
Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm: ${\displaystyle x_1=\frac{1+5}{2.1}=3}$
và ${\displaystyle x_2=\frac{1-5}{2.1}=-2}$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: ${\displaystyle x_1=1;x_2=3;x_3=-2}$

c) ${\displaystyle 2x^4+2\sqrt{2}{x}^3+\left(1-3\sqrt{2}\right)x^2}$${\displaystyle -3x-4=0}$ 

${\displaystyle \iff 2x^4+2\sqrt{2}{x}^3+x^2}$${\displaystyle -3\sqrt{2}{x}^2-3x-4=0}$ 
${\displaystyle \iff {\left(\sqrt{2}{x}^2+x\right)}^2}$${\displaystyle -3\left(\sqrt{2}{x}^2+x\right)-4=0}$

Đặt ${\displaystyle \sqrt{2}{x}^2+x=t,}$ ta có phương trình: ${\displaystyle t^2-3t-4=0}$

Phương trình này có: ${\displaystyle a-b+c=1-\left(-3\right)+\left(-4\right)=0}$

Suy ra có hai nghiệm: ${\displaystyle t_1=-1;t_2=-\frac{-4}{1}=4}$

Với ${\displaystyle t=-1\Rightarrow \sqrt{2}{x}^2+x+1=0(1)}$

Ta có: ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=1-4.\sqrt{2}.1=1-4\sqrt{2}<0}$ nên phương trình (1) vô nghiệm

Với ${\displaystyle t=4\Rightarrow \sqrt{2}{x}^2+x=4}$${\displaystyle \iff \sqrt{2}{x}^2+x-4=0(2)}$

Ta có: ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=1^2-4.\sqrt{2}.\left(-4\right)=1+16\sqrt{2}>0}$
${\displaystyle \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{1+16\sqrt{2}}}$ 

Phương trình (2) có hai nghiệm:
${\displaystyle x_1=\frac{-1+\sqrt{1+16\sqrt{2}}}{2.\sqrt{2}}}$${\displaystyle =\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{2+32\sqrt{2}}}{4}}$ 
${\displaystyle x_2=\frac{-1-\sqrt{1+16\sqrt{2}}}{2.\sqrt{2}}}$${\displaystyle =\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{2+32\sqrt{2}}}{4}}$

Phương trình đã cho có hai nghiệm.

d) ${\displaystyle \left(2x^2+7x-8\right)\left(2x^2+7x-3\right)}$${\displaystyle -6=0}$

${\displaystyle \iff \left[\left(2x^2+7x-3\right)-5\right]\left(2x^2+7x-3\right)}$${\displaystyle -6=0}$ 
${\displaystyle \iff {\left(2x^2+7x-3\right)}^2-5\left(2x^2+7x-3\right)}$${\displaystyle -6=0}$

Đặt ${\displaystyle 2x^2+7x-3=t,}$ ta có phương trình: ${\displaystyle t^2-5t-6=0}$

Phương trình này có: ${\displaystyle a-b+c=1-\left(-5\right)+\left(-6\right)=0}$ nên có hai nghiệm:

${\displaystyle t_1=-1;t_2=-\frac{-6}{1}=6}$

Với ${\displaystyle t=-1}$ ta có:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& 2x^2+7x-3=-1\iff 2x^2+7x-2=0\\ & \mathrm{\Delta }=7^2-\mathrm{4.2.}\left(-2\right)=49+16=65>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{65}\\ & x_1=\frac{-7+\sqrt{65}}{2.2}=\frac{-7+\sqrt{65}}{4}\\ & x_2=\frac{-7-\sqrt{65}}{2.2}=\frac{-7-\sqrt{65}}{4}\end{array}}$

Với ${\displaystyle t=6,}$ ta có: ${\displaystyle 2x^2+7x-3=6\iff 2x^2+7x-9=0}$

Phương trình này có : ${\displaystyle a+b+c=2+7+\left(-9\right)=0}$ nên có hai nghiệm:

${\displaystyle x_1=1;x_2=-\frac{9}{2}}$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:

${\displaystyle x_1=\frac{-7+\sqrt{65}}{4};x_2=\frac{-7-\sqrt{65}}{4};}$${\displaystyle x_3=1;x_4=-\frac{9}{2}}$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}$

Lời giải:

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1;x_2$ thì $\mathrm{\Delta }\ge 0$

Ta có: $\mathrm{\Delta }=p^2-4$ 
$\Rightarrow p^2-4\ge 0\iff p^2\ge 4$ 

$\iff [\begin{array}{l}p>2\\ p<-2\end{array}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1+x_2=-p;x_1{x}_2=1$

Theo bài ra ta có: ${x_1}^2+{x_2}^2=254$

$\begin{array}{rl}& \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=254\\ & \iff p^2-2.1=254\\ & \iff p^2=256\\ & \iff [\begin{array}{c}p=16\\ p=-16\end{array}\end{array}$

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy với $p=16$ hoặc $p=-16$ thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2=254.$

a) Có 4 nghiệm phân biệt

b) Có 3 nghiệm phân biệt

c) Có 2 nghiệm phân biệt

d) Có một nghiệm

e) Vô nghiệm.

Phương pháp giải:

Đặt ${\displaystyle x^2=t\ge 0}$, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai một ẩn rồi biện luận số nghiệm theo ${\displaystyle \mathrm{\Delta },S,P.}$

Lời giải:

Cho phương trình: ${\displaystyle x^4-13x^2+m=0}$     (1)

Đặt ${\displaystyle x^2=t(t\ge 0),}$ ta có phương trình: ${\displaystyle t^2-13t+m=0}$  (2)

${\displaystyle \mathrm{\Delta }=169-4m}$

a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm ${\displaystyle t_1,t_2}$ dương phân biệt. Khi đó:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }=169-4m>0\\ t_1+t_2=13>0\\ t_1.t_2=m>0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}m<{\displaystyle \frac{169}{4}}\\ m>0\end{array}\iff 0<m<{\displaystyle \frac{169}{4}}\end{array}$

b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng ${\displaystyle 0}$ khi:

${\displaystyle \{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=169-4m>0\\ t_1+t_2=13>0\\ t_1.t_2=m=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{\displaystyle m<\frac{169}{4}}\\ m=0\end{array}\iff m=0}$

c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm (tức hai nghiệm trái dấu)

+) Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=169-4m=0}$

${\displaystyle \iff m=\frac{169}{4}\Rightarrow t_1=t_2=\frac{13}{2}>0}$ (thỏa mãn)

+) Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi

${\displaystyle \{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=169-4m>0\\ t_1.t_2=m<0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{\displaystyle m<\frac{169}{4}}\\ m<0\end{array}\iff m<0}$

Vậy với ${\displaystyle m=\frac{169}{4}}$ hoặc ${\displaystyle m<0}$ thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.

Theo câu c) ta thấy phương trình (2) có nghiệm số kép ${\displaystyle t_1=t_2=\frac{13}{2}\ne 0}$ (loại)

Nếu phương trình (2) có một nghiệm ${\displaystyle t_1=0}$ thì theo hệ thức Vi-ét ta có:

${\displaystyle t_1+t_2=13}$${\displaystyle \Rightarrow t_2=13-t_1=13-0=13>0}$

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm.

e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.

Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:

${\displaystyle t_1+t_2=13>0}$ vô lý

Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm. 

Suy ra: ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=169-4m<0\iff m>\frac{169}{4}}$