Trả lời nhanh
Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao là góc giữa cạnh bên đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Với đường cao SH vuông góc đáy, muốn góc giữa SB và mặt phẳng (SHA), em hạ BK vuông góc giao tuyến AH. Khi ấy BK vuông góc cả mặt phẳng, K là hình chiếu của B, và góc cần tìm là góc tại S của tam giác vuông SBK.
Cách dựng từng bước
Gọi φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Nếu d cắt (P) hoặc d song song với một đường nằm trong (P), ta chiếu d vuông góc xuống (P) được d’. Góc giữa d và d’ chính là φ, lấy từ 0 độ đến 90 độ. Đường cao của hình chóp cho sẵn một đường vuông góc đáy, nên hình chiếu thường rơi vào một đoạn nằm trong đáy.
Bài đúng dạng “cạnh bên SB và mặt phẳng chứa đường cao” làm theo sáu bước:
- Gọi H là chân đường cao, SH vuông góc mặt đáy. Mặt phẳng chứa đường cao và một điểm A của đáy là (SHA). Giao tuyến của mặt phẳng này với đáy là đường thẳng AH.
- Trong mặt đáy, dựng BK vuông góc AH tại K.
- SH vuông góc đáy nên SH vuông góc BK. BK lại vuông góc AH. AH và SH cắt nhau, cùng nằm trong (SHA), nên BK vuông góc (SHA).
- K là hình chiếu vuông góc của B trên (SHA). Điểm S đã nằm trên mặt phẳng, nên hình chiếu của đường SB là đường SK.
- Tam giác SBK vuông tại K. Góc tại S chính là φ.
- Tính hai cạnh rồi chọn tỉ số đúng với câu hỏi. Sin φ bằng BK chia SB, côsin φ bằng SK chia SB, tang φ bằng BK chia SK.
Em kiểm tra lại bằng cách thế số vào định lí Pythagore: SB2 phải bằng SK2 + BK2. Nếu lệch, chân đường vuông góc đang lấy sai. Một số bài không cần gọi tên (SHA): hễ tìm được một đường từ B vuông góc mặt phẳng đang xét thì tam giác vuông dựng được ngay.
| Đề hỏi | Tỉ số trong tam giác SBK | Cần tính trước |
|---|---|---|
| sin φ | BK / SB | độ dài đường vuông góc và cạnh bên |
| cos φ | SK / SB | hình chiếu SK, hoặc lấy căn sau khi có sin |
| tan φ | BK / SK | hai cạnh góc vuông, không bắt buộc tính SB |
| số đo φ | một trong ba tỉ số | ưu tiên khi ra 30 độ, 45 độ hoặc 60 độ |
Năm ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Đường cao trùng một cạnh bên
Hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại A, AB = AC = a. Cạnh SA vuông góc đáy và SA = a. Tính góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (SAC). Mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng chứa đường cao SA.
Giao tuyến của (SAC) với đáy là AC. Từ B hạ đường vuông góc xuống AC: vì góc ở A của đáy là góc vuông, AB vuông góc AC, nên chân đường vuông góc là A. AB cũng vuông góc SA. Vậy AB vuông góc (SAC). Hình chiếu của SB trên (SAC) là SA.
Tam giác SAB vuông tại A, hai cạnh góc vuông đều bằng a, nên SB = a√2 và góc tại S bằng 45 độ. Vậy góc giữa SB và (SAC) bằng 45 độ. Thử lại: sin 45 độ = AB/SB = a/(a√2) = √2/2, đúng với góc 45 độ.
Ví dụ 2. Hình chóp đều, góc với mặt phẳng đường chéo
Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a√2. Tính góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (SAC).
Gọi O là tâm đáy. SO là đường cao. Mặt phẳng (SAC) chứa đường cao vì O nằm trên AC. Đáy là hình vuông nên BO vuông góc AC. BO lại vuông góc SO, nên BO vuông góc (SAC). Chân hình chiếu của B là O, hình chiếu của SB là SO.
Đường chéo AC = a√2, nên AO = a√2 / 2. Cạnh bên SA = a√2 nên SO2 = SA2 − AO2 = 2a2 − a2/2 = 3a2/2. Trong tam giác SBO vuông tại O, BO = a√2 / 2 và SB = a√2, nên sin φ = BO/SB = (a√2 / 2)/(a√2) = 1/2. Vậy φ = 30 độ.
Ví dụ 3. Côsin khi đáy là hình chữ nhật
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB tùy ý, AD = a, SA vuông góc đáy và SA = a√3. Tính côsin góc giữa SD và mặt phẳng (SAB).
AD vuông góc AB và AD vuông góc SA, nên AD vuông góc (SAB). Hình chiếu của D trên (SAB) là A, hình chiếu của SD là SA. Tam giác SAD vuông tại A: SD2 = SA2 + AD2 = 3a2 + a2 = 4a2, nên SD = 2a. Côsin của góc tại S bằng cạnh kề SA chia huyền SD, tức a√3 / 2a = √3/2. Góc này bằng 30 độ. Cạnh AB không đi vào kết quả, vì đường vuông góc dùng ở đây là AD.
Ví dụ 4. Sin khi góc giữa một cạnh bên và đáy đã cho
Hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, AB = BC = a. SA vuông góc đáy. Biết SC tạo với đáy một góc 45 độ. Tính sin góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
Vì SA vuông góc đáy, góc giữa SC và đáy là góc giữa SC và hình chiếu AC, tức góc tại C của tam giác SAC vuông ở A. AC là huyền của đáy vuông cân tại B, AC = a√2. Tang của góc 45 độ bằng 1, nên SA/AC = 1, SA = a√2.
Mặt phẳng (SAC) có giao tuyến AC với đáy. Trung điểm của AB không cần dùng: từ B kẻ đường vuông góc tới AC. Với số này, tính trực tiếp trong hệ trục vuông góc cũng ra cùng một tỉ số. Đặt A tại gốc, B(a; 0; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; a√2). Mặt phẳng (SAC) có phương trình y = x. Khoảng cách từ B tới mặt phẳng này là a/√2, và đó là độ dài đoạn vuông góc BK. SB2 = SA2 + AB2 = 2a2 + a2 = 3a2, SB = a√3. Sin φ = BK/SB = (a/√2)/(a√3) = 1/√6 = √6/6.
Kiểm tra bằng tích vô hướng: vectơ SB = (a; 0; −a√2), vectơ pháp tuyến của mặt phẳng y = x là (−1; 1; 0). Sin φ = |−a| / (a√3 · √2) = 1/√6, khớp kết quả trên.
Ví dụ 5. Chân đường cao nằm trên một cạnh đáy
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Chân đường cao H là trung điểm của AB và SH = a. Tính tang góc giữa SC và mặt phẳng (SAB). Mặt phẳng (SAB) chứa đường cao SH vì H nằm trên AB.
Đặt A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), H(a/2; 0; 0), S(a/2; 0; a). Mặt phẳng (SAB) là mặt phẳng y = 0. Cạnh CB vuông góc AB và vuông góc SH, nên CB vuông góc (SAB). Hình chiếu của C là B, hình chiếu của SC là SB.
CB = a. SB2 = SH2 + HB2 = a2 + (a/2)2 = 5a2/4, nên SB = a√5 / 2. Tang của góc tại S bằng đối chia kề, tức CB/SB = a / (a√5 / 2) = 2/√5 = 2√5/5. Thử lại bằng sin: SC2 = SB2 + CB2 = 5a2/4 + a2 = 9a2/4, SC = 3a/2, sin φ = a/(3a/2) = 2/3. Khi ấy tang φ = sin/√(1 − sin2) = (2/3)/√(5/9) = 2/√5, đúng bằng 2√5/5.
Ba bài tự luyện
Bài 1. Giữ giả thiết ví dụ 1 nhưng hỏi sin của góc giữa SB và (SAC). Đáp số: √2/2, vì góc đã là 45 độ.
Bài 2. Hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy a, cạnh bên a√2. Tính sin góc giữa SB và (SAC). Đáp số: 1/2. Đây chính là sin của góc 30 độ ở ví dụ 2.
Bài 3. Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh 6, SA vuông góc đáy, SA = 8. Tính tang góc giữa SC và mặt đáy. Gợi ý: góc ấy là góc giữa SC và AC, trong tam giác SAC vuông tại A. AC = 6√2. Tang bằng SA/AC = 8/(6√2) = 2√2/3. Kiểm tra: 8/(6√2) nhân √2/√2 được 8√2/12 = 2√2/3.
Những chỗ dễ mất điểm
- Lấy nhầm góc giữa cạnh bên và đáy làm góc giữa cạnh bên và mặt bên. Hai góc ấy chỉ trùng khi hình chiếu trên đáy nằm đúng giao tuyến đang xét.
- Quên mất một nửa khi H là trung điểm. HB = a/2, không phải a. Bình phương (a/2) là a2/4, không phải a2/2.
- Dùng côsin trong khi đề hỏi tang, hoặc lấy cạnh huyền làm mẫu của tang. Tang chỉ là tỉ số hai cạnh góc vuông.
- Khai căn rồi rút gọn sai. 1/√6 = √6/6; 2/√5 = 2√5/5. Em nhân liên hợp trước khi khoanh đáp án trắc nghiệm.
- Chọn mặt phẳng không chứa đường cao. Nếu đề nói “mặt phẳng chứa đường cao” thì H và đường cao phải nằm trong mặt phẳng ấy. Không thấy H trong mặt phẳng là đang xét nhầm mặt.
Trước khi chốt đáp số, em viết một dòng thử lại: bình phương huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông, và tỉ số vừa tính khớp sin hoặc tang đã hỏi. Năm ví dụ ở trên đều đã qua bước này.
Câu hỏi thường gặp
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lấy ở đâu?
Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng. Nếu đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì góc bằng 90 độ; nếu song song hoặc nằm trong mặt phẳng thì góc bằng 0 độ.
Vì sao BK vuông góc với cả mặt phẳng chứa đường cao?
BK nằm trong đáy và vuông góc giao tuyến. Đường cao cũng vuông góc BK vì đường cao vuông góc mọi đường trong đáy. Hai đường cắt nhau cùng vuông góc BK nên cả mặt phẳng vuông góc BK.
Sin, côsin hay tang của góc cần dùng công thức nào?
Trong tam giác vuông tại K, cạnh BK đối diện góc ở S, cạnh SK kề, cạnh SB là huyền. Sin bằng BK/SB, côsin bằng SK/SB, tang bằng BK/SK.
Hình chiếu của cạnh bên có khi nào trùng một cạnh có sẵn?
Có. Nếu chân đường vuông góc từ đầu kia của cạnh bên rơi đúng một đỉnh, hình chiếu là cạnh nối đỉnh đó với giao điểm của cạnh bên và mặt phẳng.
Bài chỉ hỏi số đo thì làm tròn thế nào?
Ưu tiên đáp số đúng dạng căn hoặc góc đặc biệt 30 độ, 45 độ, 60 độ. Chỉ đổi ra độ gần đúng khi đề yêu cầu, và ghi rõ đã làm tròn.