Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12: Cho hệ toạ độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1),D(-2;1;-1)$

Bài 2 trang 91 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có đường kính là $AB$ biết rằng $A(6;2;-5),B(-4;0;7)$.

Bài 3 trang 92 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(-2;6;3),B(1;0;6),C(0;2;-1),D(1;4;0)$

Bài 4 trang 92 SGK Hình học 12: Lập phương trình tham số của đường thẳng:

Bài 5 trang 92 SGK Hình học 12: Cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=100$ và mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $2x-2y-z+9=0$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn $(C)$.

Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn $(C)$.

Lời giải:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3,-2,1)$ và bán kính $R=10$.

Khoảng cách từ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ là:

$h=d(I,\alpha )$ = $\left|\frac{2.3-2.(-2)-1+9}{\sqrt{2^2+{(-2)}^2+{(-1)}^2}}\right|=\frac{18}{3}=6$

Gọi $r$ là bán kính đường tròn (C), áp dụng định lí Pitago ta có: $r=\sqrt{R^2-h^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$

Tâm $K$ của đường tròn $(C)$ là hình chiếu vuông góc của tâm $I$ của mặt cầu trên mặt phẳng $(\alpha )$.

Mặt phẳng $((\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2,-2.-1)$.

Đường thẳng $d$ qua $I$ và vuông góc với $(\alpha )$ nhận $\overrightarrow{n}=(2,-2,-1)$ làm vectơ chỉ phương và có phương trình $d$ : $\{\begin{array}{c}x=3+2t\hfill \\ y=-2-2t\hfill \\ z=1-t\hfill \end{array}$

$K\in d\Rightarrow K\left(3+2t;-2-2t;1-t\right);K\in \left(\alpha \right)$ nên thay tọa độ điểm K vào phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ ta có: 

$2.(3+2t)-2.(-2-2t)-(1-t)+9=0\Rightarrow t=-2$

$\Rightarrow K\left(-1;2;3\right)$

Bài 6 trang 92 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $3x+5y-z-2=0$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{c}x=12+4t\hfill \\ y=9+3t\hfill \\ z=1+t.\hfill \end{array}$

Bài 7 trang 92 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $A(-1;2;-3)$, vectơ $\overrightarrow{a}=(6;-2;-3)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $\{\begin{array}{c}x=1+3t\hfill \\ y=-1+2t\hfill \\ z=3-5t.\hfill \end{array}$

Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ tiếp xúc với mặt cầu

(S): $x^2+y^2+z^2-10x+2y+26z+170=0$

và song song với hai đường thẳng

$d:\{\begin{array}{l}x=-5+2t\\ y=1-3t\\ z=-13+2t\end{array}{d}^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=-7+3t^{\prime }\\ y=-1-2t^{\prime }\\ z=8\end{array}$

Lời giải:

Đường thẳng ${\displaystyle d}$ có vectơ chỉ phương ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(2;-3;2)}$

${\displaystyle d^{\prime }}$ có vectơ chỉ phương ${\displaystyle \overrightarrow{a^{\prime }}=(3;-2;0)}$

Mặt phẳng ${\displaystyle (\alpha )}$ song song với ${\displaystyle d}$ và ${\displaystyle d^{\prime }}$ nhận vectơ ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right]=(4;6;5)}$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng ${\displaystyle (\alpha )}$ có dạng: ${\displaystyle 4x+6y+5z+D=0}$

Mặt cầu ${\displaystyle (S)}$ có tâm ${\displaystyle I(5;-1;-13)}$ và bán kính ${\displaystyle R=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+1^2+{\left(-13\right)}^2-170}=\sqrt{25}=5}$.

Để ${\displaystyle (\alpha )}$ tiếp xúc với mặt cầu ${\displaystyle (S)}$, ta phải có:

${\displaystyle d(I,(\alpha ))=R}$ ${\displaystyle \iff \frac{\left|4.5+6(-1)+5(-13)+D\right|}{\sqrt{4^2+6^2+5^2}}=5}$ ${\displaystyle \iff \left|D-51\right|=5\sqrt{77}}$

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) ${\displaystyle D-51=5\sqrt{77}}$ ${\displaystyle \Rightarrow ({\alpha }_1):4x+6y+5z+51+5\sqrt{77}=0}$

+) ${\displaystyle D-51=-5\sqrt{77}}$ ${\displaystyle \Rightarrow ({\alpha }_2):4x+6y+5z+51-5\sqrt{77}=0}$

Bài 9 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ $Oxyz$, tìm toạ độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M(1;-1;2)$ trên mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+2z+11=0$

Điểm $H$, hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mp $(\alpha )$ chính là giao điểm của đường thẳng $∆$ đi qua $M$ và vuông góc với $(\alpha )$. Mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-1;2)$.

Đường thẳng $∆$ đi qua M và vuông góc với mp$(\alpha )$ nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của $∆$:$\{\begin{array}{c}x=1+2t\hfill \\ y=-1-t\hfill \\ z=2+2t\hfill \end{array}$

$H\in \mathrm{\Delta }\Rightarrow H\left(1+2t;-1-t;2+2t\right)$. thay các tọa độ điểm H vào phương trình $mp(\alpha )$, ta có:

$2(1+2t)-(-1-t)+2(2+2t)+11=0$ $\iff t=-2$

Từ đây ta được $H(-3;1;-2)$.

Bài 10 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $M(2;1;0)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+3y-z-27=0$. Tìm toạ độ điểm $M^{\prime }$ đối xứng với $M$ qua $(\alpha )$.

Lời giải:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(\alpha )$ và $M^{\prime }$ là điểm đối xứng của $M$ qua $(\alpha )$ thì $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $M{M}^{\prime }$. Xét đường thẳng $∆$ qua $M$ và $∆$ vuông góc với $(\alpha )$.

Phương trình $∆$ đi qua M và nhận ${\overrightarrow{n}}_{\left(\alpha \right)}=\left(1;3;-1\right)$ là 1 VTCP có dạng:$\{\begin{array}{c}x=2+t\hfill \\ y=1+3t\hfill \\ z=-t\hfill \end{array}$

Gọi $H=\mathrm{\Delta }\cap \left(\alpha \right)\Rightarrow H\left(2+t;1+3t;-t\right)$

Thay tọa độ điểm H vào phương trình $(\alpha )$ ta được: $2+t+3(1+3t)-(-t)-27=0\Rightarrow 11t=22\Rightarrow t=2$

$\Rightarrow H(4;7;-2)$ 

$M$ và $M^{\prime }$ đối xứng nhau qua $(\alpha )$ nên H là trung điểm của MM'

$\{\begin{array}{l}{x}_{M^{\prime }}=2x_H-x_M=6\\ y_{M^{\prime }}=2y_H-y_M=13\\ z_{M^{\prime }}=2z_H-z_M=-4\end{array}\Rightarrow M^{\prime }\left(6;13;-4\right)$

Bài 11 trang 93 SGK Hình học 12: Viết phương trình đường thẳng $∆$ vuông góc với mặt phẳng toạ độ $(Oxz)$ và cắt hai đường thẳng

$d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-4+t\\ z=3-t\end{array}{d}^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1-2t^{\prime }\\ y=-3+t^{\prime }\\ z=4-5t^{\prime }\end{array}$

Lời giải:

Gọi $M$ là điểm thuộc đường thẳng $d$, toạ độ của $M$ là $M(t;-4+t;3-t)$. $N$ là điểm thuộc đường thẳng $d^{\prime }$, toạ độ của $N$ là $N(1-2t^{\prime };-3+t^{\prime };4-5t^{\prime })$.

Ta có: $\overrightarrow{MN}=(1-2t^{\prime }-t;1+t^{\prime }-t;1-5t^{\prime }+t)$

Vì $MN\perp (Oxz)$ nên $MN\perp Ox$ và $MN\perp Oz$

$Ox$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{i}=(1;0;0)$;

$Oz$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{j}=(0;0;1)$.

$MN\perp Ox$

$\iff (1-2t^{\prime }-t).1+(1+t^{\prime }-t).0+(1-5t^{\prime }+t).0=0$

$\iff 1-2t^{\prime }-t=0$                 (1)

$MN\perp Oz$

$\iff (1-2t^{\prime }-t).0+(1+t^{\prime }-t).0+(1-5t^{\prime }+t).1=0$

$\iff 1-5t^{\prime }+t=0$                 (1)

Từ (1) và (2) ta có hệ$\{\begin{array}{l}1-2t^{\prime }-t=0\\ 1-5t^{\prime }+t=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{3}{7}\\ t^{\prime }=\frac{2}{7}\end{array}$

và được toạ độ của M$\left(\frac{3}{7};-\frac{25}{7};\frac{18}{7}\right)$ , N$\left(\frac{3}{7};-\frac{19}{7};\frac{18}{7}\right)$

Từ đây ta có $\overrightarrow{MN}=\left(0;\frac{6}{7};0\right)=\frac{6}{7}\left(0;1;0\right)$ và được phương trình đường thẳng $MN$ đi qua M và nhận $\overrightarrow{u}=\left(0;1;0\right)$ làm 1 VTCP là:$\{\begin{array}{c}x=\frac{3}{7}\hfill \\ y=-\frac{25}{7}+t\hfill \\ z=\frac{18}{7}\hfill \end{array}(t\in R)$

Bài 12 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ $Oxyz$, tìm toạ độ điểm $A^{\prime }$ đối xứng với điểm $A(1;-2;-5)$ qua đường thẳng $∆$ có phương trình $\{\begin{array}{c}x=1+2t\hfill \\ y=-1-t\hfill \\ z=2t.\hfill \end{array}$

Lời giải:

Gọi $H\left(1+2t;-1-t;2t\right)\in \mathrm{\Delta }$ là hình chiếu của $A$ trên $\mathrm{\Delta }$.

Có $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=\left(2;-1;2\right)$ , $\overrightarrow{AH}=\left(2t;1-t;2t+5\right)$

$\overrightarrow{AH}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}\iff \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=0$ $\iff 2.2t-1.\left(1-t\right)+2.\left(2t+5\right)=0$ $\iff 4t-1+t+4t+10=0$ $\iff 9t+9=0\iff t=-1$ $\Rightarrow H\left(-1;0;-2\right)$

Vì A' đối xứng với A qua $\mathrm{\Delta }$ nên H là trung điểm của AA'. Ta có:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{x}_{A^{\prime }}=2x_H-x_A\\ y_{A^{\prime }}=2y_H-y_A\\ z_{A^{\prime }}=2z_H-z_A\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_{A^{\prime }}=2.\left(-1\right)-1=-3\\ y_{A^{\prime }}=2.0-\left(-2\right)=2\\ z_{A^{\prime }}=2.\left(-2\right)-\left(-5\right)=1\end{array}\\ \Rightarrow A^{\prime }\left(-3;2;1\right)\end{array}$

Cách khác:

Ta có thể tìm tọa độ điểm $H$ như sau:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $△$. Khi đó $H$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$.

Xét mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và $(P)\perp △$. Khi đó $H=(P)\bigcap △$.

Vì $\overrightarrow{u}(2;-1;2)$ là vectơ chỉ phương của $△$ nên $\overrightarrow{u}$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: $2(x-1)-(y+2)+2(z+5)=0$ hay $2x-y+2z+6=0$      (1)

$H=\mathrm{\Delta }\cap \left(P\right)\Rightarrow H\in \mathrm{\Delta }\Rightarrow H\left(1+2t;-1-t;2t\right)$, thay tọa độ điểm H vào phương trình mặt phẳng (P) ta có: $2(1+2t)+(1+t)+4t+6=0$

$\Rightarrow 9t+9=0\Rightarrow t=-1$ $\Rightarrow H(-1;0;-2)$.

Bài tập trắc nghiệm (trang 94 - 97 SGK Hình học 12)

Bài 1 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian $Oxyz$ cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=(-1;1;0)$, $\overrightarrow{b}=(1;1;0)$ và $\overrightarrow{c}=(1;1;1)$

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2}$;               (B) $\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{3}$;

(C) $\overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}$;                     (D) $\overrightarrow{b}\mathrm{\perp }\overrightarrow{c}$.

Ta có: 

$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}\\ \left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(-1\right).1+1.1+0.0=0\Rightarrow \overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=1.1+1.1+0.1=2\ne 0\end{array}$

Do đó A đúng, B đúng, C đúng, D sai.

Chọn (D).

Bài 2 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian $Oxyz$ cho ba vectơ

$\overrightarrow{a}=(-1;1;0)$, $\overrightarrow{b}=(1;1;0)$ và $\overrightarrow{c}=(1;1;1)$.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}=1;$

(B)  $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương;

(C) cos ($\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$)= $\frac{2}{\sqrt{6}}$;

(D) $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$ = $\overrightarrow{0}$

Lời giải:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}=-1.1+1.1+0.1=0\Rightarrow$ A sai.

Dễ thấy không tồn tại hằng số $k\ne 0$ để $\iff \overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ nên B sai.

$\cos \left(\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}\right)={\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}}{\left|\overrightarrow{b}\right|.\left|\overrightarrow{c}\right|}}$ $={\displaystyle \frac{1.1+1.1+0.1}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}.\sqrt{1^2+1^2+1^2}}}$ $={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}}}$

$\Rightarrow$ C đúng.

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ $=\left(-1+1+1;1+1+1;0+0+1\right)$ $=\left(1;3;1\right)\ne \overrightarrow{0}\Rightarrow D$ sai.

Chọn (C).

Bài 3 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian $Oxyz$ cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=(-1;1;0)$, $\overrightarrow{b}=(1;1;0)$ và $\overrightarrow{c}=(1;1;1)$

Cho hình bình hành $OADB$ có $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ ($O$ là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành $OADB$ là:

(A) $(0;1;0)$                      (B) $(1;0;0)$

(C) $(1;0;1)$                      (D) $(1;1;0)$.

Lời giải:

Gọi $I$ là tâm của hình bình hành ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}\\ \Rightarrow \overrightarrow{OI}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(0;2;0\right)=\left(0;1;0\right)\end{array}$

Vậy $I(0;1;0)$

Chọn (A).

Cách khác:

$\overrightarrow{OA}=\left(-1;1;0\right)\Rightarrow A\left(-1;1;0\right)$

$\overrightarrow{OB}=\left(1;1;0\right)\Rightarrow B\left(1;1;0\right)$

Vì $I$ là tâm hình bình hành nên $I$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_I={\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}}={\displaystyle \frac{-1+1}{2}}=0\\ y_I={\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}={\displaystyle \frac{1+1}{2}}=1\\ z_I={\displaystyle \frac{z_A+z_B}{2}}={\displaystyle \frac{0+0}{2}}=0\end{array}$ $\Rightarrow I\left(0;1;0\right)$

Bài 4 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)$ và $D(1;1;1)$

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;

(B) Tam giác ABD là tam giác đều ;

(C) $AB\perp CD$ ;

(D) Tam giác $BCD$ là tam giác vuông.

Lời giải:

Ta có: phương trình đoạn chắn mặt phẳng (ABC) là: ${\displaystyle \frac{x}{1}}+{\displaystyle \frac{y}{1}}+{\displaystyle \frac{z}{1}}=1$ $\iff x+y+z-1=0$.

Dễ thấy điểm D không thuộc (ABC) nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Mệnh đề A đúng.

Ta có: 

$\begin{array}{l}AB=\sqrt{{\left(0-1\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{2}\\ AD=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2}=\sqrt{2}\\ BD=\sqrt{{\left(1-0\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2}=\sqrt{2}\\ \Rightarrow AB=AD=BD\end{array}$

Do đó tam giác ABD đều, mệnh đề B đúng.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AB}=(-1;1;0)\\ & \overrightarrow{CD}=(1;1;0)\\ & \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-1.1+1.1+0.0=0\end{array}$

Mệnh đề C đúng.

Chọn (D)

Bài 5 trang 95 SGK Hình học 12: Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)$ và $D(1;1;1)$

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Toạ độ điểm $G$ là trung điểm của $MN$ là:

(A) G $\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$ ;       (B) G $\left(\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)$ ;

(C) G $\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$ ;       (D) G $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

Lời giải:

M là trung điểm của AB $\Rightarrow M\left(\frac{1+0}{2};\frac{0+1}{2};\frac{0+0}{2}\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$

N là trung điểm của CD $\Rightarrow N\left(\frac{0+1}{2};\frac{0+1}{2};\frac{1+1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};1\right)$

G là trung điểm của MN $\Rightarrow G\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{2};\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{2};\frac{0+1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

Chọn (D)

Bài 6 trang 95 SGK Hình học 12: Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)$ và $D(1;1;1)$

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có bán kính là:

(A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;                          (B) $\sqrt{2}$ ;

(C) $\sqrt{3}$;                          (D) $\frac{3}{4}$ .

Lời giải:

Phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$

Mặt cầu đi qua $A,B,C,D$ nên ta có hệ:

$\{\begin{array}{c}1-2a+d=0(1)\hfill \\ 1-2b+d=0(2)\hfill \\ 1-2c+d=0(3)\hfill \\ 3-2a-2b-2c+d=0(4)\hfill \end{array}$

Lấy $(1)+(2)+(3)-(4)$ ta được: $d=0$

Thế lần lượt vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta suy ra: $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{2}$

Vậy bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Chọn (A).

Bài 7 trang 95 SGK Hình học 12: Cho mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(0;0;-1)$ và song song với giá của hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;3\right)$ và $\overrightarrow{b}=(3;0;5)$.

Phương trình của mặt phẳng $(\alpha )$ là:

(A) $5x-2y-3z-21=0$ ;

(B) $-5x+2y+3z+3=0$ ;

(C) $10x-4y-6z+21=0$ ;        

(D) $5x-2y-3z+21=0$ .

Phương pháp giải:

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{n}$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ thì 

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right]=(-10;4;6)$.

Phương trình của mặt phẳng $(\alpha )$ là:

$-10(x-0)+4(y-0)+6(z+1)=0$ 

$\iff -10x+4y+6z+6=0$

$\iff -5x+2y+3z+3=0$ 

Chọn (B)

Bài 8 trang 95 SGK Hình học 12: Cho ba điểm $A(0;2;1),B(3;0;1),C(1;0;0)$. Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là:

(A) $2x-3y-4z+2=0$

(B) $2x+3y-4z-2=0$

(C) $4x+6y-8z+2=0$

(D) $2x-3y-4z+1=0$.

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}=(3;-2;0),\overrightarrow{AC}=(1;-2;-1)$

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=(2;3;-4)$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là:

$2(x-0)+3(y-2)-4(z-1)=0$

$\iff 2x+3y-4z-2=0$

Chọn (B).

Bài 9 trang 95 SGK Hình học 12: Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng cắt ba trục toạ độ tại $3$ điểm $M(8;0;0),N(0;-2;0),P(0;0;4)$. Phương trình của $(\alpha )$ là:

(A) $\frac{x}{8}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{4}=0$;

(B) $\frac{x}{4}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1$;

(C) $x-4y+2z=0$;

(D) $x-4y+2z-8=0$.

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ dưới dạng đoạn chắn là:

$\frac{x}{8}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{4}=1\iff x-4y+2z-8=0$

Chọn (D).