Lời giải:

Hình 24a:

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại điểm (2;0)

=> Phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm duy nhất $x=2$

Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên có bảng xét dấu:

Hình 24b:

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt (-4;0) và (-1;0)

=> Phương trình $f\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x=-4,x=-1$

Trong các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-4\right)$ và  $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$ thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f\left(x\right)<0$

Trong khoảng $\left(-4;-1\right)$ thì đồ thị nằm trên trục hoành nên $f\left(x\right)>0$

Bảng xét dấu:

Hình 24c: 

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt (-1;0) và (2;0)

=> Phương trình $f\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x=-1,x=2$

Trong các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và  $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$ thì đồ thị nằm trên trục hoành nên $f\left(x\right)>0$

Trong khoảng $\left(-1;2\right)$ thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f\left(x\right)<0$

Bảng xét dấu:

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai với đồ thị được cho ở mỗi hình.

Hướng dẫn giải

a)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại điểm (2; 0) nên phương trình f(x) = 0 có duy nhất nghiệm x = 2.

Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên ta có bảng xét dấu:

b)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt (–4; 0) và (–1; 0) nên phương trình

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = –4; x₂ = –1.

Trong các khoảng (–∞; –4) và (–1; +∞) thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên f(x) < 0, trong khoảng (–4; –1) thì đồ thị nằm trên trục hoành nên f(x) > 0.

Bảng xét dấu:

c)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt (–1; 0) và (2; 0) nên phương trình

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = –1; x₂ = 2

Trong các khoảng (–∞; –1) và (2; +∞) thì đồ thị nằm trên trục hoành nên f(x) > 0

Trong khoảng (–1; 2) thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên f(x) < 0.

Bảng xét dấu:

Bài 2. Khi nào thì tam thức bậc hai $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+\left(\sqrt{5}-1\right)\mathrm{x}-\sqrt{5}$ nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+\left(\sqrt{5}-1\right)\mathrm{x}-\sqrt{5}=0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=-\sqrt{5}\end{array}\right.$.

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>0\iff \mathrm{x}\in \left(-\infty ;-\sqrt{5}\right)\cup \left(1;+\infty \right).$

Bài 3. Tìm giá trị nguyên của x để tam thức f(x) = 2x² – 7x – 9 nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}-9=0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1\\ \mathrm{x}=\frac{9}{2}\end{array}\right.$ .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<0\iff -1<\mathrm{x}<\frac{9}{2}$.  Mà x nguyên nên x ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}.

Như vậy, với x nguyên x ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} thì f(x) = 2x² – 7x – 9  < 0.