a)  ${\displaystyle \frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}}$

b) ${\displaystyle \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}}$ với $a\ge 0;a\ne 1$

Phương pháp giải:

+ Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử (nếu có thể) để xuất hiện nhân tử chung và rút gọn phân thức.

+ Chú ý sử dụng hằng đẳng thức: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Lời giải: 

a) $\begin{array}{rl}& \frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}=\frac{\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}{x+\sqrt{3}}=x-\sqrt{3}\end{array}$ 

b) 

$\begin{array}{rl}& \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\frac{1-{\left(\sqrt{a}\right)}^3}{1-\sqrt{a}}\\ & =\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}\\ & =a+\sqrt{a}+1\end{array}$

a) $5\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{5}}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{20}+\sqrt{5}$

b) $\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5};$

c) $\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72};$

d) $0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có:

             $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}$,  nếu $A<0$.

+  Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có:

           $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A<0$.

+ ${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{A\sqrt{B}}{B}}$,  với $B>0$.

Lời giải:

a) 

Cách 1: Ta có:

$5\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{5}}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{20}+\sqrt{5}$

$\begin{array}{rl}& =\sqrt{5^2.\frac{1}{5}}+\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.20}+\sqrt{5}\\ & =\sqrt{25.\frac{1}{5}}+\sqrt{\frac{1}{4}.20}+\sqrt{5}\\ & =\sqrt{\frac{25}{5}}+\sqrt{\frac{20}{4}}+\sqrt{5}\\ & =\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}\\ & =\left(1+1+1\right)\sqrt{5}=3\sqrt{5}\end{array}$

Cách 2:

Ta có:

$5\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{5}}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{20}+\sqrt{5}$

= $\sqrt{5}+{\displaystyle \frac{1}{2}}.2\sqrt{5}+\sqrt{5}$

= $\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}$

=$3.\sqrt{5}$

b) 

Ta có: 

$\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}$

$\begin{array}{rl}& =\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{\frac{25}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{9.\frac{1}{2}}+\sqrt{25.\frac{1}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{3^2.\frac{1}{2}}+\sqrt{5^2.\frac{1}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{2}}+3\sqrt{\frac{1}{2}}+5\sqrt{\frac{1}{2}}\\ & =\left(1+3+5\right).\sqrt{\frac{1}{2}}\\ & =9\sqrt{\frac{1}{2}}=9\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =9.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\end{array}$

c) 

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}\\ & =\sqrt{4.5}-\sqrt{9.5}+3\sqrt{9.2}+\sqrt{36.2}\\ & =\sqrt{2^2.5}-\sqrt{3^2.5}+3\sqrt{3^2.2}+\sqrt{6^2.2}\\ & =2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+3.3\sqrt{2}+6\sqrt{2}\\ & =2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+9\sqrt{2}+6\sqrt{2}\\ & =\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{5}\right)+\left(9\sqrt{2}+6\sqrt{2}\right)\\ & =\left(2-3\right)\sqrt{5}+\left(9+6\right)\sqrt{2}\\ & =-\sqrt{5}+15\sqrt{2}=15\sqrt{2}-\sqrt{5}\end{array}$

d) 

Ta có:

$\begin{array}{rl}& 0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}\\ & =0,1\sqrt{100.2}+2\sqrt{0,04.2}+0,4\sqrt{25.2}\\ & =0,1\sqrt{{10}^2.2}+2\sqrt{0,2^2.2}+0,4\sqrt{5^2.2}\\ & =0,1.10\sqrt{2}+2.0,2\sqrt{2}+0,4.5\sqrt{2}\\ & =1\sqrt{2}+0,4\sqrt{2}+2\sqrt{2}\\ & =\left(1+0,4+2\right)\sqrt{2}=3,4\sqrt{2}\end{array}$ 

a) $5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^3}+5a\sqrt{16a{b}^2}-2\sqrt{9a};$

b) $5a\sqrt{64a{b}^3}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{12a^3{b}^3}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}.$

 Phương pháp giải:

+  Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có:

           $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A<0$.

+ $\sqrt{A^2}=|A|$. 

+ $|A|=A$  nếu $A\ge 0$.

    $|A|=-A$,  nếu $A<0$.

Lời giải:

a) Ta có: 

$5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^3}+5a\sqrt{16a{b}^2}-2\sqrt{9a}$

$=5\sqrt{a}-4b\sqrt{5^2.a^2.a}+5a\sqrt{4^2.b^2.a}-2\sqrt{3^2.a}$

$=5\sqrt{a}-4b\sqrt{(5a{)}^2.a}+5a\sqrt{(4b{)}^2.a}-2\sqrt{3^2.a}$

$=5\sqrt{a}-4b.5a\sqrt{.a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}$

$=5\sqrt{a}-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a}-6\sqrt{a}$

$=(5\sqrt{a}-6\sqrt{a})+(-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a})$

$=(5-6)\sqrt{a}=-\sqrt{a}$

b) Ta có:

$5a\sqrt{64a{b}^3}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^3{b}^3}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}$

$=5a\sqrt{(8b{)}^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{(2ab{)}^2.3.ab}+2ab\sqrt{3^2.ab}$$-5b\sqrt{(9a{)}^2.ab}$

$=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt{3}ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}$$-5b.9a\sqrt{ab}$

$=40ab\sqrt{ab}-2.3ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$

$=40ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$

$=40ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$

$=(40-45)ab\sqrt{ab}$

$=-5ab\sqrt{ab}$. 

Phương pháp giải: 

+ Sử dụng quy tắc đặt nhân tử chung và quy tắc khai phương một tích để đưa các số hạng về dạng có cùng biểu thức dưới dấu căn.

+ $\sqrt{x}=a\iff (\sqrt{x}{)}^2=a^2\iff x=a^2$,  với $a\ge 0.$ 

a) ${\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{6}+2\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}-4\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}$

b) $\left(x\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{x}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{2x}{3}}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}={\displaystyle \frac{7}{3}}$ với $x>0.$ 

Phương pháp giải:

+ Biến đổi vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ Sử dụng công thức sau:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$ với $a\ge 0;b>0.$

Lời giải:

a) Biến đổi vế trái ta có:

$VT={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{6}+2\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}-4\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$

          $=3{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}+2{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}-4{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$

          $=3{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}+2{\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}}-4.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}}$

         $=3{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}+2{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}-4{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$

         $=({\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}-2).\sqrt{6}$

         $={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}=VP$.

b) Biến đổi vế trái ta có: 

$VT=\left(x\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{x}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{2x}{3}}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}$

         $\begin{array}{rl}& =\left(x\sqrt{\frac{6x}{x^2}}+\sqrt{\frac{2x.3}{3^2}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\\ & =\left(x\frac{\sqrt{6x}}{\sqrt{x^2}}+\frac{\sqrt{6x}}{\sqrt{3^2}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\\ & =\left(x\frac{\sqrt{6x}}{x}+\frac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\\ & =\left(1.\sqrt{6x}+\frac{1}{3}\sqrt{6x}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\\ & =\left(1+\frac{1}{3}+1\right)\sqrt{6x}:\sqrt{6x}\\ & =\frac{7}{3}\sqrt{6x}:\sqrt{6x}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{3}}=VP.\end{array}$

Cách 2:

$VT=\left(x\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{x}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{2x}{3}}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}$

= $x\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{x}}}:\sqrt{6x}+\sqrt{{\displaystyle \frac{2x}{3}}}:\sqrt{6x}+\sqrt{6x}:\sqrt{6x}$

= $x{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}}:(\sqrt{6}.\sqrt{x})+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}.\sqrt{x}:(\sqrt{6}.\sqrt{x})+\sqrt{6x}:\sqrt{6x}$

= 1 + $\frac{1}{3}$ + 1

= ${\displaystyle \frac{7}{3}}$ =VP

a) ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-{\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}}+5\sqrt{1{\displaystyle \frac{1}{3}}}$

b) $\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2{\displaystyle \frac{2}{3}}}-\sqrt{6};$

c) $(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84};$

d) $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^2-\sqrt{120}.$

Phương pháp giải:

+ Cách đổi hỗn số ra phân số: $a{\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{a.c+b}{c}}$.

+  Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:  

           $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A\ge 0,B\ge 0$.

           $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A<0,B\ge 0$.

+ $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$,   với $a\ge 0,b>0$.

+ $\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}$,  với $a,b\ge 0$.

+ ${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{A\sqrt{B}}{B}}$,   với $B>0$.

Lời giải:

a) Ta có: 

${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-{\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}}+5\sqrt{1{\displaystyle \frac{1}{3}}}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{16.3}-2\sqrt{25.3}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3.11}}{\sqrt{11}}}+5\sqrt{{\displaystyle \frac{1.3+1}{3}}}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{4^2.3}-2\sqrt{5^2.3}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}.\sqrt{11}}{\sqrt{11}}}+5\sqrt{{\displaystyle \frac{4}{3}}}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}.4\sqrt{3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}+5{\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}}$

$={\displaystyle \frac{4}{2}}\sqrt{3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5{\displaystyle \frac{\sqrt{4}.\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}}$ 

$=2\sqrt{3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$ 

$=2\sqrt{3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+10{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$ 

$=\left(2-10-1+{\displaystyle \frac{10}{3}}\right)\sqrt{3}$

$=-{\displaystyle \frac{17}{3}}\sqrt{3}$.

b) Ta có: 

 $\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2{\displaystyle \frac{2}{3}}}-\sqrt{6}$

$=\sqrt{25.6}+\sqrt{1,6.60}+4,5.\sqrt{{\displaystyle \frac{2.3+2}{3}}}-\sqrt{6}$

$=\sqrt{5^2.6}+\sqrt{1,6.(6.10)}+4,5\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{3}}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+\sqrt{(1,6.10).6}+4,5{\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+\sqrt{16.6}+4,5{\displaystyle \frac{\sqrt{8}.\sqrt{3}}{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+\sqrt{4^2.6}+4,5{\displaystyle \frac{\sqrt{8.3}}{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5.{\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{4.2.}3}}{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5.{\displaystyle \frac{\sqrt{2^2.6}}{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5.2{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+9{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+3\sqrt{6}-\sqrt{6}$

$=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}.$

Cách 2: Ta biến đổi từng hạng tử rồi thay vào biểu thức ban đầu:

+ $\sqrt{150}=\sqrt{25.6}=5\sqrt{6}$

+ $\sqrt{1,6.60}=\sqrt{1,6.(10.6)}=\sqrt{(1,6.10).6}=\sqrt{16.6}$

$=4\sqrt{6}$

+ $4,5.\sqrt{2{\displaystyle \frac{2}{3}}}=4,5.\sqrt{{\displaystyle \frac{2.3+2}{3}}}=4,5.\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{3}}}=4,5{\displaystyle \frac{\sqrt{8.3}}{3}}$

$=4,5.{\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{4.2.3}}}{3}}=4,5.{\displaystyle \frac{2.\sqrt{6}}{3}}=9.{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}=3\sqrt{6}.$

Do đó:

$\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2{\displaystyle \frac{2}{3}}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+3\sqrt{6}-\sqrt{6}$

$=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}$

c) Ta có

 $(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84}$

$=(\sqrt{4.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{4.21}$

$=(\sqrt{2^2.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{2^2.21}$

$=(2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+2\sqrt{21}$

$=2\sqrt{7}.\sqrt{7}-2\sqrt{3}.\sqrt{7}+\sqrt{7}.\sqrt{7}+2\sqrt{21}$

$=2.(\sqrt{7}{)}^2-2\sqrt{3.7}+(\sqrt{7}{)}^2+2\sqrt{21}$

$=2.7-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}$

$=14-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}$ 

$=14+7=21$.

d) Ta có:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^2-\sqrt{120}$

$=(\sqrt{6}{)}^2+2.\sqrt{6}.\sqrt{5}+(\sqrt{5}{)}^2-\sqrt{4.30}$

$=6+2\sqrt{6.5}+5-2\sqrt{30}$

$=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=6+5=11.$

a) $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}+\sqrt{ab}+{\displaystyle \frac{a}{b}}\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{a}}}$ với $a>0$ và $b>0$

b) $\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{1-2x+x^2}}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{4m-8mx+4m^2}{81}}}$ với $m>0$ và $x\ne 1.$

 Phương pháp giải:

+ $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$,   với $a\ge 0,b>0$.

+ ${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{A\sqrt{B}}{B}}$,   với $B>0$.

+ $(\sqrt{b}{)}^2=b$,  với $b\ge 0$. 

Lời giải:

a) Ta có:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}+\sqrt{ab}+{\displaystyle \frac{a}{b}}\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{a}}}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}+\sqrt{ab}+{\displaystyle \frac{a}{b}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{a}.\sqrt{b}}{(\sqrt{b}{)}^2}}+\sqrt{ab}+{\displaystyle \frac{a}{b}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{b}.\sqrt{a}}{(\sqrt{a}{)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{ab}}{b}}+\sqrt{ab}+{\displaystyle \frac{a}{b}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{ab}}{a}}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{ab}}{b}}+\sqrt{ab}+{\displaystyle \frac{\sqrt{ab}}{b}}$

$=({\displaystyle \frac{1}{b}}+1+{\displaystyle \frac{1}{b}}).\sqrt{ab}$

$={\displaystyle \frac{2+b}{b}}\sqrt{ab}$.

b) Ta có:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{1-2x+x^2}}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{4m-8mx+4m{x}^2}{81}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{1-2x+x^2}}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{4m(1-2x+x^2)}{81}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{1-2x+x^2}}.{\displaystyle \frac{4m(1-2x+x^2)}{81}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{1}}.{\displaystyle \frac{4m}{81}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{4m^2}{81}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{(2m{)}^2}{9^2}}}={\displaystyle \frac{|2m|}{9}}={\displaystyle \frac{2m}{9}}$.

(vì $m>0$ nên $|2m|=2m$.)

a) $\left({\displaystyle \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}\right).{\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{a}}{1-a}}\right)}^2=1$ với $a\ge 0$ và $a\ne 1$

b) ${\displaystyle \frac{a+b}{b^2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2{b}^4}{a^2+2ab+b^2}}}=\left|a\right|$ với $a+b>0$ và $b\ne 0$

a) Phương pháp giải:

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ $\sqrt{A^2}=|A|$. 

+ $|A|=A$    nếu    $A\ge 0$,

    $|A|=-A$     nếu    $A<0$.

+ Sử dụng các hằng đẳng thức:

         $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

         $a^2-b^2=(a+b).(a-b)$.

         $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Lời giải:

 Biến đổi vế trái để được vế phải.

Ta có: 

$VT=\left({\displaystyle \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}\right).{\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{a}}{1-a}}\right)}^2$

       $=\left({\displaystyle \frac{1-(\sqrt{a}{)}^3}{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}\right).{\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{a}}{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}}\right)}^2$

       $=\left({\displaystyle \frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+(\sqrt{a}{)}^2)}{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}\right).{\left({\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{a}}}\right)}^2$

       $=\left[(1+\sqrt{a}+(\sqrt{a}{)}^2)+\sqrt{a}\right].{\displaystyle \frac{1}{(1+\sqrt{a}{)}^2}}$

       $=\left[(1+2\sqrt{a}+(\sqrt{a}{)}^2)\right].{\displaystyle \frac{1}{(1+\sqrt{a}{)}^2}}$

       $=(1+\sqrt{a}{)}^2.{\displaystyle \frac{1}{(1+\sqrt{a}{)}^2}}=1=VP$.

b) Phương pháp giải:

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ $\sqrt{A^2}=|A|$. 

+ $|A|=A$    nếu    $A\ge 0$,

    $|A|=-A$     nếu    $A<0$.

+ Sử dụng các hằng đẳng thức:

         $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

         $a^2-b^2=(a+b).(a-b)$.

         $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Lời giải:

Ta có:

$VT={\displaystyle \frac{a+b}{b^2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2{b}^4}{a^2+2ab+b^2}}}$

      $={\displaystyle \frac{a+b}{b^2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{(a{b}^2{)}^2}{(a+b{)}^2}}}$

     $={\displaystyle \frac{a+b}{b^2}}{\displaystyle \frac{\sqrt{(a{b}^2{)}^2}}{\sqrt{(a+b{)}^2}}}$

     $={\displaystyle \frac{a+b}{b^2}}{\displaystyle \frac{|a{b}^2|}{|a+b|}}$

     $={\displaystyle \frac{a+b}{b^2}}.{\displaystyle \frac{|a|b^2}{a+b}}=|a|=VP$

Vì $a+b>0\Rightarrow |a+b|=a+b$.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng hằng đẳng thức số $2$: $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$. 

+ Sử dụng phép biến đổi đặt nhân tử chung.

Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

- Vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đã biết và tính toán để xuất hiện các căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn
-Cộng, trừ, nhân, chia các căn thức bậc hai cùng loại với nhau.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

 Vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã học và các hằng đẳng thức đáng nhớ, các cách phân tích đa thức thành nhân tử để thực hiện phép chứng minh.

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán liên quan.

Phương pháp:

- Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để rút gọn.

-Các bài toán liên quan :

+) Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến, giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm biến.

+) Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên

+) So sánh biểu thức với một số

+) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản.