a) $\sqrt{28a^4{b}^2}$ với $b\ge 0.$

b) $\sqrt{72a^2{b}^4}$ với $a<0$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

Với $B\ge 0$ ta có $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B}=\{\begin{array}{l}A\sqrt{B}khiA\ge 0\\ -A\sqrt{B}khiA<0\end{array}$ 

Lời giải:

a) 

Ta có $\sqrt{28a^4{b}^2}=\sqrt{{7.2}^2.{\left(a^2\right)}^2{b}^2}$$=2a^2\left|b\right|\sqrt{7}$  

Mà $b\ge 0\Rightarrow \left|b\right|=b$ nên $\sqrt{28a^4{b}^2}=2a^{2}b\sqrt{7}$

b) 

Ta có $\sqrt{72a^2{b}^4}=\sqrt{2^2{.2.3}^2.a^2.{\left(b^2\right)}^2}$$=\mathrm{2.3.}\left|a\right|.b^2\sqrt{2}$

Mà $a<0\Rightarrow \left|a\right|=-a$ nên $\sqrt{72a^2{b}^4}=-6a{b}^2\sqrt{2}.$ 

a) $3\sqrt{5}$

b) $1,2\sqrt{5}$

c) $a{b}^4\sqrt{a}$ với $a\ge 0$

d) $-2a{b}^2\sqrt{5a}$ với $a\ge 0$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn: 

Với $A\ge 0$ và $B\ge 0$ thì $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B};$

Với $A<0$ và $B\ge 0$ thì $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}.$ 

Lời giải:

a) $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}$

Bài tập ( trang 27 SGK Toán 9) 

a) $\sqrt{54}$

b) $\sqrt{108}$

c) $0,1\sqrt{20000}$

d) $-0,05\sqrt{28800}$

e) $\sqrt{7\cdot 63\cdot a^2}$

Phương pháp giải:

Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có $\sqrt{A^2.B}=|A|\sqrt{B}$, tức là:

           $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A<0$.

Lời giải:

a) $\sqrt{54}=\sqrt{9.6}=\sqrt{3^2.6}=3\sqrt{6}.$

b) $\sqrt{108}=\sqrt{36.3}=\sqrt{6^2.3}=6\sqrt{3}.$

c) $0,1\sqrt{20000}=0,1\sqrt{10000.2}=0,1\sqrt{{100}^2.2}$

$=0,1.100\sqrt{2}=10\sqrt{2}$.

d) $-0,05\sqrt{28800}=-0,05.\sqrt{\mathrm{144.100.2}}$

                        $=-0,05\sqrt{{12}^2{.10}^2.2}$

                       $=-0,\mathrm{05.12.10}\sqrt{2}=-6\sqrt{2}$.

e) $\sqrt{\mathrm{7.63.}{a}^2}=\sqrt{7.(3.21).a^2}=\sqrt{(7.3).21.a^2}$

$=\sqrt{\mathrm{21.21.}{a}^2}=\sqrt{{21}^2.a^2}$

$=21|a|=\{\begin{array}{l}21akhia\ge 0\\ -21akhia<0\end{array}$.

Bài 44 trang 27 SGK Toán 9 Tập 1 :Đưa thừa số vào trong dấu căn: 

Phương pháp giải:

+) Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn: 

           $A\sqrt{B}=\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A\ge 0,B\ge 0$.

           $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A<0,B\ge 0$.

a) $3\sqrt{3}$  và $\sqrt{12}$

b) $7$ và $3\sqrt{5}$

c) ${\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{51}$  và ${\displaystyle \frac{1}{5}}\sqrt{150};$

d) ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{6}$  và $6\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$.

Phương pháp giải:

+ Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh. 

+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn:

           $A\sqrt{B}=\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A\ge 0,B\ge 0$.

           $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A<0,B\ge 0$.

+) Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học:

              $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$,   với $a,b\ge 0$.

Lời giải:

a) Ta có: 

$3\sqrt{3}=\sqrt{3^2.3}=\sqrt{9.3}=\sqrt{27}$.

Vì $27>12\iff \sqrt{27}>\sqrt{12}$

                   $\iff 3\sqrt{3}>\sqrt{12}$.

Vậy: $3\sqrt{3}>\sqrt{12}$. 

Cách khác:

$\sqrt{12}=\sqrt{4.3}=\sqrt{2^2.3}=2\sqrt{3}<3\sqrt{3}$

b) Ta có:

$7=\sqrt{7^2}=\sqrt{49}$.

$3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{9.5}=\sqrt{45}$.

Vì $49>45\iff \sqrt{49}>\sqrt{45}\iff 7>3\sqrt{5}$.

Vậy: $7>3\sqrt{5}$.

c) 

Ta có:

 ${\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{51}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2.51}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{9}}.51}=\sqrt{{\displaystyle \frac{51}{9}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{3.17}{3.3}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{17}{3}}}$.

 ${\displaystyle \frac{1}{5}}\sqrt{150}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^2.150}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{25}}.150}=\sqrt{{\displaystyle \frac{150}{25}}}$ 

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{6.25}{25}}}=\sqrt{6}=\sqrt{{\displaystyle \frac{18}{3}}}$.

Vì ${\displaystyle \frac{17}{3}}<{\displaystyle \frac{18}{3}}\iff \sqrt{{\displaystyle \frac{17}{3}}}<\sqrt{{\displaystyle \frac{18}{3}}}$

                        $\iff {\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{51}<{\displaystyle \frac{1}{5}}\sqrt{150}$.

Vậy: ${\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{51}<{\displaystyle \frac{1}{5}}\sqrt{150}$.

d) Ta có:

 ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{6}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2.6}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}.6}=\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{4}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2.3}{2.2}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$.

$6\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\sqrt{6^2.{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\sqrt{36.{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{36}{2}}}$.

Vì ${\displaystyle \frac{3}{2}}<{\displaystyle \frac{36}{2}}\iff \sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}<\sqrt{{\displaystyle \frac{36}{2}}}$

                       $\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{6}<6\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$.

Vậy: ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{6}<6\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$.

a) $2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}+27-3\sqrt{3x}$

b) $3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có $\sqrt{A^2.B}=|A|\sqrt{B}$, tức là:

           $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A<0$. 

Lời giải:

Ta có: $2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}+27-3\sqrt{3x}$

         $=(2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}-3\sqrt{3x})+27$

         $=(2-4-3)\sqrt{3x}+27$

         $=-5\sqrt{3x}+27$.

b) Ta có: 

$3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28$

$=3\sqrt{2x}-5\sqrt{4.2x}+7\sqrt{9.2x}+28$

$=3\sqrt{2x}-5\sqrt{2^2.2x}+7\sqrt{3^2.2x}+28$

$=3\sqrt{2x}-5.2\sqrt{2x}+7.3\sqrt{2x}+28$

$=(3\sqrt{2x}-10\sqrt{2x}+21\sqrt{2x})+28$

$=14\sqrt{2x}+28$. 

a) ${\displaystyle \frac{2}{x^2-y^2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{3(x+y{)}^2}{2}}}$ với $x\ge 0;y\ge 0$ và $x\ne y$

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{a^2}=|a|$. 

+ Nếu $a\ge 0$  thì $|a|=a$.

   Nếu $a<0$  thì $|a|=-a$.

+ $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn:

           $A\sqrt{B}=\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A\ge 0,B\ge 0$.

           $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A<0,B\ge 0$.

Lời giải: 

Ta có: Vì $x\ge 0$ và $y\ge 0$ nên $x+y\ge 0\iff |x+y|=x+y$.

${\displaystyle \frac{2}{x^2-y^2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{3(x+y{)}^2}{2}}}={\displaystyle \frac{2}{x^2-y^2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}.(x+y{)}^2}$

$={\displaystyle \frac{2}{x^2-y^2}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}.\sqrt{(x+y{)}^2}$

$={\displaystyle \frac{2}{x^2-y^2}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}.|x+y|$

$={\displaystyle \frac{2}{(x+y)(x-y)}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}.(x+y)$  

$={\displaystyle \frac{2}{x-y}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$ 

 $={\displaystyle \frac{1}{x-y}}.2.\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$  

 $={\displaystyle \frac{1}{x-y}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{2^2.3}{2}}}$  

$={\displaystyle \frac{1}{x-y}}.\sqrt{6}$  $={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{x-y}}$

b)

Ta có:

${\displaystyle \frac{2}{2a-1}}\sqrt{5a^2(1-4a+4a^2)}$

$={\displaystyle \frac{2}{2a-1}}\sqrt{5a^2(1-2.2a+2^2{a}^2)}$

$={\displaystyle \frac{2}{2a-1}}\sqrt{5a^2[1^2-\mathrm{2.1.2}a+(2a{)}^2]}$

$={\displaystyle \frac{2}{2a-1}}\sqrt{5a^2(1-2a{)}^2}$

$={\displaystyle \frac{2}{2a-1}}\sqrt{5}.\sqrt{a^2}.\sqrt{(1-2a{)}^2}$

$={\displaystyle \frac{2}{2a-1}}\sqrt{5}.|a|.|1-2a|$

Vì $a>0,5$ nên $a>0\iff |a|=a$.

Vì $a>0,5\iff 2a>2.0,5\iff 2a>1$ hay $1<2a$

$\iff 1-2a<0\iff |1-2a|=-(1-2a)$

$=-1+2a=2a-1$

Thay vào trên, ta được: 

${\displaystyle \frac{2}{2a-1}}\sqrt{5}.|a|.|1-2a|={\displaystyle \frac{2}{2a-1}}\sqrt{5}.a.(2a-1)$$=2a\sqrt{5}$.

Vậy ${\displaystyle \frac{2}{2a-1}}\sqrt{5a^2(1-4a+4a^2)}=2a\sqrt{5}$.