a) ${\displaystyle \frac{5x-10}{x^2+7}}:(2x-4)$;

b) $(x^2-25):{\displaystyle \frac{2x+10}{3x-7}}$;

c) ${\displaystyle \frac{x^2+x}{5x^2-10x+5}}:{\displaystyle \frac{3x+3}{5x-5}}$;

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc chia hai phân thức: ${\displaystyle \frac{A}{B}}:{\displaystyle \frac{C}{D}}={\displaystyle \frac{A}{B}}.{\displaystyle \frac{D}{C}}$ với ${\displaystyle \frac{C}{D}}\ne 0$.

Lời giải:

a) ${\displaystyle \frac{5x-10}{x^2+7}}:(2x-4)$

$={\displaystyle \frac{5x-10}{x^2+7}}:{\displaystyle \frac{2x-4}{1}}$

$={\displaystyle \frac{5x-10}{x^2+7}}.{\displaystyle \frac{1}{2x-4}}$

$={\displaystyle \frac{5(x-2)}{x^2+7}}.{\displaystyle \frac{1}{2(x-2)}}$

$={\displaystyle \frac{5(x-2).1}{(x^2+7).2(x-2)}}={\displaystyle \frac{5}{2(x^2+7)}}$

b) $(x^2-25):{\displaystyle \frac{2x+10}{3x-7}}$

$={\displaystyle \frac{x^2-25}{1}}:{\displaystyle \frac{2x+10}{3x-7}}$

$={\displaystyle \frac{x^2-25}{1}}.{\displaystyle \frac{3x-7}{2x+10}}$

$={\displaystyle \frac{(x-5)(x+5)}{1}}.{\displaystyle \frac{3x-7}{2(x+5)}}$

$={\displaystyle \frac{(x-5)(x+5)(3x-7)}{2(x+5)}}$

$={\displaystyle \frac{(x-5)(3x-7)}{2}}$

c) ${\displaystyle \frac{x^2+x}{5x^2-10x+5}}:{\displaystyle \frac{3x+3}{5x-5}}$

$={\displaystyle \frac{x^2+x}{5x^2-10x+5}}.{\displaystyle \frac{5x-5}{3x+3}}$

$={\displaystyle \frac{x\left(x+1\right)}{5\left(x^2-2x+1\right)}}.{\displaystyle \frac{5\left(x-1\right)}{3\left(x+1\right)}}$

$={\displaystyle \frac{x(x+1).5(x-1)}{5(x-1{)}^2.3(x+1)}}={\displaystyle \frac{x}{3(x-1)}}$

Bài 44 trang 54 sgk Toán 8 Tập 1: Tìm biểu thức $Q$, biết rằng:

${\displaystyle \frac{x^2+2x}{x-1}}.Q={\displaystyle \frac{x^2-4}{x^2-x}}$

Phương pháp giải: - Thừa số chưa biết $=$ Tích : thừa số đã biết.

- Áp dụng quy tắc chia hai phân thức: ${\displaystyle \frac{A}{B}}:{\displaystyle \frac{C}{D}}={\displaystyle \frac{A}{B}}.{\displaystyle \frac{D}{C}}$ với ${\displaystyle \frac{C}{D}}\ne 0$.

Lời giải:

$Q$ có vai trò như một thừa số chưa biết nên ta có:

${\displaystyle \frac{x^2+2x}{x-1}}.Q={\displaystyle \frac{x^2-4}{x^2-x}}$

$\Rightarrow Q={\displaystyle \frac{x^2-4}{x^2-x}}:{\displaystyle \frac{x^2+2x}{x-1}}$

$={\displaystyle \frac{x^2-4}{x^2-x}}.{\displaystyle \frac{x-1}{x^2+2x}}$

$={\displaystyle \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-1)}}.{\displaystyle \frac{x-1}{x(x+2)}}$

$={\displaystyle \frac{(x-2)(x+2)(x-1)}{x(x-1).x(x+2)}}$

$={\displaystyle \frac{x-2}{x^2}}$

Bài 45 trang 55 sgk Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em điền được vào chỗ trống của dãy phép chia dưới đây những phân thức có tử thức bằng mẫu thức cộng với $1$:

${\displaystyle \frac{x}{x+1}}:{\displaystyle \frac{x+2}{x+1}}:{\displaystyle \frac{x+3}{x+2}}:...={\displaystyle \frac{x}{x+6}}$

Em hãy ra cho bạn một câu đố tương tự, với vế phải của đẳng thức là ${\displaystyle \frac{x}{x+n}}$, trong đó $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$ tuỳ ý em thích.

Phương pháp giải: - Áp dụng: Mẫu số của phân số bên trái sẽ giản ước với tử số của phân số bên phải liền sau nó. Cứ làm như vậy cho đến khi mẫu số của phân số cuối cùng bằng với mẫu số của phân số kết quả.

- Áp dụng quy tắc chia hai phân thức.

Lời giải:

Theo cách thực hiện một dãy phép chia ta có thể viết đẳng thức đã cho thành:

${\displaystyle \frac{x}{x+1}}.{\displaystyle \frac{x+1}{x+2}}.{\displaystyle \frac{x+2}{x+3}}....={\displaystyle \frac{x}{x+6}}$

Ta có:

${\displaystyle \frac{x}{x+1}}.{\displaystyle \frac{x+1}{x+2}}.{\displaystyle \frac{x+2}{x+3}}.{\displaystyle \frac{x+3}{x+4}}.{\displaystyle \frac{x+4}{x+5}}.{\displaystyle \frac{x+5}{x+6}}={\displaystyle \frac{x}{x+6}}$

Vậy ta có thể điền như sau:

Có thể ra câu đố tương tự như sau:

${\displaystyle \frac{x}{x+1}}:{\displaystyle \frac{x+2}{x+1}}:{\displaystyle \frac{x+3}{x+2}}:...={\displaystyle \frac{x}{x+10}}$

Lý thuyết phép chia các phân thức đại số

1. Các kiến thức cần nhớ:

a) Nhân hai phân thức

Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức , ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.

${\displaystyle \frac{A}{B}}.{\displaystyle \frac{C}{D}}={\displaystyle \frac{A.C}{B.D}}$

Ví dụ:

${\displaystyle \frac{x-1}{x}}.{\displaystyle \frac{3}{x+1}}$$={\displaystyle \frac{3\left(x-1\right)}{x\left(x+1\right)}}$$={\displaystyle \frac{3x-3}{x\left(x+1\right)}}$

Tính chất phép nhân hai phân thức

+ Giao hoán: ${\displaystyle \frac{A}{B}}.{\displaystyle \frac{C}{D}}$$={\displaystyle \frac{C}{D}}.{\displaystyle \frac{A}{B}}$

+ Kết hợp:

$\left({\displaystyle \frac{A}{B}}.{\displaystyle \frac{C}{D}}\right).{\displaystyle \frac{E}{F}}$$={\displaystyle \frac{A}{B}}.\left({\displaystyle \frac{C}{D}}.{\displaystyle \frac{E}{F}}\right)$

+ Phân phối đối với phép cộng: ${\displaystyle \frac{A}{B}}.\left({\displaystyle \frac{C}{D}}+{\displaystyle \frac{E}{F}}\right)$$={\displaystyle \frac{A}{B}}.{\displaystyle \frac{C}{D}}+{\displaystyle \frac{A}{B}}.{\displaystyle \frac{E}{F}}$

b) Chia hai phân thức

* Phân thức nghịch đảo

+ Hai phân thức gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của nó bằng $1$ .

+ Phân thức nghịch đảo của phân thức ${\displaystyle \frac{A}{B}}$ là ${\displaystyle \frac{B}{A}}$ với $A,B\ne 0$.

* Phép chia hai phân thức

Quy tắc: Muốn chia phân thức ${\displaystyle \frac{A}{B}}$ cho phân thức ${\displaystyle \frac{C}{D}}$ $\left({\displaystyle \frac{C}{D}}\ne 0\right)$ , ta nhân ${\displaystyle \frac{A}{B}}$ với phân thức nghịch đảo của ${\displaystyle \frac{C}{D}}$ .

${\displaystyle \frac{A}{B}}:{\displaystyle \frac{C}{D}}={\displaystyle \frac{A}{B}}.{\displaystyle \frac{D}{C}};$ $\left({\displaystyle \frac{C}{D}}\ne 0\right)$

Ví dụ: ${\displaystyle \frac{x-1}{x}}:{\displaystyle \frac{3}{x+1}}={\displaystyle \frac{x-1}{x}}.{\displaystyle \frac{x+1}{3}}={\displaystyle \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x.3}}={\displaystyle \frac{x^2-1}{3x}}$

2. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Thực hiện phép tính. Rút gọn biểu thức

Phương pháp:

Bước 1: Phân tích đa thức thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân thức.

+ ${\displaystyle \frac{A}{B}}.{\displaystyle \frac{C}{D}}={\displaystyle \frac{A.C}{B.D}}$

+ ${\displaystyle \frac{A}{B}}:{\displaystyle \frac{C}{D}}={\displaystyle \frac{A}{B}}.{\displaystyle \frac{D}{C}};\left({\displaystyle \frac{C}{D}}\ne 0\right)$

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức tại giá trị cho trước của biến

Phương pháp:

Bước 1: Rút gọn biểu thức (sử dụng quy tắc nhân, chia phân thức và phân tích đa thức thành nhân tử)

Bước 2: Thay giá trị của biến vào đa thức đã rút gọn và thực hiện phép tính.