Luyện tập 1 trang 34 Toán 10 tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

2.1 K

Với giải Luyện tập 1 trang 34 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống trong Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Luyện tập 1 trang 34 Toán lớp 10: Tìm các giá trị lượng giác của góc $120^{o}$ (H.3.4)

HĐ1 trang 34 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = 120^{o}$

Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị $\cos 120^{o}, \sin 120^{o}$

Từ đó suy ra $\tan 120^{o} = \frac{\sin 120^{o}}{\cos 120^{o}}, \cot 120^{o} = \frac{\cos 120^{o}}{\sin 120^{o}} .$

Lời giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = 120^{o}$

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

HĐ1 trang 34 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Vì $\hat{x O M} = 120^{o} > 90^{o}$ nên M nằm bên trái trục tung.

Khi đó: $\cos 120^{o} = - \bar{O N}, \sin 120^{o} = \bar{O P}$

Vì $\hat{x O M} = 120^{o}$ nên $\hat{N O M} = 180^{o} - 120^{o} = 60^{o}$ và $\hat{P O M} = 120^{o} - 90^{o} = 30^{o}$

Vậy các tam giác $Δ M O N$ và $Δ M O P$ vuông tại N, p và có một góc bằng $30^{o}$

$\Rightarrow O N = M P = \frac{1}{2} O M = \frac{1}{2}$ (Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc $30^{o}$ bằng một nửa cạnh huyền)

Và $O P = M N = \sqrt{O M^{2} - O N^{2}} = \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy điểm M có tọa độ là $(- \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Và $\cos 120^{o} = - \frac{1}{2}; \sin 120^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \tan 120^{o} = \frac{\sin 120^{o}}{\cos 120^{o}} = \frac{\sqrt{3}}{2} : (- \frac{1}{2}) = - \sqrt{3}; \\ \cot 120^{o} = \frac{\cos 120^{o}}{\sin 120^{o}} = (- \frac{1}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{- 1}{\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3} . \end{array}$

Chú ý:

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc $120^{o}$

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT” “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)

Tính $\sin 120^{o}$ , bấm phím: sin 1 2 0 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Tính $\cos 120^{o}$ ,bấm phím: cos 1 2 0 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $\frac{- 1}{2}$

Tính $\tan 120^{o}$ , bấm phím: tan 1 2 0 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $- \sqrt{3}$

( Để tính $\cot 120^{o}$ , ta tính $1 : \tan 120^{o}$ )

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc α, 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó, có duy nhất điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn đơn vị để $\hat{xOM} = α$ .

Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

- Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{xOM} = α$ . Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sin α;

+ côsin của góc α là hoành độ x₀ của điểm M, được kí hiệu là cos α;

+ Khi α ≠ 90° (hay x₀ ≠ 0), tang của α là $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ , được kí hiệu là tan α;

+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y₀ ≠ 0), côtang của α là $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ , được kí hiệu là cot α.

- Từ định nghĩa trên ta có:

$tanα = \frac{sinα}{cosα} (α \neq 90 °);$ $cotα = \frac{cosα}{sinα} (α \neq 0 ° và α \neq 180 °);$ $tanα = \frac{1}{cotα} (α \notin {0 °; 90 °; 180 °})$

- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.

Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{xOM} = 120^{o}$ . Gọi N, K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Do $\hat{xOM} = 120^{o}$ và $\hat{xOK} = 90^{o}$ nên $\hat{KOM} = 30^{o}$ và $\hat{MON} = 60^{o}$ .

Từ bảng GTLG của một số góc đặc biệt:

Ta có: cos 60^o = $\frac{1}{2}$ và cos 30^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Các tam giác MOK và MON là các tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1

Suy ra ON = cos $\hat{MON}$ .OM = cos60^o.1 = $\frac{1}{2}$ và OK = cos $\hat{MOK}$ .OM = cos30^o.1 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên $M (- \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có:

sin 120^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos 120^o = $- \frac{1}{2}$

tan 120^o = $\frac{\sin 120^{o}}{\cos 120^{o}} = - \sqrt{3}$

cot 120^o = $\frac{\cos 120^{o}}{\sin 120^{o}} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Vậy sin 120^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; cos 120^o = $- \frac{1}{2}$ ; tan 120^o = $- \sqrt{3}$ ; cot 120^o = $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

- Ta có thể dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng của các giá trị lượng giác của một góc.

Ví dụ:

Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

- Ta cũng có thể tìm được góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ:

Chú ý:

+ Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị x ≤ 90°.

+ Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1) tương ứng bởi phím .