a) $(-2x^5+3x^2-4x^3):2x^2$;    

b) $(x^3-2x^{2}y+3x{y}^2):\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)$;

c) $(3x^2{y}^2+6x^2{y}^3-12xy):3xy$.

Phương pháp giải: Áp dụng qui tắc chia đa thức cho đơn thức: Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp các hạng tử của đa thức $A$ đều chia hết cho đơn thức $B$), ta chia mỗi hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả với nhau.

Lời giải:

a) $(-2x^5+3x^2-4x^3):2x^2$

$=\left(-2x^5\right):2x^2+3x^2:2x^2-4x^3:2x^2$

$=-{\displaystyle \frac{2}{2}}{x}^{(5-2)}+{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^{(2-2)}-{\displaystyle \frac{4}{2}}{x}^{(3-2)}$

$=-x^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}-2x$

b) $(x^3-2x^{2}y+3x{y}^2):\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)$

$=\left[x^3:\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)\right]+\left[-2x^{2}y:\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)\right]$$+\left[3x{y}^2:\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)\right]$

$=\left[1:\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\right].\left(x^3:x\right)$$+\left[\left(-2\right):\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\right].\left(x^2:x\right).y$$+\left[3:\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\right].\left(x:x\right).y^2$

$=-2x^2+4xy-6y^2$

c) $(3x^2{y}^2+6x^2{y}^3-12xy):3xy$ 

$=(3x^2{y}^2:3xy)+(6x^2{y}^3:3xy)$$+(-12xy:3xy)$

$=\left(3:3\right).\left(x^2:x\right).\left(y^2:y\right)$$+\left(6:3\right).\left(x^2:x\right).\left(y^3:y\right)$$+\left[\left(-12\right):3\right].\left(x:x\right).\left(y:y\right)$ 

$=xy+2x{y}^2-4$

Bài 65 trang 29 sgk Toán 8 Tập 1: Làm tính chia:

$[3{\left(x-y\right)}^4+2{\left(x-y\right)}^3-5{\left(x-y\right)}^2]$$:{\left(y-x\right)}^2$

(Gợi ý, có thể đặt $x-y=z$ rồi áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức)

Phương pháp giải:  Ta chứng minh 

- Đặt  và thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức.

- Thay  ta được kết quả cuối cùng.

Lời giải:

Ta có: $(y-x{)}^2=[-(x-y){]}^2$$=(-1{)}^2.(x-y{)}^2=(x-y{)}^2$

(hoặc $(y-x{)}^2=y^2-2.y.x+x^2$$=x^2-2xy+y^2=(x-y{)}^2)$

Như vậy $(y-x{)}^2=(x-y{)}^2$

Đặt $z=x-y$, khi đó biểu thức đã cho trở thành: 

$(3z^4+2z^3-5z^2):z^2$

$=(3z^4:z^2)+(2z^3:z^2)+(-5z^2:z^2)$

$=3z^2+2z-5$

Thay trả lại $z=x–y$ ta được:

$[3{\left(x-y\right)}^4+2{\left(x-y\right)}^3-5{\left(x-y\right)}^2]$$:{\left(y-x\right)}^2$

$=3(x-y{)}^2+2(x-y)-5$

Bài 66 trang 29 sgk Toán 8 Tập 1: Ai đúng, ai sai ?

Khi giải bài tập: “Xét xem đa thức $A=5x^4-4x^3+6x^{2}y$ có chia hết cho đơn thức $B=2x^2$ hay không?”,

Hà trả lời: "$A$ không chia hết cho $B$ vì $5$ không chia hết cho $2$”,

Quang trả lời: “$A$ chia hết cho $B$ vì mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$”.

Cho biết ý kiến của em về lời giải của hai bạn.

Phương pháp giải: Áp dụng qui tắc chia đa thức cho đơn thức:

Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp các hạng tử của đa thức $A$ đều chia hết cho đơn thức $B$), ta chia mỗi hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả với nhau.

Sử dụng: Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

Đa thức A (đã được rút gọn) chia hết cho đơn thức B nếu mỗi hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B.

Lời giải:

Ta có: $A:B=(5x^4-4x^3+6x^{2}y):2x^2$

$=(5x^4:2x^2)+(-4x^3:2x^2)$$+(6x^{2}y:2x^2)$

$={\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^2–2x+3y$

Như vậy $A$ chia hết cho $B$ vì mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$.

Vậy: Quang trả lời đúng, Hà trả lời sai.

Chú ý: Đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu tìm được đơn thức Q sao cho $A=B.Q$. Như vậy, khi xét xem 1 đơn thức có chia hết cho 1 đơn thức hay không ta chỉ cần xét phần biến số có chia hết cho nhau hay không, phần hệ số có thể là số hữu tỉ nên ta không cần xét chỗ này. 

Lý thuyết chia đa thức cho đơn thức

1. Qui tắc: Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp các hạng tử của đa thức $A$ đều chia hết cho đơn thức $B$), ta chia mỗi hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả với nhau.

2. Chú ý: Trường hợp đa thức $A$ có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh.

3. Các dạng toán cơ bản:

Dạng 1: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức

Phương pháp: Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức để thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức.

Ví dụ: Thực hiện phép tính $\left(-12x^{4}y+4x^3-8x^2{y}^2\right):\left(-4x^2\right)$ 

Ta có: 

$\begin{array}{l}\left(-12x^{4}y+4x^3-8x^2{y}^2\right):\left(-4x^2\right)\\ =\left(-12x^{4}y\right):\left(-4x^2\right)+\left(4x^3\right):\left(-4x^2\right)-\left(8x^2{y}^2\right):\left(-4x^2\right)\\ =3x^{2}y-x+2y^2.\end{array}$

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức tại $x=x_0$

Phương pháp: Thay $x=x_0$ vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.

Nếu biểu thức có nhiều biến thì ta thay lần lượt từng biến theo giả thiết.

Ví dụ: 

Tính giá trị biểu thức $A=\left(x^{2}y+y^{2}x\right):xy$ tại $x=1;y=1$

Ta có: 

$\begin{array}{l}A=\left(x^{2}y+y^{2}x\right):xy\\ =x^{2}y:xy+y^{2}x:xy\\ =x+y\end{array}$

Với $x=1;y=1$ ta có: $A=x+y=1+1=2$

Dạng 3: Tìm $m$ để phép tính chia cho trước là phép chia hết.

Phương pháp: Sử dụng nhận xét: Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu các hạng tử của đa thức $A$ đều chia hết cho đơn thức $B$.

Đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ khi mỗi biến của $B$ đều là biến của $A$ với số mũ nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của nó trong $A$ .

Ví dụ: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:

$A=7x^{n-1}{y}^5-5x^3{y}^4$

$B=5x^2{y}^n$

Ta có: 

$A:B=\left(7x^{n-1}{y}^5-5x^3{y}^4\right):\left(5x^2{y}^n\right)$$=\left(7x^{n-1}{y}^5\right):\left(5x^2{y}^4\right)$$-\left(5x^3{y}^4\right):\left(5x^2{y}^n\right)$

Đa thức A chia hết cho đơn thức B khi $\{\begin{array}{l}n-1\ge 2\\ 4\ge n\end{array}\iff \{\begin{array}{l}n\ge 3\\ n\le 4\end{array}$

$\Rightarrow 3\le n\le 4$ mà $n\in \mathbb{N}$ nên $n\in \{3;4\}$