Luyện tập vận dụng 2 trang 50 Toán 10 Tập 1 | Cánh diều Giải toán lớp 10

Phương Thảo Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

2.1 K

Với giải Luyện tập vận dụng 2 trang 49 Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Luyện tập vận dụng 2 trang 49 Toán lớp 10: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $3 x^{2} - 2 x + 4 \leq 0$

b) $- x^{2} + 6 x - 9 \geq 0$

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình dạng $f (x) > 0$ .

Bước 1: Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của $f (x)$ (nếu có)

Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho $f (x)$ mang dấu “+”

Bước 3: Các bất phương trình bậc hai có dạng $f (x) < 0, f (x) \geq 0, f (x) \leq 0$ được giải bằng cách tương tự.

Lời giải:

a) Ta có $a = 3 > 0$ và tam thức bậc hai $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 4$ có $Δ^{'} = 1^{2} - 3.4 = - 11 < 0$

=> $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 4$ vô nghiệm.

=> $3 x^{2} - 2 x + 4 > 0 \forall x \in R$

b) Ta có: $a = - 1 < 0$ và $Δ^{'} = 3^{2} - (- 1) . (- 9) = 0$

=> $f (x) = - x^{2} + 6 x - 9$ có nghiệm duy nhất $x = 3$ .

=> $- x^{2} + 6 x - 9 < 0 \forall x \in R ∖ {3}$

Lý thuyết Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

2.1. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng:

f(x) > 0 (f(x) = ax²+ bx + c), ta chuyển việc giải bất phương trình đó về việc tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”. Cụ thể, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có).

Bước 2. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”.

Chú ý: Các bất phương trình bậc hai có dạng f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0 được giải bằng cách tương tự.

Ví dụ: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $x^{2} - 5 x + 4 > 0$ ;

b) $- x^{2} - 3 x + 4 > 0$ .

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai $x^{2} - 5 x + 4 > 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 4$ và có hệ số a = 1 > 0. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức $x^{2} - 5 x + 4 > 0$ mang dấu “+” là $(- \infty; 1) \cup (4; + \infty) .$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $x^{2} - 5 x + 4 > 0$ là $(- \infty; 1) \cup (4; + \infty) .$

b) Tam thức bậc hai $- x^{2} - 3 x + 4 > 0$ có hai nghiệm $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 1$ và có hệ số $a = - 1 < 0$ .

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức $- x^{2} - 3 x + 4 > 0$ mang dấu “+” là (– 4; 1).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – x² – 3x + 4 > 0 là ( $-$ 4; 1).

2.2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng đồ thị

– Giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c > 0 là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol y = ax² + bx + c nằm phía trên trục hoành.

– Tương tự, giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c < 0 là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol y = ax² + bx + c nằm phía dưới trục hoành.

Như vậy, để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng:

f(x) > 0 (f(x) = ax²+ bx + c) bằng cách sử dụng đồ thị, ta có thể làm như sau: Dựa vào parabol y = ax² + bx + c, ta tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol đó nằm phía trên trục hoành. Đối vổi các bất phương trình bậc hai có dạng f(x) < 0, f(x) ≥ 0, ,f(x) ≤ 0, ta cũng làm tương tự.

Ví dụ: Quan sát đồ thị và giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $x^{2} - 3 x + 2 < 0$

b) $- x^{2} + 2 x$ > 0

Bất phương trình bậc hai một ẩn (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Đồ thị y = $x^{2} - 3 x + 2$ Đồ thị y = $- x^{2} + 2 x$

Hướng dẫn giải

a) Quan sát đồ thị, ta thấy $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ biểu diễn phần parabol y = $x^{2} - 3 x + 2$ nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với 1 < x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ là khoảng (1; 2).

b) Quan sát đồ thị, ta thấy $- x^{2} + 2 x$ > 0 biểu diễn phần parabol y = $- x^{2} + 2 x$ nằm phía trên trục hoành, tương ứng với 0 < x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $- x^{2} + 2 x$ > 0 là khoảng (0 ; 2).

2.3. Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn có nhiều ứng dụng, chẳng hạn: giải một số hệ bất phương trình; ứng dụng vào tính toán lợi nhuận trong kinh doanh; tính toán điểm rơi trong pháo binh;...

Chúng ta sẽ làm quen với những ứng dụng đó qua một số ví dụ sau đây.

Ví dụ 4: Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình sau:

$x^{2} + 2 x - 3 < 0$ (3) và $x^{2} - 4 x + 3 < 0$ (4)