Giải Toán 12 Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian

Trịnh Thị Giang Ngày: 14-05-2022 Lớp 12

2.3 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian

Câu hỏi và bài tập (trang 91 - 93 SGK Hình học 12)

Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12: Cho hệ toạ độ

O x y z

, cho bốn điểm

A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1), D (- 2; 1; - 1)

a) Chứng minh $A, B, C, D$ là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng $A B$ và $C D$ .

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp $A . B C D$ .

Phương pháp giải:

a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện tức là chứng minh 4 điểm này không đồng phẳng

Bằng cách viết phương trình mặt phẳng $(A B C)$ ( dạng đoạn chắn) rồi chứng minh $D \notin (A B C)$ .

b) Gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng $A B, C D$ ta có: $\cos α = | \cos (\vec{A B}, \vec{C D}) |$ .

$\cos (\vec{A B}; \vec{C D}) = \frac{\vec{A B} . \vec{C D}}{| \vec{A B} | . | \vec{C D} |}$

c) Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng $d (A; (B C D))$ .

+) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

+) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ là: $d (M; (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Lời giải:

a) Viết phương trình mặt phẳng $(A B C)$ : Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

$(A B C)$ : $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$ $\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$

Thế các toạ độ của $D$ vào vế phải của phương trình mặt phẳng $(A B C)$ , ta có: $- 2 + 1 - 1 - 1 = - 3 \neq 0$

Vậy $D \notin (A B C)$ hay bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng, suy ra $A, B, C, D$ là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Cách khác:

$\begin{array}{l} \vec{A B} = (- 1; 1; 0); \vec{C D} = (- 2; 1; - 2); \vec{A C} = (- 1; 0; 1) \\ \Rightarrow [\vec{A B}; \vec{A C}] = (1; 1; 1) \\ \Rightarrow [\vec{A B}; \vec{A C}] . \vec{C D} = (- 2) .1 + 1.1 + (- 2) .1 = - 3 \end{array}$

$\Rightarrow \vec{A B}; \vec{A C}; \vec{C D}$ không đồng phẳng.

$\Rightarrow A, B, C, D$ không đồng phẳng

$\Rightarrow A, B, C, D$ là 4 đỉnh của hình tứ diện

b) Gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng $A B, C D$ ta có:

$\cos α = | \cos (\vec{A B}, \vec{C D}) |$

$\cos (\vec{A B}; \vec{C D})$ $= \frac{\vec{A B} . \vec{C D}}{| \vec{A B} | . | \vec{C D} |}$

Ta có: $\vec{A B} = (- 1, 1, 0)$ , $\vec{C D} = (- 2, 1, - 2)$

$\vec{A B} . \vec{C D} = (- 1) . (- 2) + 1.1 + 0. (- 2) = 3$

$| \vec{A B} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}$

$| \vec{C D} | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} = 3$

$\Rightarrow \cos (\vec{A B}, \vec{C D}) = \frac{3}{3 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow (\vec{A B}, \vec{C D}) = 45^{0}$ $\Rightarrow α = 45^{0}$

c) Ta có $\vec{B C} = (0; - 1; 1),$ $\vec{B D} = (- 2; 0; - 1)$

Gọi $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của $(B C D)$ thì:

${\vec{n}}_{(B C D)} = [\vec{B C}, \vec{B D}]$ $= (1; - 2; - 2)$

Phương trình mặt phẳng $(B C D)$ :

$1 (x - 0) - 2 (y - 1) - 2 (z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2 y - 2 z + 2 = 0$

Chiều cao của hình chóp $A . B C D$ bằng khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(B C D)$ :

$h = d (A, (B C D)) = \frac{| 1 + 2 |}{\sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + {(- 2)}^{2}}}$ $= \frac{3}{3} = 1$

Bài 2 trang 91 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ

O x y z

, cho mặt cầu

(S)

có đường kính là

A B

biết rằng

A (6; 2; - 5), B (- 4; 0; 7)

a) Tìm toạ độ tâm $I$ và tính bán kính $r$ của mặt cầu $(S)$

b) Lập phương trình của mặt cầu $(S)$ .

c) Lập phương trình của mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $A$ .

Phương pháp giải:

a) Tâm I là trung điểm của AB: $I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ và bán kính $R = \frac{A B}{2}$ .

b) Phương trình mặt cầu tâm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có bán kính $R$ có dạng: ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = R^{2}$

c) Mặt phẳng cần tìm đi qua A và nhận $\bar{I A}$ là 1 VTPT.

Lời giải:

a) Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng $A B$ : $I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2}) = (1; 1; 1)$

$A B^{2} = {(- 4 - 6)}^{2} + {(0 - 2)}^{2} + {(7 + 5)}^{2} = 248$

$\Rightarrow A B = \sqrt{248} = 2 \sqrt{62}$

Vậy $R = \frac{A B}{2} = \sqrt{62}$

b) Phương trình mặt cầu $(S)$

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 62$

$\Leftrightarrow$ $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z - 59 = 0$

c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $A$ chính là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với bán kính $I A$ . Ta có:

$\vec{I A} = (5; 1; - 6)$

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $5 (x - 6) + 1 (y - 2) - 6 (z + 5) = 0$

$\Leftrightarrow 5 x + y - 6 z - 62 = 0$

Bài 3 trang 92 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ

O x y z

, cho bốn điểm

A (- 2; 6; 3), B (1; 0; 6), C (0; 2; - 1), D (1; 4; 0)

a) Viết phương trình mặt phẳng $(B C D)$ . Suy ra $A B C D$ là một tứ diện.

b) Tính chiều cao $A H$ của tứ diện $A B C D$

c) Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ chứa $A B$ và song song với $C D$ .

Phương pháp giải:

a) Mặt phẳng $(B C D)$ đi qua $B$ và nhận $\vec{a} = [\vec{B C}; \vec{B D}]$ là 1 VTPT. Chứng minh ABCD là tứ diện bằng cách chứng minh $A \notin (B C D)$

b) $A H = d (A; (B C D))$

c) ${\vec{n}}_{(α)} = [\vec{A B}; \vec{C D}]$ là 1 VTPT của mặt phẳng $(α)$ và $(α)$ đi qua A.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{B C} = (- 1; 2; - 7)$ , $\vec{B D} = (0; 4; - 6)$

Xét vectơ $\vec{a} = [\vec{B C}, \vec{B D}]$ $\Rightarrow \vec{a} = (16; - 6; - 4) = 2 (8; - 3; - 2)$

Mặt phẳng $(B C D)$ đi qua $B$ và nhận $\vec{a^{'}} = (8; - 3; - 2)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$8 (x - 1) - 3 y - 2 (z - 6) = 0$ $\Leftrightarrow 8 x - 3 y - 2 z + 4 = 0$

Thay toạ độ của $A$ vào phương trình của $(B C)$ ta có:

$8. (- 2) - 3.6 - 2.3 + 4 = - 36 \neq 0$

Điều này chứng tỏ điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(B C D)$ hay bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng, và $A B C D$ là một tứ diện.

b) Chiều cao $A H$ của tứ diện chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(B C D)$ :

$A H = d (A, (B C D))$ = $\frac{| 8. (- 2) - 3.6 - 2.3 + 4 |}{\sqrt{8^{2} + {(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{36}{\sqrt{77}}$

c) Ta có: $\vec{A B} = (3; - 6; 3)$ , $\vec{C D} = (1; 2; 1)$

Mặt phẳng $(α)$ chứa $A B$ và $C D$ chính là mặt phẳng đi qua $A (- 2; 6; 3)$ và nhận cặp vectơ $\vec{A B}$ , $\vec{C D}$ làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{C D}]$

Ta có: $\vec{A B} = (3; - 6; 3); \vec{C D} = (1; 2; 1)$

$\Rightarrow \vec{n}$ = $(- 12; 0; 12) = - 12 (1; 0; - 1)$

Vậy phương trình của $(α)$ là:

$1 (x + 2) + 0 (y - 6) - 1 (z - 3) = 0$ $\Leftrightarrow x - z + 5 = 0$

Bài 4 trang 92 SGK Hình học 12: Lập phương trình tham số của đường thẳng:

a) Đi qua hai điểm $A (1; 0; - 3), B (3; - 1; 0)$ .

b) Đi qua điểm $M (2; 3; - 5)$ và song song với đường thẳng $∆$ có phương trình ${\begin{matrix} x = - 2 + 2 t \\ y = 3 - 4 t \\ z = - 5 t . \end{matrix}$

Phương pháp giải:

Phương trình tham số đường thẳng $(d)$ đi qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{u} = (a; b; c)$ là 1 VTCP có dạng: ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases} (t \in R)$

Lời giải:

a) Đường thẳng $d$ qua $A$ có vectơ chỉ phương $\vec{A B} = (2; - 1; 3)$ nên phương trình tham số của $d$ có dạng: ${\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - t \\ z = - 3 + 3 t \end{matrix} (t \in R)$

b) Đường thẳng $d / / ∆$ .

Mà ${\vec{u}}_{Δ} (2, - 4, - 5)$ là VTCP của $∆$ nên $\vec{u_{d}} = (2, - 4, - 5)$ là VTCP của d.

d đi qua M(2;3;-5) và nhận $\vec{u_{d}} = (2, - 4, - 5)$ là VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng $d$ là:

${\begin{matrix} x = 2 + 2 t \\ y = 3 - 4 t \\ z = - 5 - 5 t \end{matrix} (t \in R)$

Bài 5 trang 92 SGK Hình học 12: Cho mặt cầu

(S)

có phương trình:

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 100

và mặt phẳng

(α)

có phương trình

2 x - 2 y - z + 9 = 0

. Mặt phẳng

(α)

cắt mặt cầu

(S)

theo một đường tròn

(C)

Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn $(C)$ .

Phương pháp giải:

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

+) Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua I và vuông góc với $(α)$ .

+) Gọi $K = (α) \cap d$ , tìm tọa độ điểm K, K chính là tâm đường tròn (C).

+) Tính khoảng cách $h = d (I; (α))$ , từ đó suy ra bán kính $r$ của đường tròn (C): $r = \sqrt{R^{2} - h^{2}}$ .

Lời giải:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (3, - 2, 1)$ và bán kính $R = 10$ .

Khoảng cách từ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ đến mặt phẳng $(α)$ là:

$h = d (I, α)$ = $| \frac{2.3 - 2. (- 2) - 1 + 9}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}} | = \frac{18}{3} = 6$

Gọi $r$ là bán kính đường tròn (C), áp dụng định lí Pitago ta có: $r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$

Tâm $K$ của đường tròn $(C)$ là hình chiếu vuông góc của tâm $I$ của mặt cầu trên mặt phẳng $(α)$ .

Mặt phẳng $((α)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, - 2. - 1)$ .

Đường thẳng $d$ qua $I$ và vuông góc với $(α)$ nhận $\vec{n} = (2, - 2, - 1)$ làm vectơ chỉ phương và có phương trình $d$ : ${\begin{matrix} x = 3 + 2 t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = 1 - t \end{matrix}$

$K \in d \Rightarrow K (3 + 2 t; - 2 - 2 t; 1 - t); K \in (α)$ nên thay tọa độ điểm K vào phương trình mặt phẳng $(α)$ ta có:

$2. (3 + 2 t) - 2. (- 2 - 2 t) - (1 - t) + 9 = 0 \Rightarrow t = - 2$

$\Rightarrow K (- 1; 2; 3)$

Bài 6 trang 92 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ

O x y z

, cho mặt phẳng

(α)

có phương trình

3 x + 5 y - z - 2 = 0

và đường thẳng

d

có phương trình

{\begin{matrix} x = 12 + 4 t \\ y = 9 + 3 t \\ z = 1 + t . \end{matrix}

a) Tìm giao điểm $M$ của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(α)$ .

b) Viết phương trình mặt phẳng $(β)$ chứa điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$ .

Phương pháp giải:

a) Tham số hóa tọa độ điểm M dạng $M (12 + 4 t; 9 + 3 t; 1 + t)$ , thay điểm M vào phương trình mặt phẳng $α$ .

b) $(β) ⊥ (d) \Rightarrow {\vec{n}}_{(β)} = {\vec{u}}_{(d)}$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua N và nhận ${\vec{u}}_{(d)}$ là 1 VTPT.

Lời giải:

a) Vì $M \in d$ nên $M (12 + 4 t; 9 + 3 t; 1 + t)$ , thay vào phương trình $(α)$ , ta có: $3 (12 + 4 t) + 5 (9 + 3 t) - (1 + t) - 2 = 0$

$\Rightarrow 26 t + 78 = 0$ $\Rightarrow t = - 3$ $\Rightarrow M (0; 0; - 2)$ .

b) Vectơ $\vec{u} (4; 3; 1)$ là vectơ chỉ phương của $d$ . Mặt phẳng $(β)$ vuông góc với $d$ nhận $\vec{u}$ làm vectơ pháp tuyến. Vì $M (0; 0; - 2) \in (β)$ nên phương trình $(β)$ có dạng:

$4 (x - 0) + 3 (y - 0) + (z + 2) = 0$

hay $4 x + 3 y + z + 2 = 0$

Bài 7 trang 92 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ

O x y z

, cho điểm

A (- 1; 2; - 3)

, vectơ

\vec{a} = (6; - 2; - 3)

và đường thẳng

d

có phương trình:

{\begin{matrix} x = 1 + 3 t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 3 - 5 t . \end{matrix}

a) Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ chứa điểm $A$ và vuông góc với giá của $\vec{a}$ .

b) Tìm giao điểm của $d$ và $(α)$ .

c) Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm $A$ , vuông góc với giá của $\vec{a}$ và cắt đường thẳng $d$ .

Phương pháp giải:

a) Viết phương trình mặt phẳng biết điểm đi qua và 1 VTPT.

b) Tham số hóa tọa độ giao điểm và thay vào phương trình mặt phẳng $(α)$ .

c) Đường thẳng đi qua A vuông góc với giá của $\vec{a}$ và cắt đường thẳng d chính là đường thẳng AM.

Lời giải:

a) Mặt phẳng $(α)$ vuông góc với giá của $\vec{a}$ nhận $\vec{a}$ làm vectơ pháp tuyến; $(α)$ đi qua $A (- 1; 2; - 3)$ có phương trình:

$6 (x + 1) - 2 (y - 2) - 3 (z + 3) = 0$ $\Leftrightarrow 6 x - 2 y - 3 z + 1 = 0$

b) Gọi $M = d \cap (α)$ $\Rightarrow M \in d$ $\Rightarrow M (1 + 3 t; - 1 + 2 t; 3 - 5 t)$

Thay tọa độ điểm M vào phương trình $(α)$ ta có:

$6. (1 + 3 t) - 2 (- 1 + 2 t) - 3 (3 - 5 t) + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 29 t = 0$ $\Leftrightarrow t = 0$ .

Từ đây ta tính được toạ độ giao điểm $M$ của $d$ và $(α)$ : $M (1; - 1; 3)$ .

c) Đường thẳng $∆$ đi qua A và vuông góc với giá của $\vec{a}$ nên $Δ \subset (α)$ . Hơn nữa $∆$ cắt d nên $∆$ đi qua M.

Do đó đường thẳng $∆$ cần tìm chính là đường thẳng $A M$ nhận vectơ $\vec{A M} = (2; - 3; 6)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng $A M$ : ${\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - 3 t \\ z = 3 + 6 t \end{matrix}$

Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ

O x y z

, viết phương trình mặt phẳng

(α)

tiếp xúc với mặt cầu

(S): $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 10 x + 2 y + 26 z + 170 = 0$

và song song với hai đường thẳng

$d : {\begin{cases} x = - 5 + 2 t \\ y = 1 - 3 t \\ z = - 13 + 2 t \end{cases} d^{'} : {\begin{cases} x = - 7 + 3 t^{'} \\ y = - 1 - 2 t^{'} \\ z = 8 \end{cases}$

Phương pháp giải:

+) Gọi $\vec{a}; \vec{a^{'}}$ lần lượt là VTCP của hai đường thẳng d và d'. Khi đó mặt phẳng $(α)$ nhận $\vec{n} = [\vec{a}; \vec{a^{'}}]$ là 1 VTPT.

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S), mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu (S) $\Leftrightarrow d (I; (α)) = R$

Lời giải:

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (2; - 3; 2)$

$d^{'}$ có vectơ chỉ phương $\vec{a^{'}} = (3; - 2; 0)$

Mặt phẳng $(α)$ song song với $d$ và $d^{'}$ nhận vectơ $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{a^{'}}] = (4; 6; 5)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng: $4 x + 6 y + 5 z + D = 0$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (5; - 1; - 13)$ và bán kính $R = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 1^{2} + {(- 13)}^{2} - 170} = \sqrt{25} = 5$ .

Để $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ , ta phải có:

$d (I, (α)) = R$ $\Leftrightarrow \frac{| 4.5 + 6 (- 1) + 5 (- 13) + D |}{\sqrt{4^{2} + 6^{2} + 5^{2}}} = 5$ $\Leftrightarrow | D - 51 | = 5 \sqrt{77}$

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) $D - 51 = 5 \sqrt{77}$ $\Rightarrow (α_{1}) : 4 x + 6 y + 5 z + 51 + 5 \sqrt{77} = 0$

+) $D - 51 = - 5 \sqrt{77}$ $\Rightarrow (α_{2}) : 4 x + 6 y + 5 z + 51 - 5 \sqrt{77} = 0$

Bài 9 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ

O x y z

, tìm toạ độ điểm

H

là hình chiếu vuông góc của điểm

M (1; - 1; 2)

trên mặt phẳng

(α) : 2 x - y + 2 z + 11 = 0

Phương pháp giải:

Điểm $H$ , hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mp $(α)$ chính là giao điểm của đường thẳng $∆$ đi qua $M$ và vuông góc với $(α)$ .

Lời giải:

Điểm $H$ , hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mp $(α)$ chính là giao điểm của đường thẳng $∆$ đi qua $M$ và vuông góc với $(α)$ . Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 1; 2)$ .

Đường thẳng $∆$ đi qua M và vuông góc với mp $(α)$ nhận $\vec{n}$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của $∆$ : ${\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = 2 + 2 t \end{matrix}$

$H \in Δ \Rightarrow H (1 + 2 t; - 1 - t; 2 + 2 t)$ . thay các tọa độ điểm H vào phương trình $m p (α)$ , ta có:

$2 (1 + 2 t) - (- 1 - t) + 2 (2 + 2 t) + 11 = 0$ $\Leftrightarrow t = - 2$

Từ đây ta được $H (- 3; 1; - 2)$ .

Bài 10 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ

O x y z

, cho điểm

M (2; 1; 0)

và mặt phẳng

(α) : x + 3 y - z - 27 = 0

. Tìm toạ độ điểm

M^{'}

đối xứng với

M

qua

(α)

Phương pháp giải:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(α)$ và $M^{'}$ là điểm đối xứng của $M$ qua $(α)$ thì $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $M M^{'}$ .

+) Xác định tọa độ hình chiếu H của M trên mặ phẳng $(α)$ .

+) Xác định tọa độ điểm M': ${\begin{cases} x_{M^{'}} = 2 x_{H} - x_{M} \\ y_{M^{'}} = 2 y_{H} - y_{M} \\ z_{M^{'}} = 2 z_{H} - z_{M} \end{cases}$

Lời giải:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(α)$ và $M^{'}$ là điểm đối xứng của $M$ qua $(α)$ thì $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $M M^{'}$ . Xét đường thẳng $∆$ qua $M$ và $∆$ vuông góc với $(α)$ .

Phương trình $∆$ đi qua M và nhận ${\vec{n}}_{(α)} = (1; 3; - 1)$ là 1 VTCP có dạng: ${\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 3 t \\ z = - t \end{matrix}$

Gọi $H = Δ \cap (α) \Rightarrow H (2 + t; 1 + 3 t; - t)$

Thay tọa độ điểm H vào phương trình $(α)$ ta được: $2 + t + 3 (1 + 3 t) - (- t) - 27 = 0 \Rightarrow 11 t = 22 \Rightarrow t = 2$

$\Rightarrow H (4; 7; - 2)$

$M$ và $M^{'}$ đối xứng nhau qua $(α)$ nên H là trung điểm của MM'

${\begin{cases} x_{M^{'}} = 2 x_{H} - x_{M} = 6 \\ y_{M^{'}} = 2 y_{H} - y_{M} = 13 \\ z_{M^{'}} = 2 z_{H} - z_{M} = - 4 \end{cases} \Rightarrow M^{'} (6; 13; - 4)$

Bài 11 trang 93 SGK Hình học 12: Viết phương trình đường thẳng

∆

vuông góc với mặt phẳng toạ độ

(O x z)

và cắt hai đường thẳng

$d : {\begin{cases} x = t \\ y = - 4 + t \\ z = 3 - t \end{cases} d^{'} : {\begin{cases} x = 1 - 2 t^{'} \\ y = - 3 + t^{'} \\ z = 4 - 5 t^{'} \end{cases}$

Phương pháp giải:

- Gọi tọa độ hai giao điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng theo tham số $t, t^{'}$ .

- Lập hệ phương trình ẩn $t, t^{'}$ dựa vào điều kiện $M N ⊥ (O x z)$ nên $M N ⊥ O x$ và $M N ⊥ O z$ .

Lời giải:

Gọi $M$ là điểm thuộc đường thẳng $d$ , toạ độ của $M$ là $M (t; - 4 + t; 3 - t)$ . $N$ là điểm thuộc đường thẳng $d^{'}$ , toạ độ của $N$ là $N (1 - 2 t^{'}; - 3 + t^{'}; 4 - 5 t^{'})$ .

Ta có: $\vec{M N} = (1 - 2 t^{'} - t; 1 + t^{'} - t; 1 - 5 t^{'} + t)$

Vì $M N ⊥ (O x z)$ nên $M N ⊥ O x$ và $M N ⊥ O z$

$O x$ có vectơ chỉ phương $\vec{i} = (1; 0; 0)$ ;

$O z$ có vectơ chỉ phương $\vec{j} = (0; 0; 1)$ .

$M N ⊥ O x$

$\Leftrightarrow (1 - 2 t^{'} - t) .1 + (1 + t^{'} - t) .0 + (1 - 5 t^{'} + t) .0 = 0$

$\Leftrightarrow 1 - 2 t^{'} - t = 0$ (1)

$M N ⊥ O z$

$\Leftrightarrow (1 - 2 t^{'} - t) .0 + (1 + t^{'} - t) .0 + (1 - 5 t^{'} + t) .1 = 0$

$\Leftrightarrow 1 - 5 t^{'} + t = 0$ (1)

Từ (1) và (2) ta có hệ ${\begin{cases} 1 - 2 t^{'} - t = 0 \\ 1 - 5 t^{'} + t = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} t = \frac{3}{7} \\ t^{'} = \frac{2}{7} \end{cases}$

và được toạ độ của M $(\frac{3}{7}; - \frac{25}{7}; \frac{18}{7})$ , N $(\frac{3}{7}; - \frac{19}{7}; \frac{18}{7})$

Từ đây ta có $\vec{M N} = (0; \frac{6}{7}; 0) = \frac{6}{7} (0; 1; 0)$ và được phương trình đường thẳng $M N$ đi qua M và nhận $\vec{u} = (0; 1; 0)$ làm 1 VTCP là: ${\begin{matrix} x = \frac{3}{7} \\ y = - \frac{25}{7} + t \\ z = \frac{18}{7} \end{matrix} (t \in R)$

Bài 12 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ

O x y z

, tìm toạ độ điểm

A^{'}

đối xứng với điểm

A (1; - 2; - 5)

qua đường thẳng

∆

có phương trình

{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = 2 t . \end{matrix}

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu của A trên đường thẳng $Δ$ .

- Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với $Δ$ . Tìm phương trình mặt phẳng (P).

- Khi đó H là giao điểm của $Δ$ và mặt phẳng (P).

+) Điểm M' đối xứng với M qua $Δ$ khi và chỉ khi H là trung điểm của MM', từ đó suy ra tọa độ điểm M'.

Lời giải:

Gọi $H (1 + 2 t; - 1 - t; 2 t) \in Δ$ là hình chiếu của $A$ trên $Δ$ .

Có $\vec{u_{Δ}} = (2; - 1; 2)$ , $\vec{A H} = (2 t; 1 - t; 2 t + 5)$

$\vec{A H} ⊥ \vec{u_{Δ}} \Leftrightarrow \vec{A H} . \vec{u_{Δ}} = 0$ $\Leftrightarrow 2.2 t - 1. (1 - t) + 2. (2 t + 5) = 0$ $\Leftrightarrow 4 t - 1 + t + 4 t + 10 = 0$ $\Leftrightarrow 9 t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$ $\Rightarrow H (- 1; 0; - 2)$

Vì A' đối xứng với A qua $Δ$ nên H là trung điểm của AA'. Ta có:

$\begin{array}{l} {\begin{array}{l} x_{A^{'}} = 2 x_{H} - x_{A} \\ y_{A^{'}} = 2 y_{H} - y_{A} \\ z_{A^{'}} = 2 z_{H} - z_{A} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x_{A^{'}} = 2. (- 1) - 1 = - 3 \\ y_{A^{'}} = 2.0 - (- 2) = 2 \\ z_{A^{'}} = 2. (- 2) - (- 5) = 1 \end{array} \\ \Rightarrow A^{'} (- 3; 2; 1) \end{array}$

Cách khác:

Ta có thể tìm tọa độ điểm $H$ như sau:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $△$ . Khi đó $H$ là trung điểm của $A A^{'}$ .

Xét mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và $(P) ⊥△$ . Khi đó $H = (P) ⋂ △$ .

Vì $\vec{u} (2; - 1; 2)$ là vectơ chỉ phương của $△$ nên $\vec{u}$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: $2 (x - 1) - (y + 2) + 2 (z + 5) = 0$ hay $2 x - y + 2 z + 6 = 0$ (1)

$H = Δ \cap (P) \Rightarrow H \in Δ \Rightarrow H (1 + 2 t; - 1 - t; 2 t)$ , thay tọa độ điểm H vào phương trình mặt phẳng (P) ta có: $2 (1 + 2 t) + (1 + t) + 4 t + 6 = 0$

$\Rightarrow 9 t + 9 = 0 \Rightarrow t = - 1$ $\Rightarrow H (- 1; 0; - 2)$ .

Bài tập trắc nghiệm (trang 94 - 97 SGK Hình học 12)

Bài 1 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian

O x y z

cho ba vectơ

\vec{a} = (- 1; 1; 0)

\vec{b} = (1; 1; 0)

và

\vec{c} = (1; 1; 1)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ; (B) $| \vec{c} | = \sqrt{3}$ ;

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l} \vec{a} = (x; y; z) \Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ \vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0 \end{array}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} | \vec{a} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2} \\ | \vec{c} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3} \\ \vec{a} . \vec{b} = (- 1) .1 + 1.1 + 0.0 = 0 \Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b} \\ \vec{b} . \vec{c} = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 \neq 0 \end{array}$

Do đó A đúng, B đúng, C đúng, D sai.

Chọn (D).

Bài 2 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian

O x y z

cho ba vectơ

$\vec{a} = (- 1; 1; 0)$ , $\vec{b} = (1; 1; 0)$ và $\vec{c} = (1; 1; 1)$ .

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) $\vec{a} . \vec{c} = 1;$

(B) $\vec{a}, \vec{b}$ cùng phương;

(D) $\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$ = $\vec{0}$

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l} \vec{a} (x_{1}; y_{1}; z_{1}); \vec{b} (x_{2}; y_{2}; z_{2}) \\ \vec{a} . \vec{b} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + z_{1} . z_{2} \end{array}$

$\vec{a}; \vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow \vec{a} = k \vec{b}$ ( $k \neq 0$ )

$\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

$\vec{a} (x_{1}; y_{1}; z_{1}) = \vec{0}$ $\Leftrightarrow x_{1} = y_{1} = z_{1} = 0$

Lời giải:

$\vec{a} . \vec{c} = - 1.1 + 1.1 + 0.1 = 0 \Rightarrow$ A sai.

Dễ thấy không tồn tại hằng số $k \neq 0$ để $\Leftrightarrow \vec{a} = k \vec{b}$ nên B sai.

$\cos (\vec{b}; \vec{c}) = \frac{\vec{b} . \vec{c}}{| \vec{b} | . | \vec{c} |}$ $= \frac{1.1 + 1.1 + 0.1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}}$ $= \frac{2}{\sqrt{2} . \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

$\Rightarrow$ C đúng.

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ $= (- 1 + 1 + 1; 1 + 1 + 1; 0 + 0 + 1)$ $= (1; 3; 1) \neq \vec{0} \Rightarrow D$ sai.

Chọn (C).

Bài 3 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian

O x y z

cho ba vectơ

\vec{a} = (- 1; 1; 0)

\vec{b} = (1; 1; 0)

và

\vec{c} = (1; 1; 1)

Cho hình bình hành $O A D B$ có $\vec{O A}$ = $\vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ ( $O$ là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành $O A D B$ là:

(A) $(0; 1; 0)$ (B) $(1; 0; 0)$

Phương pháp giải:

Gọi I là tâm hình bình hành OADB ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O I}$

Lời giải:

Gọi $I$ là tâm của hình bình hành ta có:

$\begin{array}{l} \vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O I} \\ \Rightarrow \vec{O I} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B}) = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \\ = \frac{1}{2} (0; 2; 0) = (0; 1; 0) \end{array}$

Vậy $I (0; 1; 0)$

Chọn (A).

Cách khác:

$\vec{O A} = (- 1; 1; 0) \Rightarrow A (- 1; 1; 0)$

$\vec{O B} = (1; 1; 0) \Rightarrow B (1; 1; 0)$

Vì $I$ là tâm hình bình hành nên $I$ là trung điểm $A B$

$\Rightarrow {\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{- 1 + 1}{2} = 0 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0 \end{cases}$ $\Rightarrow I (0; 1; 0)$

Bài 4 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian

O x y z

cho bốn điểm

A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1)

và

D (1; 1; 1)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;

(B) Tam giác ABD là tam giác đều ;

(D) Tam giác $B C D$ là tam giác vuông.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Chứng minh AB = BD = DA

c) Kiểm tra tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{C D} = 0$

d) Kiểm tra trong các điều kiện $[\begin{array}{l} \vec{B C} . \vec{B D} = 0 \\ \vec{C B} . \vec{C D} = 0 \\ \vec{D B} . \vec{D C} = 0 \end{array}$

Lời giải:

Ta có: phương trình đoạn chắn mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$ $\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$ .

Dễ thấy điểm D không thuộc (ABC) nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Mệnh đề A đúng.

Ta có:

$\begin{array}{l} A B = \sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {(1 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = \sqrt{2} \\ A D = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(1 - 0)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} = \sqrt{2} \\ B D = \sqrt{{(1 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} = \sqrt{2} \\ \Rightarrow A B = A D = B D \end{array}$

Do đó tam giác ABD đều, mệnh đề B đúng.

$\begin{aligned} \vec{A B} = (- 1; 1; 0) \\ \vec{C D} = (1; 1; 0) \\ \vec{A B} . \vec{C D} = - 1.1 + 1.1 + 0.0 = 0 \end{aligned}$

Mệnh đề C đúng.

Chọn (D)

Bài 5 trang 95 SGK Hình học 12: Trong không gian

O x y z

cho bốn điểm

A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1)

và

D (1; 1; 1)

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $C D$ . Toạ độ điểm $G$ là trung điểm của $M N$ là:

(A) G $(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ ; (B) G $(\frac{1}{4}; \frac{1}{4}; \frac{1}{4})$ ;

Phương pháp giải:

$A (x_{A}; y_{A}; z_{A}); B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ , điểm M là trung điểm của AB $\Rightarrow M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

Lời giải:

M là trung điểm của AB $\Rightarrow M (\frac{1 + 0}{2}; \frac{0 + 1}{2}; \frac{0 + 0}{2}) = (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 0)$

N là trung điểm của CD $\Rightarrow N (\frac{0 + 1}{2}; \frac{0 + 1}{2}; \frac{1 + 1}{2}) = (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1)$

G là trung điểm của MN $\Rightarrow G (\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2}; \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2}; \frac{0 + 1}{2}) = (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

Chọn (D)

Bài 6 trang 95 SGK Hình học 12: Trong không gian

O x y z

cho bốn điểm

A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1)

và

D (1; 1; 1)

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A B C D$ có bán kính là:

(A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; (B) $\sqrt{2}$ ;

Phương pháp giải:

Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu tìm các hệ số a, b, c, d.

Suy ra bán kính của mặt cầu: $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$

Lời giải:

Phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$

Mặt cầu đi qua $A, B, C, D$ nên ta có hệ:

${\begin{matrix} 1 - 2 a + d = 0 (1) \\ 1 - 2 b + d = 0 (2) \\ 1 - 2 c + d = 0 (3) \\ 3 - 2 a - 2 b - 2 c + d = 0 (4) \end{matrix}$

Lấy $(1) + (2) + (3) - (4)$ ta được: $d = 0$

Thế lần lượt vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta suy ra: $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{2}$

Vậy bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Chọn (A).

Bài 7 trang 95 SGK Hình học 12: Cho mặt phẳng

(α)

đi qua điểm

M (0; 0; - 1)

và song song với giá của hai vectơ

\vec{a} = (1; - 2; 3)

và

\vec{b} = (3; 0; 5)

Phương trình của mặt phẳng $(α)$ là:

(A) $5 x - 2 y - 3 z - 21 = 0$ ;

(B) $- 5 x + 2 y + 3 z + 3 = 0$ ;

(D) $5 x - 2 y - 3 z + 21 = 0$ .

Phương pháp giải:

Gọi $\vec{n}$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ thì $\vec{n} = [\vec{a}; \vec{b}]$ .

Lời giải:

Gọi $\vec{n}$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ thì

$\vec{n} = [\vec{a}; \vec{b}] = (- 10; 4; 6)$ .

Phương trình của mặt phẳng $(α)$ là:

$- 10 (x - 0) + 4 (y - 0) + 6 (z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow - 10 x + 4 y + 6 z + 6 = 0$

$\Leftrightarrow - 5 x + 2 y + 3 z + 3 = 0$

Chọn (B)

Bài 8 trang 95 SGK Hình học 12: Cho ba điểm

A (0; 2; 1), B (3; 0; 1), C (1; 0; 0)

. Phương trình mặt phẳng

(A B C)

là:

(A) $2 x - 3 y - 4 z + 2 = 0$

(B) $2 x + 3 y - 4 z - 2 = 0$

(D) $2 x - 3 y - 4 z + 1 = 0$ .

Phương pháp giải:

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C)$ là: $\vec{n} = [\vec{A B}; \vec{A C}]$

Lời giải:

$\vec{A B} = (3; - 2; 0), \vec{A C} = (1; - 2; - 1)$

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C)$ là:

$\vec{n} = [\vec{A B}; \vec{A C}] = (2; 3; - 4)$

Phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là:

$2 (x - 0) + 3 (y - 2) - 4 (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x + 3 y - 4 z - 2 = 0$

Chọn (B).

Bài 9 trang 95 SGK Hình học 12: Gọi $(α)$ là mặt phẳng cắt ba trục toạ độ tại $3$ điểm $M (8; 0; 0), N (0; - 2; 0), P (0; 0; 4)$ . Phương trình của $(α)$ là:

(A) $\frac{x}{8} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{4} = 0$ ;

(B) $\frac{x}{4} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{2} = 1$ ;

(D) $x - 4 y + 2 z - 8 = 0$ .

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $A (a; 0; 0); B (0; b; 0); C (0; 0; c)$ có dạng phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng $(α)$ dưới dạng đoạn chắn là:

$\frac{x}{8} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow x - 4 y + 2 z - 8 = 0$

Chọn (D).

Bài 10 trang 95 SGK Hình học 12: Cho ba mặt phẳng

(α)

x + y + 2 z + 1 = 0

;

(β) :

x + y - z + 2 = 0

;

(γ) :

x - y + 5 = 0

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) $(α) ⊥ (β)$ ; (B) $(γ) ⊥ (β)$ ;

$(C) (α) / / (γ)$ ; (D) $(α) ⊥ (γ)$ .

Phương pháp giải:

$(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow {\vec{n}}_{(α)} . {\vec{n}}_{(β)} = 0$

$(α) / / (β) \Leftrightarrow {\vec{n}}_{(α)}, {\vec{n}}_{(β)}$ cùng phương.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} {\vec{n}}_{(α)} = (1; 1; 2) \\ {\vec{n}}_{(β)} = (1; 1; - 1) \\ {\vec{n}}_{(γ)} = (1; - 1; 0) \\ {\vec{n}}_{(α)} . {\vec{n}}_{(β)} = 1.1 + 1.1 + 2 (- 1) = 0 \Rightarrow (α) ⊥ (β) \\ {\vec{n}}_{(β)} . {\vec{n}}_{(γ)} = 1.1 + 1. (- 1) - 1.0 = 0 \Rightarrow (β) ⊥ (γ) \\ {\vec{n}}_{(α)} . {\vec{n}}_{(γ)} = 1.1 + 1. (- 1) + 2.0 = 0 \Rightarrow (α) ⊥ (γ) \end{array}$

Vậy các mệnh đề A, B, D đúng.

Chọn (C).

Bài 11 trang 96 SGK Hình học 12: Cho đường thẳng

△

đi qua điểm

M (2; 0; - 1)

và có vectơ chỉ phương

\vec{a} = (4; - 6; 2)

. Phương trình tham số của đường thẳng

△

là:

$(A) {\begin{matrix} x = - 2 + 4 t \\ y = - 6 t \\ z = 1 + 2 t \end{matrix}$ $(B) {\begin{matrix} x = - 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = 1 + t \end{matrix}$ ;

$(C) {\begin{matrix} x = 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = - 1 + t \end{matrix}$ ; $(D) {\begin{matrix} x = 4 + 2 t \\ y = - 6 - 3 t \\ z = 2 + t \end{matrix}$ .

Phương pháp giải:

Đường thẳng d đi qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$ có phương trình tham số: ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases} (t \in R)$

Lời giải:

Ta có: $\vec{a} = (4; - 6; 2) = 2 (2; - 3; 1)$ $\Rightarrow \vec{a^{'}} = (2; - 3; 1)$ cũng là VTCP của đường thẳng $Δ$ .

Vậy phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là: ${\begin{matrix} x = 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = - 1 + t \end{matrix}$

Chọn (C)

Bài 12 trang 96 SGK Hình học 12: Cho

d

là đường thẳng đi qua điểm

A (1; 2; 3)

và vuông góc với mặt phẳng

(α) : 4 x + 3 y - 7 z + 1 = 0

Phương trình tham số của d là:

(A) ${\begin{matrix} x = - 1 + 4 t \\ y = - 2 + 3 t \\ z = - 3 - 7 t \end{matrix}$ ;

(B) ${\begin{matrix} x = 1 + 4 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 - 7 t \end{matrix}$ ;

(D) ${\begin{matrix} x = - 1 + 8 t \\ y = - 2 + 6 t \\ z = - 3 - 14 t . \end{matrix}$

Phương pháp giải:

Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $α$ nên có véc tơ chỉ phương là: ${\vec{u}}_{(d)} = {\vec{n}}_{(α)}$

Lời giải:

Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $α$ nên có véc tơ chỉ phương là: ${\vec{u}}_{(d)} = {\vec{n}}_{(α)} = (4; 3; - 7)$

Phương trình tham số của $d$ là: ${\begin{matrix} x = 1 + 4 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 - 7 t \end{matrix}$

Chọn (B)

Bài 13 trang 96 SGK Hình học 12: Cho hai đường thẳng

$d_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 + 4 t \end{cases}$ và $d_{2} : {\begin{cases} x = 3 + 4 t^{'} \\ y = 5 + 6 t^{'} \\ z = 7 + 8 t^{'} \end{cases}$

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) d1⊥ d2 (B) d1 // d2

Phương pháp giải:

Gọi $\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}$ lần lượt là VTCP của $d_{1}; d_{2}$ .

Nếu $\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}$ cùng phương thì $d_{1}; d_{2}$ hoặc song song hoặc trùng nhau.

Lấy M bất kì thuộc $d_{1}$ ,

Nếu $M \in d_{2} \Rightarrow d_{1} \equiv d_{2}$

Nếu $M \notin d_{2} \Rightarrow d_{1} / / d_{2}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{u_{1}} = (2; 3; 4); \vec{u_{2}} = (4; 6; 8) \Rightarrow \vec{u_{2}} = 2 \vec{u_{1}}$

Lấy $M (1; 2; 3) \in d_{1}$ , ta dễ thấy $M \in d_{2}$ .

Vậy $d_{1} \equiv d_{2}$ .

Chọn (C).

Bài 14 trang 97 SGK Hình học 12: Cho mặt phẳng

(α) : 2 x + y + 3 z + 1 = 0

và đường thẳng

d

có phương trình tham số:

${\begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 1. \end{matrix}$

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) $d ⊥ (α)$ ;

(B) $d$ cắt $(α)$ ;

(D) $d \subset (α)$ .

Phương pháp giải:

Gọi $\vec{n}; \vec{u}$ lần lượt là VTPT của $(α)$ và VTCP của đường thẳng d. Kiểm tra mối quan hệ giữa hai vector này.

Lời giải:

Mặt phẳng $(α)$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 1; 3)$

Đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương $\vec{u} = (1; - 2; 0)$

\vec{n} . \vec{u} = 2.1 + 1. (- 2) + 3.0 = 0

Suy ra hoặc $d / / (α)$ hoặc $d \subset (α)$

Chọn $M (- 3; 2; 1) \in d$ thay tọa độ của $M$ vào phương trình mặt phẳng $(α)$ ta được:

$2. (- 3) + 2 + 3.1 + 1 = 0$ do đó $M \in (α)$

Vậy $d \subset (α)$

Chọn (D)

Bài 15 trang 97 SGK Hình học 12: Cho

(S)

là mặt cầu tâm

I (2; 1; - 1)

và tiếp xúc với mặt phẳng

(α)

có phương trình :

2 x - 2 y - z + 3 = 0

Bán kính của $(S)$ là:

(A) $2$ ; (B) $\frac{2}{3}$ ; (C) $\frac{4}{3}$ ; (D) $\frac{2}{9}$ .

Phương pháp giải:

Bán kính của mặt cầu $(S)$ là: $R = d (I; (α))$

Lời giải:

Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:

$R = d (I; (α)) = \frac{| 2.2 - 2.1 - (- 1) + 3 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{6}{3} = 2$

Chọn (A).

Các dạng toán về đường thẳng và mặt phẳng

1. Kiến thức cần nhớ

a) Phương trình mặt phẳng.

Mặt phẳng đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có VTPT $\vec{n} = (a; b; c)$ thì có phương trình: $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$

b) Phương trình đường thẳng.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{u} = (a; b; c)$ làm VTCP thì có phương trình tham số ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases} (t \in R)$

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng.

Phương trình tổng quát của đường thẳng: ${\begin{cases} a x + b y + c z + d = 0 \\ a^{'} x + b^{'} y + c^{'} z + d^{'} = 0 \end{cases} (a : b : c \neq a^{'} : b^{'} : c^{'})$

ở đó $\vec{n} = (a; b; c), \vec{n^{'}} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ là các VTPT của hai mặt phẳng có phương trình như trên.

Khi đó $\vec{u} = [\vec{n}, \vec{n^{'}}]$ là VTCP của đường thẳng.

d) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}$ . Khi đó:

+) $d / / (P) \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{u} ⊥ \vec{n} \\ M \in d, M \notin (P) \end{cases}$

+) $d \subset (P) \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{u} ⊥ \vec{n} \\ M \in d, M \in (P) \end{cases}$

+) $d ⊥ (P) \Leftrightarrow \vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$

+) $d$ cắt $(P)$ thì tọa độ giao điểm thỏa mãn ${\begin{cases} p t d \\ p t (P) \end{cases}$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp:

- Gọi tọa độ của giao điểm theo tham số của đường thẳng.

- Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng, tìm tham số suy ra điểm cần tìm.

Dạng 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp:

- Tìm các VTPT $\vec{n}$ của mặt phẳng, VTCP $\vec{u}$ của đường thẳng.

- Dựa vào mối quan hệ của $\vec{n}, \vec{u}$ để kết luận:

+ Nếu $\vec{n}, \vec{u}$ cùng phương thì $(P) ⊥ d$

+ Nếu $\vec{n}, \vec{u}$ có phương vuông góc thì $(P) / / d$ hoặc $d \subset (P)$

Trường hợp $d \subset (P)$ sẽ xảy ra nếu thêm điều kiện một điểm thuộc $d$ thì thuộc $(P)$ .

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng.

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm đi qua.

- Tìm một VTPT của mặt phẳng.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT tìm được ở trên.

Một số dạng phương trình mặt phẳng:

+) Đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng.

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$ .

- Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$ thì $(P)$ nhận $\vec{n_{P}} = \vec{u_{d}}$ làm VTPT.

+) Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng khác.

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và song song với đường thẳng $d, d^{'}$ .

- $(P)$ song song với đường thẳng $d, d^{'}$ nên $(P)$ nhận $\vec{n_{P}} = [\vec{u_{d}}, \vec{u_{d^{'}}}]$ làm VTPT.

+) Đi qua hai điểm và song song với đường thẳng.

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A, B$ và song song với đường thẳng $d$ .

- $(P)$ đi qua $A, B$ và song song với đường thẳng $d$ nên nó đi qua $A$ và nhận $\vec{n_{P}} = [\vec{A B}, \vec{u_{d}}]$

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng.

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm đi qua.

- Tìm một VTCP của đường thẳng.

- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có VTCP như trên.

Một số dạng phương trình đường thẳng liên quan đến mặt phẳng.

+) Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$

- Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì nó nhận $\vec{u_{d}} = \vec{n_{P}}$ làm VTCP.

+) Hình chiếu của một đường thẳng trên một mặt phẳng.

- Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $(P)$

( $(Q)$ đi qua điểm $M \in d$ và nhận $\vec{n_{Q}} = [\vec{u_{d}}, \vec{n_{P}}]$ làm VTPT).

- Đường thẳng $d^{'}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P), (Q)$ nên $d^{'} : {\begin{cases} (P) \\ (Q) \end{cases}$

+) Đường thẳng đi qua một điểm, vuông góc với đường thẳng và song song với mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ , vuông góc với $d^{'}$ và song song với mặt phẳng $(P)$ .

- $d ⊥ d^{'}, d / / (P) \Rightarrow \vec{u_{d}} = [\vec{u_{d^{'}}}, \vec{n_{P}}]$

Phương trình mặt cầu trong không gian

1. Kiến thức cần nhớ

- Dạng 1: Phương trình chính tắc của mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ và bán kính $R$ là:

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ (1)

- Dạng 2: Phương trình tổng quát của mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$ (2)

Phương trình (2) có tâm $I (- a; - b; - c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu:

- Mặt cầu có phương trình dạng ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ có tâm $(a; b; c)$ và bán kính $R$ .

- Mặt cầu có phương trình dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$ có tâm $I (- a; - b; - c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu.

Phương pháp chung:

Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.

- Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo dạng 1 nêu ở trên.

Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng khai triển.

- Gọi mặt cầu có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$

- Sử dụng điều kiện bài cho để tìm $a, b, c, d$ .

Một số bài toán hay gặp:

- Viết phương trình mặt cầu với tâm và bán kính đã cho.

- Mặt cầu có đường kính $A B$ : tâm là trung điểm của $A B$ và bán kính $R = \frac{A B}{2}$ .

- Mặt cầu đi qua $4$ điểm $A, B, C, D$ :

* Cách 1:

+) Gọi mặt cầu có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$

+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm $a, b, c, d$ .

*Cách 2:

+) Gọi I(a,b,c) là tâm của mặt cầu.

+) Lập hệ phương trình

${\begin{cases} I A = I B \\ I A = I C \\ I A = I D \end{cases}$

tìm a, b, c.

+) Bán kính $R = I A$ .

* Cách 3:

+) Tìm mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, AD. Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm của AB và nhận AB làm một vectơ pháp tuyến.

+) Tâm mặt cầu là giao của 3 mặt phẳng đó.

+) Bán kính $R = I A$ .

Dạng 3: Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước.

- Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu.

Các dạng toán về mặt cầu và mặt phẳng

1. Kiến thức cần nhớ

Cho mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ . Khi đó:

- $(S) \cap (P) = \emptyset \Leftrightarrow d (I, (P)) > R .$

- $(S) \cap (P) = {H} \Leftrightarrow d (I, (P)) = R .$

ở đó, $H$ là tiếp điểm, $(P)$ là tiếp diện và $O H ⊥ (P)$ tại $H .$

- $(S) \cap (P) = C (H; r) \Leftrightarrow d (I, (P)) < R .$

ở đó : với $H$ là hình chiếu của $I$ trên $(P)$ .

Đặc biệt: $d (I, (P)) = 0$ hay $(P)$ đi qua $I$ thì $(S) \cap (P) = C (I; R) .$

$C (I; R)$ được gọi là đường tròn lớn, $(P)$ là mặt phẳng kính.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính bán kính mặt cầu dựa vào các điều kiện bài cho:

+ Tiếp xúc mặt phẳng nếu $d (I, (P)) = R$

+ Cắt mặt phẳng theo giao tuyến và đường tròn bán kính $r$ thì $R^{2} = r^{2} + d^{2} (I, (P))$

- Bước 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc, giao với mặt cầu cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm VTPT của mặt phẳng $(P)$ dựa vào điều kiện bài cho.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm $H$ thì $\vec{n_{P}} = \vec{I H}$

+ Trường hợp $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q) : a x + b y + c z + d = 0$ ( $a, b, c, d$ là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính $r$ thì $\vec{n_{P}} = \vec{n_{Q}}$ tức là $(P) : a x + b y + c z + d^{'} = 0$ .

và $d (I, (P)) = \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ .

- Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm $H$ : Xác định điểm $H$ rồi lập phương trình mặt phẳng.

+ Trường hợp $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q) : a x + b y + c z + d = 0$ ( $a, b, c, d$ là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính $r$ :