* Phân tích: 

+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

* Phân tích

Giả sử tiếp tuyến $AB$ và $AC$ cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta có: $AB\perp OB$ $\Rightarrow \widehat{ABO}={90}^{\circ }$

$AC\mathrm{\perp }OC\Rightarrow \widehat{ACO}={90}^{\circ }$

Tam giác $ABO$ có $\widehat{ABO}={90}^{\circ }$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $AO$ và tam giác $ACO$ có $\widehat{ACO}={90}^{\circ }$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $AO.$

Suy ra $B$ và $C$ là giao điểm của đường tròn đường kính $AO$ với đường tròn $(O).$

*  Cách dựng

−  Dựng $I$ là trung điểm của $OA.$

−  Dựng đường tròn $(I;IO)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C.$

−  Nối $AB,AC$ ta được hai tiếp tuyến cần dựng.

* Chứng minh

Tam giác $ABO$ nội tiếp trong đường tròn $(I)$ có $OA$ là đường kính nên: $\widehat{ABO}={90}^{\circ }$

Suy ra: $AB\perp OB$ tại $B$ nên  $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O).$

Tam giác $ACO$ nội tiếp trong đường tròn $(I)$ có $OA$ là đường kính nên : $\widehat{ACO}={90}^{\circ }$

Suy ra: $AC\perp OC$ tại $C$ nên $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

*  Biện luận

Luôn dựng được đường tròn tâm $I,$ cắt đường tròn tâm $O$ tại hai điểm $B$ và $C$ và luôn có $AB,AC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O).$

* Phân tích: 

+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

* Phân tích

−  Giả sử dựng được đường tròn $(O)$ qua $A,$ $B$ và tiếp xúc với $d.$ Khi đó đường tròn $(O)$ phải tiếp xúc với $d$ tại $A.$

−  Đường tròn $(O)$ đi qua $A$ và $B$ nên tâm $O$ nằm trên đường trung trực của $AB.$

−  Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với $d$ tại $A$ nên điểm $O$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $d$ tại điểm $A.$

* Cách dựng

−  Dựng đường thẳng trung trực của $AB.$

−   Dựng đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d.$ Đường thẳng này cắt đường trung trực của $AB$ tại $O.$

−  Dựa đường tròn $(O;OA)$ ta được đường tròn cần dựng.

* Chứng minh

Vì $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $OA=OB.$ Khi đó đường tròn $(O;OA)$ đi qua hai điểm $A$ và $B.$

Ta có: $OA$ vuông góc với $d$ tại $A$ nên $d$ là tiếp tuyến của $(O).$

Vậy $(O)$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

* Biện luận: Ta luôn dựng được một đường tròn thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải:

Xét hai tam giác $ABC$ và $DBC,$ ta có:

 $BA=BD$ (bán kính của $(B;BA)$)

$CA=CD$ (bán kính của $(C;CA)$)

$BC$ chung

Suy ra: $∆ABC=∆DBC(c.c.c)$

Suy ra: $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}$

Mà $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$ $(gt)$ $\Rightarrow \widehat{BDC}={90}^{\circ }$

Suy ra: $CD\perp BD$ tại $D$

Vậy $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B;BA).$

$a)$ Điểm $E$ nằm trên đường tròn $(O);$ 

$b)$ $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O).$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải:

$a)$ Gọi $O$ là trung điểm của $AH$

Tam giác $AEH$ vuông tại $E$ có $EO$ là đường trung tuyến nên:

$EO=OA=OH={\displaystyle \frac{AH}{2}}$ (tính chất tam giác vuông)

Vậy điểm $E$ nằm trên đường tròn $\left({\displaystyle O;\frac{AH}{2}}\right)$

$b)$ Ta có: $OH=OE$

suy ra tam giác $OHE$ cân tại $O$

suy ra: $\widehat{OEH}=\widehat{OHE}$       $(1)$

Mà $\widehat{BHD}=\widehat{OHE}$ (đối đỉnh)  $(2)$

Trong tam giác $BDH$ ta có:

$\widehat{HDB}={90}^{\circ }$

Suy ra: $\widehat{HBD}+\widehat{BHD}={90}^{\circ }$ $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra:

$\widehat{OEH}+\widehat{HBD}={90}^{\circ }$   $(4)$

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AD\perp BC$ nên AD là đường trung tuyến, suy ra $BD=CD$

Tam giác $BCE$ vuông tại $E$ có $ED$ là đường trung tuyến nên:

$ED=BD={\displaystyle \frac{BC}{2}}$ (tính chất tam giác vuông).

Suy ra tam giác $BDE$ cân tại $D$

Suy ra: $\widehat{DBE}=\widehat{DEB}$     $(5)$

Từ $(4)$ và $(5)$ suy ra: $\widehat{OEH}+\widehat{DEB}={90}^{\circ }$ hay $\widehat{DEO}={90}^{\circ }$

Suy ra: $DE\perp EO.$ Vậy $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O).$

* Phân tích: 

+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

*  Phân tích

Giả sử đường tròn tâm $I$ dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

− Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với $Ox$ tại $A$ nên $I$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $Ox$ kẻ từ $A.$

−  Tâm $I$ nằm trên tia $Oy$  nên $I$ là giao điểm của $Oy$ và đường thẳng vuông góc với $Ox$ tại $A.$

*  Cách dựng

− Dựng đường vuông góc với $Ox$ tại $A$ cắt $Oy$ tại $I.$

− Vẽ đường tròn $(I;IA)$ là đường tròn cần dựng. 

* Chứng minh

Ta có: $I$ thuộc $Oy,$$OA\perp IA$ tại $A.$

Suy ra $Ox$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I;IA)$ hay $(I;IA)$ tiếp xúc với $Ox.$

* Biện luận

Vì $\widehat{xOy}$ là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với $Ox$ tại $A$ luôn cắt tia $Oy$ nên tâm $I$ luôn xác định và duy nhất. 

Phân tích: 

     +) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

     +) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

     +) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

*        Phân tích

Giả sử tiếp tuyến của đường tròn dựng được thỏa

mãn điều kiện bài toán.

− $d_1$ là tiếp tuyến của đường tròn tại  $A$ nên $d_1\mathrm{\perp }OA$

− Vì $d_1//d$ nên $d\mathrm{\perp }OA.$

Vậy $A$ là giao điểm của đường tròn (O) và đường thẳng kẻ từ $O$ vuông góc với $d.$

*        Cách dựng

− Dựng $OH$ vuông góc với $d$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B.$

− Dựng đường thẳng $d_1$ đi qua $A$ và vuông góc với $OA.$

− Dựng đường thẳng $d_2$ đi qua $B$ và vuông góc với $OB.$

Khi đó $d_1$ và $d_2$ là hai tiếp tuyến cần dựng.

*        Chứng minh

Ta có: $A$ và $B$ thuộc $(O)$

$d_1//d$ mà $d\mathrm{\perp }OH$ nên $d_1\mathrm{\perp }OH$ hay $d_1\mathrm{\perp }OA$ tại $A$

Suy ra $d_1$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

$d_2//d$  mà $d\mathrm{\perp }OH$ nên $d_2\mathrm{\perp }OH$ hay $d_2\mathrm{\perp }OB$ tại $B$

Suy ra $d_2$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

*        Biện luận

Đường thẳng $OH$ luôn cắt đường tròn $(O)$ nên giao điểm $A$ và $B$ luôn dựng được.

Bài tập bổ sung (trang 164 SBT Toán 9)

$a)$ Nếu đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $A$ thì $d$ vuông góc với $OA.$

$b)$ Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với bán kính $OA$ của đường tròn $(O)$ thì $d$ là tiếp tuyến của đường tròn.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải:

$a)$ Đúng ;         

$b)$ Sai. Vì thiếu điều kiện đường thẳng $d$ phải vuông góc với bán kính $OA$ tại $A.$

Sử dụng kiến thức:

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.