Giải SGK Toán 10 Bài 6 (Cánh diều): Ba đường conic

Nguyễn Thị Thuỳ Linh Ngày: 07-04-2023 Lớp 10

3.5 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Ba đường conic chi tiết sách Toán 10 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Ba đường conic

Giải Toán 10 trang 93 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 93 Toán lớp 10 Tập 2: Từ xa xưa, người Hy Lạp đã biết rằng giao tuyến của mặt nón tròn xoay và một mặt phẳng không đi qua đỉnh của mặt nón là đường tròn hoặc đường cong mà ta gọi là đường conic (Hình 48). Từ “đường conic” xuất phát từ gốc tiếng Hy Lạp konos, nghĩa là mặt nón.

Từ xa xưa, người Hy Lạp đã biết rằng giao tuyến của mặt nón tròn xoay

Đường conic gồm những loại đường nào và được xác định như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ biết đường conic gồm đường parabol, đường elip, đường hypebol và cách xác định phương trình chính tắc của mỗi loại đường conic trên.

I. Đường Elip

Hoạt động 1 trang 93 Toán lớp 10 Tập 2: Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm F₁, F₂ trên mặt một bảng gỗ. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn 2F₁F₂. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại vị trí của đầu bút chì (Hình 51). Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng, đầu bút chì vạch nên một đường mà ta gọi là đường elip. Gọi vị trí của đầu bút chì là điểm M.

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm F1, F2 trên mặt một bảng gỗ

Khi M thay đổi, có nhận xét gì về tổng MF₁ + MF₂?

Lời giải:

Theo bài ra ta thấy tổng MF₁+ MF₂ luôn bằng độ dài vòng dây kín, do đó khi M thay đổi, tổng MF₁ + MF₂ là một độ dài không đổi.

Giải Toán 10 trang 94 Tập 2

Hoạt động 2 trang 94 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, ở đó F₁F₂ = 2c (với a > c > 0).

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của F₁F₂, trục Oy là đường trung trực của F₁F₂ và F₂ nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, F₁(– c; 0) và F₂(c; 0) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:

a) A₁(– a; 0) và A₂(a; 0) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

b) B₁(0; – b) và B₂(0; b), ở đó $b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$ , đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M

Lời giải:

Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M

Do đó: A₁F₁ + A₂F₂ = a – c + a + c = 2a.

Vậy điểm A₁(– a; 0) thuộc elip (E).

Mà A₁(– a; 0) thuộc trục Ox nên A₁(– a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

Tương tự, ta chứng minh được A₂(a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

b) Vì $b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$ nên $b^{2} = a^{2} - c^{2} \Leftrightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

Ta có: $B_{2} F_{1} = \sqrt{{(- c - 0)}^{2} + {(0 - b)}^{2}} = \sqrt{c^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2}} = a$ (do a > 0).

$B_{2} F_{2} = \sqrt{{(c - 0)}^{2} + {(0 - b)}^{2}} = \sqrt{c^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2}} = a$ (do a > 0).

Do đó B₂F₁ = B₂F₂ = a nên B₂F₁ + B₂F₂ = a + a = 2a. Do đó, B₂(0; b) thuộc elip (E).

Mà B₂(0; b) thuộc trung Oy nên B₂(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Tương tự, ta chứng minh được B₁(0; – b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Giải Toán 10 trang 95 Tập 2

Luyện tập 1 trang 95 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm M(0; 3) và $N (3; - \frac{12}{5})$ .

Lời giải:

Elip (E) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ .

Do elip (E) đi qua điểm M(0; 3) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình elip, do đó ta có $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{3^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = 3^{2} \Rightarrow b = 3$ (do b > 0).

Do elip (E) đi qua điểm $N (3; - \frac{12}{5})$ nên tọa độ điểm N thỏa mãn phương trình elip, do đó ta có $\frac{3^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- \frac{12}{5})}^{2}}{3^{2}} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = 25 \Rightarrow a = 5$ (do a > 0).

Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

II. Đường Hypebol

Giải Toán 10 trang 96 Tập 2

Hoạt động 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 2: Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm F₁, F₂ trên mặt một bảng gỗ. Lấy một thước thẳng có mép AB và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài l thỏa mãn AB – F₁F₂ < l < AB. Đính một đầu dây vào điểm A và đầu dây kia vào F₂. Đặt thước sao cho điểm B trùng với F₁ và lấy đầu bút chì (kí hiệu là M) tì sát sợi dây vào thước thẳng sao cho sợi dây luôn bị căng. Sợi dây khi đó là đường gấp khúc AMF₂.

Cho thước quay quanh điểm B (trùng F₁), tức là điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol.

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm F1, F2 trên mặt một bảng gỗ

Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu MF₁ – MF₂?

Lời giải:

Khi M thay đổi, ta có hiệu

MF₁ – MF₂ = (MF₁ + MA) – (MF₂ + MA) = AB – l không đổi.

Vậy hiệu MF₁ – MF₂ không thay đổi khi M thay đổi.

Giải Toán 10 trang 97 Tập 2

Hoạt động 4 trang 97 Toán lớp 10 Tập 2: Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục tọa độ Oxy thuận tiện nhất.

Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng F₁F₂, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng F₁F₂ = 2c (c > 0), gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn thẳng F₁F₂ (Hình 54).

Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục tọa độ Oxy

a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm F₁, F₂.

Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục tọa độ Oxy

Lời giải:

a) Vì Oy là đường trung trực của F₁F₂ nên O là trung điểm của F₁F₂.

Do đó, OF₁ = OF₂ = F₁F₂ : 2 = 2c : 2 = c.

Điểm F₁ thuộc trục Ox và nằm về phía bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng c nên tọa độ của F₁ là F₁(– c; 0).

Điểm F₂ thuộc trục Ox và nằm về phía bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng c nên tọa độ của F₂ là F₂(c; 0).

Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục tọa độ Oxy

III. Đường Parabol

Giải Toán 10 trang 98 Tập 2

Luyện tập 2 trang 98 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc: 4x² – 9y² = 1.

Lời giải:

Ta có: 4x² – 9y² = 1

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2}} - \frac{y^{2}}{{(\frac{1}{3})}^{2}} = 1$

Phương trình hypebol đã cho được viết dưới dạng phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2}} - \frac{y^{2}}{{(\frac{1}{3})}^{2}} = 1$ .

Giải Toán 10 trang 99 Tập 2

Hoạt động 5 trang 99 Toán lớp 10 Tập 2: Lấy đường thẳng ∆ và một điểm F không thuộc ∆. Lấy một ê ke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài bằng AB. Đính một đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của ê ke. Đặt ê ke sao cho cạnh AC nằm trên ∆, lấy đầu bút chì (kí hiệu là điểm M) ép sát sợi dây vào cạnh AB và giữ căng sợi dây. Lúc này, sợi dây chính là đường gấp khúc BMF.

Cho cạnh AC của ê ke trượt trên ∆ (Hình 55). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường parabol.

Lấy đường thẳng denta và một điểm F không thuộc denta

Khi M thay đổi, có nhận xét gì về khoảng cách từ M đến F và khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆?

Lời giải:

Khi M thay đổi, ta có: MA + MB = MF + MB (Vì các tổng này đều có độ dài bằng đoạn dây AB).

Do đó, MA = MF.

Mà MA vuông góc với ∆ tại A nên MA là khoảng cách từ M đến ∆.

Vậy khi M thay đổi khoảng cách từ M đến F luôn bằng khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆.

Giải Toán 10 trang 100 Tập 2

Hoạt động 6 trang 100 Toán lớp 10 Tập 2: Cho parabol (P) với tiêu điểm F và đường chuẩn ∆. Cũng như elip, để lập phương trình của (P), trước tiên ta sẽ chọn hệ trục tọa độ Oxy thuận tiện nhất.

Kẻ FH vuông góc với ∆ (H ∈ ∆). Đặt FH = p > 0. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm đoạn thẳng FH và F nằm trên tia Ox (Hình 56).

Cho parabol (P) với tiêu điểm F và đường chuẩn denta

Lời giải:

Đọc kĩ hoạt động và thực hiện nghiên cứu lời giải theo hướng dẫn trên.

Luyện tập 3 trang 100 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình các parabol sau đây dưới dạng chính tắc:

a) $x = \frac{y^{2}}{4};$

b) x – y² = 0.

Lời giải:

a) Ta có: $x = \frac{y^{2}}{4} \Leftrightarrow y^{2} = 4 x \Leftrightarrow y^{2} = 2 . 2 x$ .

Vậy phương trình đã cho được đưa về dạng chính tắc là y² = 2 . 2x với p = 2.

b) Ta có: x – y² = 0 ⇔ y² = x ⇔ y² = 2 . $\frac{1}{2}$ x.

Vậy phương trình đã cho được đưa về dạng chính tắc là y² = 2 . $\frac{1}{2}$ x với p = $\frac{1}{2}$ .

Bài tập

Giải Toán 10 trang 102 Tập 2

Bài 1 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?

a) $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{64} = 1$ ;

c) $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ;

d) $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ .

Lời giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > b > 0.

Do đó, ta loại ngay đáp án b).

Ở đáp án a, ta thấy a² = b² = 64, do đó không thỏa mãn điều kiện.

Ở đáp án d, ta thấy a² = 25, b² = 64, suy ra a = 5 và b = 8 nên a < b, không thỏa mãn.

Ở đáp án c, ta có a² = 64, b² = 25, suy ra a = 8, b = 5 nên a > b > 0, thỏa mãn.

Vậy trong các phương trình đã cho thì phương trình ở đáp án c) $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ là phương trình chính tắc của elip.

Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: ChoElip (E) có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$ Tìm tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của (E).

Lời giải:

Ta có: $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{25} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{7^{2}} + \frac{y^{2}}{5^{2}} = 1.$

Do a > b > 0 nên elip (E) có a = 7, b = 5.

Ta có: c² = a² – b² = 7² – 5² = 24, suy ra $c = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ .

Vậy tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox là A₁(– 7; 0), A₂(7; 0), tọa độ các giao điểm của (E) với trục Oy là B₁(0; – 5), B₂(0; 5) và tọa độ các tiêu điểm của E là $F_{1} (- 2 \sqrt{6}; 0), F_{2} (2 \sqrt{6}; 0)$ .

Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Viếtphương trình chính tắc của elip (E), biết tọa độ hai giao điểm của (E) với Ox và Oy lần lượt là A₁(– 5; 0) và B₂(0; $\sqrt{10}$ ).

Lời giải:

Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > b > 0.

Elip (E) cắt trục Ox tại A₁(– 5; 0), thay vào phương trình elip ta được:

$\frac{{(- 5)}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = {(- 5)}^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 5^{2}$ , suy ra a = 5 (do a > 0).

Elip (E) cắt trục Oy tại $B_{2} (0; \sqrt{10})$ , thay vào phương trình elip ta được: $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{{(\sqrt{10})}^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = {(\sqrt{10})}^{2} \Rightarrow b = \sqrt{10}$ (do b > 0).

Vì 5 > $\sqrt{10}$ nên a > b > 0 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^{2}}{5^{2}} + \frac{y^{2}}{{(\sqrt{10})}^{2}} = 1 h a y \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ .

Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có A₁A₂ = 768 800 km và B₁B₂ = 767 619 km (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip

Lời giải:

Phương trình chính tắc của elip trên có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > b > 0.

Ta có Oy là đường trung trực của A₁A₂ nên O là trung điểm của A₁A₂ nên OA₂ = $\frac{A_{1} A_{2}}{2}$ $= \frac{768 800}{2} = 384 400$ .

Vì điểm A₂ nằm trên trục Ox về phía bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng 384 400 nên A₂(384 800; 0).

Elip (E) cắt trục Ox tại A₂(384 800; 0), thay vào phương trình elip ta được:

$\frac{384 800^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = 384 800^{2} \Rightarrow a = 384 800$ (do a > 0).

Lại có Ox là đường trung trực của B₁B₂ nên O là trung điểm của B₁B₂ nên OB₂ = $\frac{B_{1} B_{2}}{2}$ $= \frac{767 619}{2} = 338 309, 5$ .

Vì điểm B₂ nằm trên trục Oy về phía bên trên điểm O và cách O một khoảng bằng 338309,5 nên B₂(0; 338309,5).

Elip (E) cắt trục Oy tại B₂(0; 338309,5), thay vào phương trình elip ta được:

$\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{338309, 5^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = 338309, 5^{2} \Rightarrow b = 338309, 5$ (do b > 0).

Vì 384 800 > 338309,5 nên a > b > 0 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^{2}}{384800^{2}} + \frac{y^{2}}{338309, 5^{2}} = 1$ .

Bài 5 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?

a) $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

c) $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{64} = 1$ ;

d) $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Lời giải:

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > 0, b > 0.

Do đó, ta loại ngay đáp án a.

Các phương trình ở các đáp án b, c, d đều là phương trình chính tắc của hypebol vì đều có dạng trên và thỏa mãn điều kiện a > 0, b > 0 với:

b) a = b = 3 > 0.

c) a = 3 > 0, b = 8 > 0.

d) a = 8 > 0, b = 3 > 0.

Bài 6 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{3^{2}} - \frac{y^{2}}{4^{2}} = 1$ .

Do đó hypebol trên có a = 3, b = 4 (do a > 0, b > 0).

Ta có: c² = a² + b² = 3² + 4² = 25 = 5², suy ra c = 5.

Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol trên là F₁(– 5; 0) và F₂(5; 0).

b) Ta có: $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

Suy ra a² = 36, b² = 25.

Ta có: c² = a² + b² = 36 + 25 = 61, suy ra $c = \sqrt{61}$ .

Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol trên là F₁(– $\sqrt{61}$ ; 0) và F₂( $\sqrt{61}$ ; 0).

Bài 7 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết $N (\sqrt{10}; 2)$ nằm trên (H) và hoành độ một giao điểm của (H) đối với trục Ox bằng 3.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của hypebol (H) có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > 0, b > 0.

Hoành độ một giao điểm của (H) với trục Ox là 3, do đó tọa độ giao điểm của (H) với trục Ox là (3; 0). Thay tọa độ này vào phương trình hypebol, ta được:

$\frac{3^{2}}{a^{2}} - \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = 3^{2} \Rightarrow a = 3$ (do a > 0).

Điểm $N (\sqrt{10}; 2)$ nằm trên (H) nên tọa độ điểm N thỏa mãn phương trình (H), khi đó ta có: $\frac{{(\sqrt{10})}^{2}}{3^{2}} - \frac{2^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = 36 \Leftrightarrow b^{2} = 6^{2} \Rightarrow b = 6$ (do b > 0).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^{2}}{3^{2}} - \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1 h a y \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

Bài 8 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?

a) y² = – 2x;

b) y² = 2x;

c) x² = – 2y;

d) $y^{2} = \sqrt{5} x$ .

Lời giải:

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (với p > 0).

a) Ta có: y² = – 2x = 2 . (– 1)x, vì (– 1) < 0 nên đây không phải phương trình chính tắc của parabol.

b) Ta có: y² = 2x = 2 . 1 . x, vì 1 > 0 nên đây là phương trình chính tắc của parabol với p = 1.

c) Phương trình x² = – 2y không có dạng phương trình chính tắc của parabol nên đây không phải là phương trình chính tắc của parabol.

d) Ta có: $y^{2} = \sqrt{5} x = 2. \frac{\sqrt{5}}{2} x$ , vì $\frac{\sqrt{5}}{2} > 0$ nên đây là phương trình chính tắc của parabol với $p = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .