Ứng dụng phương pháp tọa độ trong các hình không gian

Tưởng Thị Hồng Vân Ngày: 08-03-2024 Lớp 12

Tải xuống 8 3.5 K 7

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Ứng dụng phương pháp tọa độ trong các hình không gian Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 8 trang, tuyển chọn các bài tập Ứng dụng phương pháp tọa độ trong các hình không gian đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có lời giải, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Ứng dụng phương pháp tọa độ trong các hình không gian gồm các nội dung chính sau:

I. Phương pháp giải

- tóm tắt lý thuyết ngắn gọn;

- phương pháp giải chi tiết từng dạng bài tập.

II. Một số ví dụ/ Ví dụ minh họa

- gồm 5 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập trên có lời giải chi tiết.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong các hình không gian (ảnh 1)

Ứng dụng phương pháp tọa độ trong các hình không gian

I. Phương pháp giải

Thể tích tứ diện : ABCD : $V = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D}|$ .

Thể tích hình hộp : $A B C D . A' B' C' D'$ : $V = |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A A'}|$ .

Thể tích hình lăng trụ : $A B C . A' B' C'$ : $V = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A A'}|$ .

Góc giữa 2 đường thẳng: d có VTCP $\vec{u}$ và $d'$ có VTCP $\vec{v}$ thì:

$\cos (d; d') = |\cos (\vec{u}, \vec{v})| = \frac{|x . x' + y . y' + z . z'|}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} . \sqrt{x'^{2} + y'^{2} + z'^{2}}}$

Góc giữa 2 mặt phẳng: mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}'$ thì $\cos ((P), (Q)) = |\cos (\vec{n}, \vec{n}')|$ .

Góc giữa hai đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}$ : .

$\sin (d, (P)) = |\cos (\vec{u}, \vec{n})|$

Khoảng cách giữa hai điểm $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ và $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ :

$A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$ .

Khoảng cách từ $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ là:

$d (M_{0}; P) = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Khoảng cách từ điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến đường thẳng $d$ qua $A$ và có VTCP $\vec{u} = \vec{A B}$ :

$d (M_{0}; d) = \frac{|[\vec{A M_{0}}; \vec{u}]|}{|\vec{u}|}$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: $d_{1}$ qua $M_{1}$ và có VTCP $\vec{u_{1}}$ ; $d_{2}$ qua $M_{2}$ và có VTCP $\vec{u_{2}}$ :

. $d (d_{1}; d_{2}) = \frac{|[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}}|}{|[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}]|}$

II. Ví dụ minh họa

Bài toán 1. Trong không gian $O x y z$ cho tứ diện ABCD có bốn điểm $A (2; 4; - 1), B (1; 4; - 1), C (2; 4; 3), D (2; 2; - 1)$ .

a) Chứng minh đường thẳng AB và AC,AB và AD,AD và AC vuông góc nhau.

b) Lập phương trình đường vuông góc chung $d$ của AB và CD .

c) Tính góc hợp bởi $d$ và mp ( ABD ).

GiảI

a) Ta có $\vec{A B} = (- 1; 0; 0), \vec{A C} = (0; 0; 4), \vec{A D} = (0; - 2; 0)$ nên

$\vec{A B} . \vec{A C} = 0, \vec{A B} . \vec{A D} = 0, \vec{A D} . \vec{A C} = 0$ .

Vậy $A B ⊥ A C, A B ⊥ A D, A D ⊥ A C$ .

b) Ta có $A B ⊥ A C, A D \Rightarrow A B ⊥ (A C D)$ .

Đường thẳng CD nằm trên mặt phẳng ( ACD ) mà mặt phẳng ( ACD ) vuông góc với AB nên đường vuông góc chung d của AD và CD là đường thẳng qua A và vuông góc với CD

Vậy đường thẳng d có vectơ chỉ phương: $\vec{u} = [\vec{A B}, \vec{C D}] = (0; - 4; 2)$ hay $(0; - 2; 1)$