Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 7.
Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
A. Lý thuyết Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
1. Đường trung tuyến của tam giác
– Trong tam giác ABC (hình bên dưới), đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).
Đôi khi, đường thẳng AM cũng được gọi là đường trung tuyến của ∆ABC.
Ví dụ: Quan sát hình bên dưới và cho biết trong hình có bao nhiêu đường trung tuyến?
Hướng dẫn giải
Quan sát hình vẽ ta có:
• A là đỉnh của ∆ABC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của ∆ABC.
• C là đỉnh của ∆ABC và H là trung điểm của AB nên đoạn thẳng CH là đường trung tuyến của ∆ABC.
• M là đỉnh của ∆ABM và H là trung điểm của AB do đó MH là đường trung tuyến của ∆ABM.
• H là đỉnh của ∆HBC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng HM là đường trung tuyến của ∆HBC.
Vậy trong hình vẽ trên có tất cả 4 đường trung tuyến.
– Chú ý: Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
Ví dụ: Tam giác ABC (hình vẽ dưới) có ba đường trung tuyến là AM, BK và CN.
2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
– Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.
Chú ý: Trong tam giác ABC (hình vẽ dưới) có ba đường trung tuyến AM, BK, CN cùng đi qua điểm G, ta còn nói chúng đồng quy tại điểm G.
Để xác định trọng tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.
Nhận xét: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Lưu ý: Trong ∆ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm ta có:
Ví dụ: Cho ∆ABC như hình vẽ, biết AM = 18 cm và BN = 21 cm.
a) Chứng minh: G là trọng tâm của ∆ABC.
b) Tính độ dài AG, GN.
Hướng dẫn giải
Theo hình vẽ trên ta có:
A là đỉnh của ∆ABC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của ∆ABC.
B là đỉnh của ∆ABC và N là trung điểm của AC nên đoạn thẳng BN là đường trung tuyến của ∆ABC.
Mà hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G do đó G là trọng tâm của ∆ABC.
Vậy G là trọng tâm của ∆ABC.
b) Theo phần a ta có: G là trọng tâm của ∆ABC nên (tính chất trọng tâm của tam giác)
Hay
Vì BN là đường trung tuyến của ∆ABC và G là trọng tâm của ∆ABC
Suy ra hay
Vậy AG = 12 cm, GN = 7 cm.
B. Bài tập tự luyện Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. Cho ∆ABC có hai tiếp tuyến BM và CN cắt nhau tại trọng tâm G. Chứng minh rằng: BC <
Hướng dẫn giải
Theo bài ta có: G là trọng tâm của ∆ABC.
Suy ra (tính chất trọng tâm của tam giác)
Xét ∆BGC ta có: BG + CG > BC (bất đẳng thức tam giác)
Hay
Suy ra BC <
Vậy BC <
Bài 2. Cho ∆ABC nhọn (AB < AC), đường trung tuyến AO. Trên tia đối của tia OA lấy điểm D sao cho OA = OD. Chứng minh rằng: AC // BD.
Hướng dẫn giải
Theo bài ta có AO là trung tuyến của ∆ABC nên BO = CO.
Xét ∆AOC và ∆DOB có:
AO = DO (giả thiết),
(hai góc đối đỉnh),
OC = OB (chứng minh trên).
Do đó ∆AOC = ∆DOB (c.g.c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Hay
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
Suy ra AC // BD
Vậy AC // BD.
Bài 3. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 9 cm; BM là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác. Kẻ AH ⊥ BM tại H. Tính AM biết rằng SDABG = 12 cm2.
Hướng dẫn giải
Vì ∆ABC có BM là đường trung tuyến và G là trọng tâm nên ta có: (1)
Ta có (2)
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
Suy ra 2SDABM = 3SDABG
Do đó
Ta lại có (vì ∆ABM vuông tại A)
Hay
Suy ra AM = = 4 (cm)
Vậy AM = 4 cm.
B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AX, BY, CZ cắt nhau tại G. Biết GA = GB = GC. Hãy so sánh GX, GY và GZ.
A. GX > GY > GZ;
B. GX = GY = GZ;
C. GX < GY = GZ;
D. GX = GY > GZ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất trọng tâm ta có:
, ,
Suy ra
Mà GA = GB = GC.
Suy ra GX = GY = GZ.
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 2. Cho ∆ABC có G là trọng tâm như hình bên.
Tìm x, biết AG = 4x + 6 và AM = 9x.
A. x = 4;
B. x = 1;
C. x = 2;
D. x = 3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có G là trọng tâm của ∆ABC.
Suy ra .
Do đó
4x + 6 = 2.3x
4x + 6 = 6x
4x – 6x = –6
–2x = –6.
x = –6 : (–2)
x = 3.
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 3. Cho ∆ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Trên tia GB và GC lấy các điểm F và E sao cho G là trung điểm của FM, đồng thời là trung điểm của EN. Khẳng định nào sau đây sai?
A. GF = FB;
B. E là trung điểm GC;
C. NG > EC;
D. AD, BE, CF đồng quy tại một điểm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Do ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC
Suy ra
Mà G là trung điểm của FM nên GM = GF
Do đó
Suy ra F là trung điểm của GB.
Nên GF = FB. Do đó A đúng.
Chứng minh tương tự ta có E là trung điểm của GC. Do đó B đúng.
Ta có: GN = GE = EC nên C là sai.
Vì F, E lần lượt là trung điểm của GB và GC (chứng minh trên)
Nên CF, BE là hai đường trung tuyến của ∆GBC.
Mà ∆GBC còn có GD là đường trung tuyến thứ ba (D là trung điểm BC).
Khi đó GD, BE, CF đồng quy tại trọng tâm của ∆GBC.
Hay AD, BE, CF đồng quy tại một điểm.
Do đó đáp án D đúng.
Vậy ta chọn đáp án C.
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: